Esercizi Union-Find e su Grafi. Ugo Vaccaro

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1 Progettazione di Algoritmi Anno Accademico 0 07 Esercizi Union-Find e su Grafi. Ugo Vaccaro. Esercizio: Scrivere pseudocodice per Make-Set, Union, e Find-Set usando la rappresentazione attraverso liste linkate e la euristica di unione pesata. Si assuma che ciascun oggetto abbia un campo rep[x] che punta al rappresentante dell insieme contenente x. Si assuma che ciascun insieme S nella collezione abbia un attributo head[s] che punta all elemento nella testa della lista che rappresenta S, tail[s] che punta all elemento nella coda della lista che rappresenta S, e size[s] che conta il numero di elementi nella lista.. Esercizio: Mostrare la struttura dati risultante e le risposte ritornate dalle operazioni di Find- Set durante la esecuzione del programma seguente: for i to Make-Set(x i ) for i to by Union(x i ;x i+ ) for i to by Union(x i ;x i+ ) Union(x ;x ) Union(x ;x ) Union(x ;x 0 ) Find-Set(x ) Find-Set(x 9 ) Si supponga di usare la rappresentazione attraverso liste linkate e la euristica di unione pesata.. Esercizio: Mostrare la struttura dati risultante e le risposte ritornate dalle operazioni di Find-Set durante la esecuzione del programma seguente: for i to Make-Set(x i ) for i to by Union(x i ;x i+ ) for i to by Union(x i ;x i+ ) Union(x ;x ) Union(x ;x )

2 Union(x ;x 0 ) Find-Set(x ) Find-Set(x ) Si supponga questa volta di usare la rappresentazione attraverso alberi e le euristiche di unione per rango e compressione di cammini.. Esercizio: Dati gli insiemi disgiunti rappresentati dagli alberi qui sotto riportati a u b d v z c e i r x l n m s t o p ridisegnare gli alberi dopo l esecuzione di ciascuna delle operazioni Union(o, s), Find(l), Union(, m).. Esercizio: Usando l euristica dell unione per peso, mostrare che una qualsiasi sequenza di m operazioni di MAKE-SET, UNION, e FINDSET, n delle quali sono MAKE-SET, prende tempo O(m+nlogn)

3 Esercizi su Grafi N.B. Si ricorda che ogni algoritmo và accompagnato da una argomentazione sul perchè calcola correttamente l output e da un analisi della sua complessità di tempo. Inoltre, si possono usare algoritmi visti a lezione (come BFS, DFS, etc.) senza necessariamente riportare il relativo pseudocodice, purchè lo si menzioni esplicitamente. In generale, di ogni algoritmo è preferibile presentare il relativo pseudocodice. Tuttavia, anche una sola descrizione a parole dell idea dell algoritmo (purchè precisa e corretta) verrà accettata all esame.. Esercizio: Progettare ed analizzare un algoritmo che, prendendo in input un grafo non orientato G = (V, E), determina se G contiene o meno cicli. La complessità dell algoritmo deve essere O( V ), indipendentemente da E.. Esercizio: Dato un grafo non diretto G = (V,E), e tre vertici u,v,w V, descrivere ed analizzare un algoritmo che decide se esiste un cammino in G che parte da u ed arriva a v, passando per w.. Esercizio: Dato il grafo G rappresentato in figura r s a u v w z x eseguire su di esso l algoritmo BFS(G, s), indicando ad ogni passo l arco considerato dall algoritmo, e calcolando sia l albero BFS risultante che i valori d[c] per ogni nodo c del grafo.. Esercizio: Progettare ed anaizzare un algoritmo per il seguente problema: Input: Un grafo connesso e non diretto G = (V,E). Output: Si se esiste un arco e E che si può rimuovere da G, in modo tale che G = (V, E {e}) sia ancora connesso, No, altrimenti.. Esercizio: Dato il grafo G rappresentato in figura

