Macchine parallele M 1 M 2 M 3 J 1 J 2 LAVORI J 3 J 4

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1 Macchine parallele M 1 J 1 J 2 LAVORI M 2 J 3 J 4 M 3

2 Macchine parallele

3 Scheduling su macchine parallele scorrelate R C max Descrizione del problema n lavori devono essere processati da m macchine diverse (unrelated) disposte in parallelo. Le macchine possono eseguire un solo lavoro alla volta. Ogni lavoro deve essere eseguito su una ed una sola macchina senza interruzione. Dati I tempi di processamento p ij, i=1,, m, del lavoro j sulla macchina i sono noti. Obiettivo Assegnare i lavori alle macchine in modo tale da minimizzare il tempo totale di completamento della macchina più carica (equivalente a minimizzare il makespan).

4 Scheduling su macchine parallele scorrelate R C max Obiettivo Trovare un assegnamento dei lavori alle macchine che minimizza il makespan (C max ) equivale a bilanciare il più possibile i carichi di lavoro delle macchine.

5 Esempio Macchine Lavori Una soluzione ammissibile M 1 J 1 J 4 M 2 J 5 J 2 M 3 J 3 34 t

6 Esempio Macchine Lavori Una soluzione ottima M 1 J 1 J 4 M 2 J 5 J 3 M 3 J 2 33 t

7 Complessità Il problema è NP-completo anche con due macchine identiche m=2 p ij = p j i = 1,..., m P2 C max

8 Un algoritmo approssimato per Pm C max Regola LPT (Longest Processing Time): assegna alle macchine (che si rendono) disponibili i lavori non eseguiti con tempo di esecuzione più grande. Permette di trovare una soluzione che non dista più di un dato valore dall ottimo (algoritmo approssimato)

9 Un algoritmo approssimato per Pm C max Esempio regola LPT J p j m=4 Soluzione LPT M 1 J 1 J 7 J 9 M 2 J 2 J 8 M 3 J 3 J 5 M 4 J 4 J 6 15 t

10 Un algoritmo approssimato per Pm C max J p j Soluzione Ottima M 1 J 1 J 5 M 2 J 2 J 6 M 3 J 3 J 4 M 4 J 7 J 8 J 9 12 t

11 Un algoritmo approssimato per Pm C max Si può dimostrare che vale il seguente rapporto di approssimazione: C max (LPT) C max (OPT) m C max (LPT): soluzione trovata con la regola LPT C max (OPT): soluzione ottima

12 Un algoritmo approssimato per Pm C max Esempio regola LPT J p j m=4 C max (LPT) C max (OPT) = = m = = 15 12

13 Il problema con premption Pm prmp C max Consideriamo il problema di schedulare n lavori su m macchine identiche con l obiettivo di minimizzare il makespan, e con la possibilità di interrompere l esecuzione dei lavori. Uno stesso lavoro può quindi essere eseguito su più macchine. Il problema è formulabile come problema di Programmazione Lineare e quindi risolubile in tempo polinomiale.

14 Il problema con premption Pm prempt C max Una Formulazione di PL Definizione delle variabili C i, i=1,, m, tempo di completamento della macchina i x ij = tempo di lavoro j assegnato alla macchina i C max = max i = 1,..., m { C } tempo di completamento di tutto il sistema i

15 Una formulazione di PL per Pm prempt C max Funzione obiettivo Il tempo di completamento C i della generica macchina i è pari a: C i = C max = max i=1,...,m n x ij j=1 n { C } i = max i=1,...,m x ij j=1

16 Una formulazione di PL per Pm prempt C max Vincoli Ogni lavoro deve essere completato m x ij i=1 = p j j = 1,...,n

17 Una formulazione di PL per Pm prempt C max Vincoli Il tempo totale di ogni lavoro non può superare C max m x ij i=1 C max j = 1,...,n (il vincolo implica che le esecuzioni di uno stesso lavoro su diverse macchine non possono sovrapporsi)

18 Una formulazione di PL per Pm prempt C max Vincoli Il tempo totale di lavoro di ogni macchina non può superare C max n x ij j=1 C max i = 1,...,m

19 Una formulazione di PL per Pm prempt C max min C max tale che m x ij i=1 m x ij i=1 n x ij j=1 x ij 0 = p j j = 1,...,n C max j = 1,...,n C max i = 1,...,m

20 Una formulazione di PLI per R C max

21 Una formulazione di PLI per R C max Definizione delle variabili C i, i=1,, m, tempo di completamento della macchina i 1 se lavoro j è assegnato alla macchina i x ij = 0 altrimenti C max = max i = 1,..., m { C } tempo di completamento di tutto il sistema i

22 Una formulazione di PLI per R C max Funzione obiettivo C i, i=1,, m, tempo di completamento della macchina i C i = n j=1 p ij x ij C max = max i=1,...,m n { C } i = max i=1,...,m p ij x ij j=1

23 Una formulazione di PLI per R C max Vincoli Ogni lavoro deve essere assegnato ad esattamente una macchina m x ij i=1 = 1 j = 1,...,n

24 Una formulazione di PLI per R C max min C max = min max i=1,...,m tale che m = 1 j = 1,...,n i=1 x ij { } x ij 0,1 n { C } i = min max i=1,...,m p ij x ij j=1

25 Una formulazione di PLI per R C max min C max = min max i=1,...,m tale che m = 1 j = 1,...,n i=1 x ij { } x ij 0,1 n { C } i = min max i=1,...,m p ij x ij j=1 Funzione obiettivo non lineare

26 Una formulazione di PLI per R C max min C max tale che C i = m i=1 x ij n p ij x ij C max i = 1,...,m j=1 = 1 j = 1,...,n { } x ij 0,1

27 Esempio Consideriamo un problema con 10 macchine e 10 lavori. In tabella sono riportati i tempi di processamento: Lavori Macchine

28 Formulazione con Excel

29 Formulazione con Excel

30 Formulazione con Excel

31 Soluzione del rilassamento lineare

32 Formulazione con Cplex min Cmax subject to 3 x0,0 + 7 x0, x0, x0, x0, x0, x0, x0, x0, x0,9 - Cmax <= 0 85 x1,0 + 3 x1, x1, x1, x1, x1, x1, x1, x1, x1,9 - Cmax <= 0 16 x2, x2, x2, x2, x2, x2, x2, x2,7 + 3 x2, x2,9 - Cmax <= 0 43 x3, x3, x3, x3, x3,4 + 7 x3, x3, x3,7 + 7 x3, x3,9 - Cmax <= 0 78 x4, x4, x4, x4,3 + 5 x4, x4, x4,6 + 1 x4, x4, x4,9 - Cmax <= 0 94 x5, x5, x5, x5, x5, x5, x5, x5, x5,8 + 7 x5,9 - Cmax <= 0 86 x6, x6, x6, x6, x6, x6, x6, x6, x6, x6,9 - Cmax <= 0 44 x7,0 + 6 x7, x7, x7, x7, x7, x7, x7, x7, x7,9 - Cmax <= 0 62 x8, x8, x8, x8, x8, x8, x8, x8, x8, x8,9 - Cmax <= 0 98 x9, x9, x9, x9, x9, x9, x9, x9, x9, x9,9 - Cmax <= 0 x0,0 + x1,0 + x2,0 + x3,0 + x4,0 + x5,0 + x6,0 + x7,0 + x8,0 + x9,0 =1 x0,1 + x1,1 + x2,1 + x3,1 + x4,1 + x5,1 + x6,1 + x7,1 + x8,1 + x9,1 =1 x0,2 + x1,2 + x2,2 + x3,2 + x4,2 + x5,2 + x6,2 + x7,2 + x8,2 + x9,2 =1 x0,3 + x1,3 + x2,3 + x3,3 + x4,3 + x5,3 + x6,3 + x7,3 + x8,3 + x9,3 =1 x0,4 + x1,4 + x2,4 + x3,4 + x4,4 + x5,4 + x6,4 + x7,4 + x8,4 + x9,4 =1 x0,5 + x1,5 + x2,5 + x3,5 + x4,5 + x5,5 + x6,5 + x7,5 + x8,5 + x9,5 =1 x0,6 + x1,6 + x2,6 + x3,6 + x4,6 + x5,6 + x6,6 + x7,6 + x8,6 + x9,6 =1 x0,7 + x1,7 + x2,7 + x3,7 + x4,7 + x5,7 + x6,7 + x7,7 + x8,7 + x9,7 =1 x0,8 + x1,8 + x2,8 + x3,8 + x4,8 + x5,8 + x6,8 + x7,8 + x8,8 + x9,8 =1 x0,9 + x1,9 + x2,9 + x3,9 + x4,9 + x5,9 + x6,9 + x7,9 + x8,9 + x9,9 =1 integers x0,0 x0,1 x0,2... x9,8 x9,9 end