4 r s a u v w z x eseguire su di esso l algoritmo DFS(G, s), indicando ad ogni passo l arco considerato dall algoritmo, e calcolando l albero DFS risultante.. Esercizio: Descrivere l algoritmo per determinare se un grafo diretto G = (V, E) è fortememte connesso, argomentare con precisione la sua correttezza e valutarne la complessità di tempo. 7. Esercizio: Dato un grafo G = (V,E) non diretto, il suo diametro D(G) è definito come la distanza tra i due vertici di G massimalmente distanti, se G è connesso, è definito come altrimenti. Formalmente: { se G non è connesso D(G) = max u,v V d(u,v) altrimenti dove d(u,v) è la distanza tra i due vertici u e v. Analogamente, l eccentricità di un vertice u è definita come { se G non è connesso e(u) = max v V d(u,v) altrimenti mentre il raggio R(G) di G è definito come R(G) = min u V e(u). Si dia un algoritmo che, dato in input un grafo G = (V,E) non diretto, calcoli D(G) e R(G).. Esercizio: Data la rappresentazione mediante liste di adiacenza di un grafo diretto G = (V, E), scrivere un algoritmo che determini il numero di archi uscenti da ogni vertice ed un separato algoritmo per determinare il numero di archi entranti in ogni vertice. 9. Esercizio: Il quadrato di un grafo orientato G = (V,E) è il grafo G = (V,E ) tale che (u,w) E se e solo se v : (u,v) E (v,w) E. In altre parole, se esiste un percorso di due archi fra i nodi u e w. Scrivere un algoritmo che, dato un grafo G rappresentato con matrice di adiacenza, restituisce il grafo G. 0. Esercizio: Descrivere un algoritmo per il seguente problema. Dato in input un grafo orientato G = (V,E) rappresentato tramite liste di adiacenza e un nodo s V, restituire il numero dei nodi in V raggiungibili da s che si trovano alla massima distanza da s.

5 . Esercizio: Descrivere un algoritmo per il seguente problema: Input: un grafo diretto G = (V, E) rappresentato mediante liste di adiacenza. Output: per ogni nodo v V il numero dei nodi w raggiungibili da v (ovvero il numero dei nodi w V per i quali esiste un cammino orientato da v a w).. Esercizio: Descrivere un algoritmo per il seguente problema: Input: un grafo diretto G = (V,E) rappresentato mediante liste di adiacenza, un nodo v V ed un intero k Output: il numero di nodi del grafo a distanza k da v.. Esercizio: Descrivere un algoritmo per il seguente problema: Input: un grafo non diretto G = (V, E) rappresentato mediante liste di adiacenza Output: il numero di componenti connesse di G.. Esercizio: Dato un grafo non diretto G = (V,E), un triangolo in esso è una tripla di vertici a,b,c V tali che (a,b),(b,c),(c,a) E. Descrivere un algoritmo per il seguente problema: Input: un grafo diretto G = (V, E) rappresentato mediante matrice di adiacenza; Output: il numero di triangoli in G.. Esercizio: Dato un grafo non diretto G = (V,E), con V = {,...,n} ed un array di interi A[...n], G è detto ben colorato se per ogni {i,j} E vale che A[i] A[j]. Si descriva un algoritmo per il seguente problema: Input: G = (V, E) rappresentato mediante matrice di adiacenza, vettore A Output: SI, se G è ben colorato, NO, altrimenti. Si risolva l esercizio anche sotto l ipotesi che di G sia rappresentato mediante liste di adiacenze.. Esercizio: Dato un grafo non diretto G = (V,E), con V = {,...,n} ed un sottoinsieme S V, S è detto un Vertex Cover per G se per ogni {i,j} E vale {i,j} S. Si descriva un algoritmo per il seguente problema: Input: G = (V, E) rappresentato mediante matrice di adiacenza, sottoinsieme S V Output: SI, se S è un Vertex Cover NO, altrimenti. Si risolva l esercizio anche sotto l ipotesi che di G sia rappresentato mediante liste di adiacenze.

6 7. Esercizio: Descrivere un algoritmo per il seguente problema: Input: un grafo diretto G = (V,E) rappresentato mediante liste di adiacenza, due nodi v,w V. Output: Il numero di nodi raggiungibili da v che si trovano alla stessa distanza sia da v che da w.. Esercizio: Si descriva l algoritmo per il calcolo dell ordinamento topologico di un DAG, argomentando la correttezza e valutandone la complessità di tempo Giustificare con precisione le relative affermazioni effettuate. 9. Esercizio: Dato il grafo rappresentato in figura m n o p q r s t u v w x y z determinarne un ordinamento topologico, applicando passo passo l algoritmo visto a lezione. 0. Esercizio: Si presenti l algoritmo di Dijkstra per il calcolo dei cammini minimi in un grafo, si argomenti la sua correttezza e se ne valuti la sua complessità di tempo.. Esercizio: Si esegua l algoritmo di Dijkstra per il calcolo dei cammini minimi dal nodo s sul seguente grafo: 0 t x s 9 y 7 z