33 La tecnica del Rilassamento Lagrangiano nella soluzione di problemi di PLI: Un applicazione a R C max

34 Il Rilassamento Lagrangiano nei problemi di PLI Si consideri il seguente problema di PLI, P: z* = mincx Ax b (1) Cx d (2) x { 0,1} n,b R m 1,d Rm 2 c R n vettore riga

35 Il Rilassamento Lagrangiano nei problemi di PLI Si consideri il seguente problema di PLI, P: z* = mincx Ax b (1) Cx d (2) x { 0,1} n,b R m 1,d Rm 2 c R n vettore riga Supponiamo che P sia difficile da risolvere

36 Supponiamo invece che sia di facile risoluzione il problema rilassato P R : mincx Cx d (2) x { 0,1} n Il Rilassamento Lagrangiano dei vincoli (1) consiste nell'inserire una combinazione pesata di tali vincoli nella funzione obiettivo

37 Il Rilassamento Lagrangiano dei vincoli (1) consiste nell'inserire una combinazione pesata di tali vincoli nella funzione obiettivo. Si ottiene il seguente Problema Lagrangiano: mincx + λ(b-ax) Cx d (2) x { 0,1} n con λ 0 vettore riga di dimensione m 1 Supponiamo che il Problema Lagrangiano sia ancora facile da risolvere per ogni λ 0

38 La funzione L(λ) (con λ 0 vettore riga di dim. m 1 ): { } L(λ) = min cx + λ(b Ax) :Cx d,x { 0,1} n è detta funzione Lagrangiana, il vettore λ è detto vettore dei moltiplicatori di Lagrange

39 Vale la seguente proprietà: La funzione lagrangiana è un lower bound alla soluzione ottima del problema iniziale P per ogni vettore λ 0: L(λ) z * λ R m 1 +

40 Dimostrazione Infatti, per ogni vettore λ 0 si ha: { } z* = min cx : Ax b;cx d,x { 0,1} n { } min cx + λ(b Ax) : Ax b;cx d,x { 0,1} n

41 Dimostrazione(segue) Infatti, per ogni vettore λ 0 si ha: { } z* = min cx : Ax b;cx d,x { 0,1} n { } min cx + λ(b Ax) : Ax b;cx d,x { 0,1} n { } = L(λ) min cx + λ(b Ax) :Cx d,x { 0,1} n

42 Il miglior lower bound è ottenuto calcolando il Duale Lagrangiano { } L(λ * ) = max L(λ) : λ 0 L(λ * ) può essere ottenuto risolvendo un problema di ottimizzazione non differenziabile L(λ) L(λ * ) λ * λ

43 Teorema. Sia z* PL il valore della soluzione otttima del rilassamento lineare di P : z PL = mincx Ax b (1) Cx d (2) 0 x 1 si ha L(λ * ) z* PL

44 Teorema. Sia z* PL il valore della soluzione otttima del rilassamento lineare di P : si ha Dim. z PL = mincx Ax b (1) Cx d (2) 0 x 1 L(λ * ) z* PL { { { } n } : λ 0 } L(λ * ) = max min cx + λ(b Ax) :Cx d,x 0,1 max{ min{ cx + λ(b Ax) :Cx d,0 x 1} : λ 0}

45 Teorema. Sia z* PL il valore della soluzione otttima del rilassamento lineare di P : si ha Dim. z PL = mincx Ax b (1) Cx d (2) 0 x 1 L(λ * ) z* PL { { { } n } : λ 0 } L(λ * ) = max min cx + λ(b Ax) :Cx d,x 0,1 max{ min{ cx + λ(b Ax) :Cx d,0 x 1} : λ 0} max{ min{ cx + λ(b Ax) + µ(d Cx) : x 1,x 0} : λ 0,µ 0} max{ min{ cx + λ(b Ax) + µ(d Cx) +ν(x 1) : x 0} : λ 0,µ 0,ν 0} =

46 Dim. (segue) L(λ * )... max{ min{ cx + λ(b Ax) + µ(d Cx) +ν(x 1) : x 0} : λ 0,µ 0,ν 0} = max{ min {(c λa µc +ν)x + bλ + dµ ν1: x 0} : λ 0,µ 0,ν 0} = W

47 Dim. (segue) L(λ * )... max{ min{ cx + λ(b Ax) + µ(d Cx) +ν(x 1) : x 0} : λ 0,µ 0,ν 0} = max{ min {(c λa µc +ν)x + bλ + dµ ν1: x 0} : λ 0,µ 0,ν 0} = W Se (c λa µc +ν) < 0 per x = + si ha min {(c λa µc +ν)x + bλ + dµ ν1: x 0} = Se (c λa µc +ν) 0 la soluzione ottima è x = 0 e si ha min {(c λa µc +ν)x + bλ + dµ ν1: x 0} = bλ + dµ ν1

48 Dim. (segue) L(λ * )... max{ min{ cx + λ(b Ax) + µ(d Cx) +ν(x 1) : x 0} : λ 0,µ 0,ν 0} = max{ min {(c λa µc +ν)x + bλ + dµ ν1: x 0} : λ 0,µ 0,ν 0} = W Se (c λa µc +ν) < 0 per x = + si ha min {(c λa µc +ν)x + bλ + dµ ν1: x 0} = Se (c λa µc +ν) 0 la soluzione ottima è x = 0 e si ha min {(c λa µc +ν)x + bλ + dµ ν1: x 0} = bλ + dµ ν1 per cui ha senso considerare solo vettori (c λa µc +ν) 0 in corrispondenza dei quali si ha x = 0 min {(c λa µc +ν)x + bλ + dµ ν1: x 0} = bλ + dµ ν1

49 Dim. (segue) L(λ * )... max{ min{ cx + λ(b Ax) + µ(d Cx) +ν(x 1) : x 0} : λ 0,µ 0,ν 0} = max{ min {(c λa µc +ν)x + bλ + dµ ν1: x 0} : λ 0,µ 0,ν 0} = W per cui ha senso considerare solo vettori (c λa µc +ν) 0 in corrispondenza dei quali si ha x = 0 min {(c λa µc +ν)x + bλ + dµ ν1: x 0} = bλ + dµ ν1 W = max{ bλ + dµ ν1: c λa µc +ν 0,λ 0,µ 0,ν 0}

50 Dim. (segue) W = max{ bλ + dµ ν1: c λa µc +ν 0,λ 0,µ 0,ν 0} = 1 min{ cx : Ax b,cx d,0 x 1} = Z * PL 1 La penultima uguaglianza discende dalla teoria della dualità.