7 7. Esercizio: Sia G = (V,E) un grafo diretto, con lunghezze l(e) > 0 per ogni arco e E. Si progetti e si analizzi (e si argomenti la correttezza) un algoritmo che presi in input un vertice s V ed un arco (u,v) E, determini:. se tra tutti i cammini di lunghezza minima da s a v ne esiste almeno uno che usi l arco (u,v);. se tra tutti i cammini di lunghezza minima da s a v ne esiste almeno uno che non usi l arco (u,v).. Esercizio: Dato un grafo orientato G = (V,E), con lunghezze l(e) > 0 per per ogni arco e E, e due nodi v,t V. (a) Si proponga un algoritmo che determini, oltre ad un cammino minimo p da v a t che supponiamo essere p = (v,s,...s n,t), un secondo cammino p che sia il cammino di lunghezza minima tra quelli che congiungono v con t e non contengono l arco (s n,t). (b) Si provi la correttezza e si valuti la complessità dell algoritmo proposto. (c) Si proponga un algoritmo che determini, oltre ad un cammino minimo p da v a t, un secondo cammino p che sia il cammino di lunghezza minima tra tutti i cammini che congiungono v con t e sono distinti da p.. Esercizio: Sia G = (V,E) un grafo diretto in cui ad ogni nodo u V è associato un peso w(u) > 0. Descrivere un algoritmo per calcolare i cammini di peso minimi da un nodo sorgente s V a tutti i nodi v V. In questa situazione, il peso di un cammino è definito come la somma dei pesi dei nodi che appaiono nel cammino. (Sugg.: si riduca il problema a quello di calcolare i cammini di peso minimi in un opportuno grafo con pesi su archi).. Esercizio: Descrivere l algoritmo di Prim per la costruzione di un MST e provarne con precisione la correttezza.. Esercizio: Descrivere l algoritmo di Kruskal per la costruzione di un MST e provarne con precisione la correttezza. 7. Esercizio: Dato il grafo rappresentato in figura, calcolare un MST di esso applicando l algoritmo di Prim a partire dal nodo I. Si descrivano con precisione le computazioni effettuate dall algoritmo passo dopo passo.

8 I A M E F H J G L B C D K Esercizio: Dato il grafo rappresentato in figura, calcolare un MST di esso applicando l algoritmo di Kruskal. Si descrivano con precisione le computazioni effettuate dall algoritmo passo dopo passo. I A M E F H J G L B C D K Esercizio: Dato il grafo rappresentato in figura, calcolare un MST di esso applicando l algoritmo di Kruskal. Si descrivano con precisione le computazioni effettuate dall algoritmo passo dopo passo. J K M A B E C G F I D H L

9 9 0. Esercizio: Dato il grafo rappresentato in figura, calcolare un MST di esso applicando l algoritmo di Prim a partire dal vertice I. Si descrivano con precisione le computazioni effettuate dall algoritmo passo dopo passo. E J K M A C F G I L B H D. Esercizio: Si proponga un algoritmo che, dato in input un grafo non non orientato G = (V,E), pesi w(e) per ogni arco e E, ed un arco (u,v) E, determini l esistenza o meno di un MST per G non contenente l arco (u,v). Si motivi la correttezza e si calcoli la complessit a dell algoritmo proposto. Si riconsiderino i punti precedenti nel caso in cui si voglia determinare l esistenza di un MST per il grafo G contenente l arco (u,v).. Esercizio: Sia G = (V,E) un grafo non orientato e pesato, con archi di costo c(e), per ogni e E. (a) Si descriva brevemente un algoritmo efficiente (per esempio tra quelli visti a lezione) che determini un Minimum Spanning Tree per G e se ne valuti la complessità. (b) Si provi o si refuti la seguente proprietà: dato un Minimum Spanning Tree per G questo contiene almeno un arco tra quelli aventi peso minimo in G. (c) Si provi o si refuti la seguente proprietà: dato un Minimum Spanning Tree per G questo contiene un cammino minimo per ogni coppia di nodi in G.. Esercizio: Sia G = (V,E) un grafo non orientato e pesato, con archi di costo c(e), per ogni e E. Si provi la seguente affermazione: sia S V un sottoinsieme dei nodi, e sia e = (u,v) l arco di costo minimo con un estremo in S e l altro in V S. Allora ogni MST contiene l arco e.