51 Calcolo del Duale Lagrangiano L * Metodo del subgradiente Il calcolo del duale lagrangiano L*=L(λ * ) può essere effettuato attraverso il metodo del subgradiente che genera una successione di punti del tipo: λ k = λ k-1 + θ k d k tale che lim k->+ L(λ k )= L *

52 Calcolo del Duale Lagrangiano L * Metodo del subgradiente Nel metodo del subgradiente si ha: λ k = λ k-1 + θ k d k tale che lim k->+ L(λ k )= L * dove θ k = α k UB L(λ k 1 ) s k è il passo d k = sk s k è una direzione di salita

53 Calcolo del Duale Lagrangiano L * Metodo del subgradiente θ k = α k UB L(λ k 1 ) s k è il passo d k = sk s k è una direzione di salita s k è un subgradiente di L in λ k 1 0 < α k 2

54 Calcolo del Duale Lagrangiano L * Metodo del subgradiente Può essere dimostrato che un subgradiente s k di L in λ k 1 è dato da: s k = b Ax k dove x k è la soluzione del Problema Lagrangiano L(λ k 1 )

55 L(λ k 1 )

56 Un applicazione al problema R C max min C max tale che C i = m i=1 x ij n p ij x ij C max i = 1,...,m (1) j=1 = 1 j = 1,...,n (2) x ij 0,1 { } (3)

57 Rilassamento Lagrangiano dei vincoli (1) L(λ) = min C max + ( x ij C max ) tale che m i=1 x ij m i=1 λ i n j=1 p ij = 1 j = 1,...,n (2) x ij 0,1 { } (3)

58 Rilassamento Lagrangiano dei vincoli (1) m n L(λ) = min C max + λ i ( p ij x ij C max ) : (2), (3) i=1 j=1 = m m n = min (1 λ i )C max + λ i p ij x ij : (2), (3) i=1 i=1 j=1 = L 1 (λ) + L 2 (λ) = m min (1 λ i )C max : C max 0 + i=1 m n m min λ i p ij x ij : x ij = 1 j, x ij 0,1 i=1 j=1 i=1 { } i, j

59 Soluzione del problema L(λ) Si possono distinguere i due seguenti casi: 1. Se Σ i λ i >1 C max = + L 1 (λ) = - L(λ) = - non significativo! 2. Se Σ i λ i 1 L 1 (λ) = 0 L(λ) = L 2 (λ) Nel calcolo di L( λ * ) posso considerare solo il caso 2.

60 Soluzione del problema L(λ) 2. Se Σ i λ i 1 Il problema lagrangiano diventa quindi: ( ) = L ( 2 λ) = L λ min m x ij i=1 m n i=1 j=1 x ij 0,1 λ i p ij x ij = 1 j = 1,...,n { } i = 1,...m; j = 1,...,n

61 Soluzione del problema L(λ) L( λ) = L 2 λ m x ij i=1 x ij 0,1 " $ n j=1 m i=1 ( ) = min# λ i p ij = 1 j = 1,...,n { } L(λ) puo essere decomposto in n sottoproblemi, uno per ogni lavoro. Per il lavoro k si ha: min m i = 1 x ik x ik m i = 1 = λ 1 i p ik %$ x ik { 0,1 } i = 1,..., m x ij & $ ' ($

62 Soluzione del problema L(λ) L(λ) può essere decomposto in n sottoproblemilavori. Per il lavoro k si ha: min m i = 1 x ik x ik m i = 1 = λ 1 i p ik x ik { 0,1 } i = 1,..., n

63 Soluzione del problema L(λ) L(λ) può essere decomposto in n sottoproblemilavori. Per il lavoro k si ha: min m i = 1 x ik x ik m i = 1 = λ 1 i p ik x ik { 0,1 } i = 1,..., n La soluzione del sottoproblema associato al lavoro k consiste nell assegnare k alla macchina i per cui è minimo il prodotto λ i p ik.

64 Osservazione 1: è sufficiente considerare solo moltiplicatori Lagrangiani tali che Σ i λ i = 1 Infatti: Sia λ : 0 < Σ i λ i < 1, e sia λ : λ ' i = λ i / m i = 1,...,m i=1 λ i m = 1 Siano X e X ' i corrispondenti assegnamenti in L(λ) e L(λ ' ), si ha: X =X ' Soluzione del problema L(λ) λ > λ L(λ ' ) > L(λ) i=1 λ ' i

65 Soluzione del problema L(λ) Osservazione 2: λ vettore, λ i 0 i, si ha: L(λ) è un Lower Bound della soluzione ottima.

66 Soluzione del problema L(λ) Osservazione 2: λ vettore, λ i 0 i, si ha: L(λ) è un Lower Bound della soluzione ottima. Ogni soluzione ammissibile del problema Lagrangiano è un assegnamento dei lavori alle macchine, ed è quindi anche ammissibile per il problema originale R C max, fornisce, cioé un Upper Bound della soluzione ottima di R C max

67 Metodo del subgradiente Per una fissata iterazione it e vettore λ it-1, sia x it la soluzione del problema Lagrangiano L(λ it-1 ) Sia C max it il massimo tempo di completamento relativo a x it Nota: in realtà, in L(λ), C max può assumere qualsiasi valore maggiore o uguale 0

68 Metodo del subgradiente Un subgradiente s it all iterazione it è: s i it n j=1 = p ij x ij it it C max = C it it i C max i = 1,...,m Il nuovo vettore dei moltiplicatori è: λ i it it s = max 0,λ it 1 i +θ it i s it i = 1,...,m, θ it = α C it -L(λ it 1 ) max, 0 < α 2 s it

69 Esercizio Si consideri la seguente istanza di R C max con 3 macchine, M 1, M 2, ed M 3,e5lavori, j 1,j 2,j 3,j 4,j 5. I tempi di processamento, p ij, di ogni job j su ogni macchina i sono riportati nella tabella seguente. Table 2: Tempi di processamento p ij p ij j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 M M M Una formulazione del problema è la seguente min D 5P p ij x ij apple D for i =1,...,3 j=1 3P x ij = 1 for j =1,...,5 i=1 x ij 2 {0, 1} for j =1,...,5andi =1,...,3

70 Esercizio (segue) Dove x ij è p a r i a d 1 s e i l l a v o r o j è a s s e g n a t o a l l a m a c c h i n a i e0altrimenti. Siscriva per esteso la formulazione del problema utilizzando i dati di Tabella 2. Si e ettui il 5P rilassamento lagrangiano dei vincoli p ij x ij apple D, per i =1,...,3. Si calcoli il valore j=1 della funzione lagrangiana L( ) in corrispondenza del vettore dei moltiplicatori, con componenti 1 =1/7, 2 =4/7 e 3 =2/7. λ 1 = 3/7 λ 2 = 2/7 λ 3 = 2/7

71 λ 1 = 3/7 λ 2 = 2/7 λ 3 = 2/7 Esercizio (segue) Soluzione del problema lagrangiano: Il lavoro j è assegnato alla macchina i per cui è prodotto λ i p ij p ij j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 M M M minimo il " $ L( λ) = L 2 ( λ) = min# λ i p ij m i=1 x ij = 1 j = 1,...,n { } x ij 0,1 %$ n j=1 m i=1 x ij & $ ' ($

72 λ 1 = 3/7 λ 2 = 2/7 λ 3 = 2/7 Esercizio (segue) p ij j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 M M M Soluzione del problema lagrangiano: Il lavoro j è assegnato alla macchina i per cui è minimo il prodotto λ i p ij j 1 è assegnato alla macchina 2 j 2 è assegnato alla macchina 3 j 3 è assegnato alla macchina 1 j 4 è assegnato alla macchina 1 j 5 è assegnato alla macchina 2 L( λ) = L 2 ( λ) = min# λ i p ij m i=1 x ij = 1 j = 1,...,n { } x ij 0,1 " $ %$ n j=1 m i=1 x ij & $ ' ($ L(λ)=(3(25+10)+2(15+10)+2*20)/7=195/7=27,85 e quindi: LB=28

73 λ 1 = 3/7 λ 2 = 2/7 λ 3 = 2/7 Esercizio (segue) p ij j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 M M M La soluzione del problema lagrangiano è un assegnamento ammissibile per R C max. j 1 è assegnato alla macchina 2 j 2 è assegnato alla macchina 3 j 3 è assegnato alla macchina 1 j 4 è assegnato alla macchina 1 j 5 è assegnato alla macchina 2 Si ha quindi: C max = C 1 = p 13 + p 14 = 35

74 λ 1 = 3/7 λ 2 = 2/7 λ 3 = 2/7 j 1 è assegnato alla macchina 2 j 2 è assegnato alla macchina 3 j 3 è assegnato alla macchina 1 j 4 è assegnato alla macchina 1 j 5 è assegnato alla macchina 2 Esercizio (segue) p ij j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 M M M Subgradiente s: s 1 it s 2 it s 3 it 5 j=1 it = p 1j x 1j 5 j=1 it = p 2 j x 2 j 5 j=1 it = p 3 j x 3 j it C max it C max it C max = C it it 1 C max = C it it 2 C max = C it it 3 C max = = 0 = = 10 = =-15

75 Esercizio (segue) Quanto vale la soluzione ottima del problema originale? p ij j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 M M M min Cmax subject to 40 x0, x0, x0, x0, x0,4 - Cmax <= 0 15 x1, x1, x1, x1, x1,4 - Cmax <= 0 50 x2, x2, x2, x2, x2,4 - Cmax <= 0 x0,0 + x1,0 + x2,0 =1 x0,1 + x1,1 + x2,1 =1 x0,2 + x1,2 + x2,2 =1 x0,3 + x1,3 + x2,3 =1 x0,4 + x1,4 + x2,4 =1 x0,5 + x1,5 + x2,5 =1 integers x0,0 x0,1 x0,2 x0,3 x0,4 x1,0 x1,1 x1,2 x1,3 x1,4 x2,0 x2,1 x2,2 x2,3 end

76 Esercizio (segue) Quanto vale la soluzione ottima del problema originale? Nodes Cuts/ Node Left Objective IInf Best Integer Best Bound ItCnt Gap * % * % % * % 0 0 cutoff % Elapsed time = 0.05 sec. (0.15 ticks, tree = 0.00 MB, solutions = 3) Root node processing (before b&c): Real time = 0.03 sec. (0.09 ticks) Parallel b&c, 4 threads: Real time = 0.03 sec. (0.01 ticks) Sync time (average) = 0.00 sec. Wait time (average) = 0.00 sec. p ij j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 M M M MIP - Integer optimal solution: Objective = e+01 Solution time = 0.08 sec. Iterations = 7 Nodes = 0

77 Esercizio (segue) Quanto vale la soluzione del Rilassamento Lineare? min Cmax subject to 40 x0, x0, x0, x0, x0,4 - Cmax <= 0 15 x1, x1, x1, x1, x1,4 - Cmax <= 0 50 x2, x2, x2, x2, x2,4 - Cmax <= 0 x0,0 + x1,0 + x2,0 =1 x0,1 + x1,1 + x2,1 =1 x0,2 + x1,2 + x2,2 =1 x0,3 + x1,3 + x2,3 =1 x0,4 + x1,4 + x2,4 =1 x0,5 + x1,5 + x2,5 =1 end Cmax= 28,51 p ij j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 M M M