5 PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA (PLI) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 1

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1 5 PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA (PLI) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

2 Programma lineare intero: (PLI) min c T x Ax b x 0 intero Ipotesi: A, b interi La condizione di interezza non è lineare: sin (π x j ) = 0 j Se x j {0, } j, PL binaria Se non tutte x j intere, PL mista E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 2

3 Esempio: max z = 2x + x 2 7x + 4x 2 3 x, x 2 0 interi 3 x 2 sol. ottima PL con z PL = sol. ottima PLI con z PLI = 33 Eliminando i vincoli di interezza PL con valore ottimo z PL 2 7x + 4x 2 =3 Regione soluzioni ammissibili PLI = reticolo (finito o infinito) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano x

4 Def.: Sia z PLI max c T x Ax b (PLI) x 0 intero X PLI Il problema z PL max c T x (PL) Ax b x 0 èil rilassamento continuo. X PL X PLI Proprietà: Per qualsiasi PLI di max si ha z PL z PLI, z PL fornisce un limite superiore al valore ottimo del PLI. NB: Se PLI di min, allora z PL z PLI E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 4

5 Idea: rilassare i vincoli d interezza di (PLI) e arrotondare la soluzione ottima del rilassamento continuo (PL). Se una sol. ottima di (PL) è intera allora è anche una sol. ottima del (PLI). Spesso però la soluzione arrotondata è: - inammassibile per PLI - inutile (molto diversa dalla soluzione ottima del PLI) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 5

6 - Soluzioni non ammissibili c ottimo PL non ammissibili! ottimo PLI - Soluzioni arrotondate inutili Quando le variabili assumono dei valori piccoli all ottimo (ordine delle unità) Ad es. variabili binarie di assegnamento (job alle macchine) o di costruzione (impianti) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 6

7 - Soluzioni arrotondate utili Quando le variabili assumono dei valori elevati all ottimo Ad es. quantità di pezzi da produrre NB: dipende anche dai costi unitari (coefficienti della funzione obiettivo) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 7

8 Problema dello zaino ( knapsack ) n p j v j b oggetti j =,, n profitto (valore) oggetto j volume (peso) oggetto j capacità massima dello zaino Determinare un sottoinsieme di oggetti che massimizzi il profitto totale senza eccedere la capacità. Variabili: x j = j-esimo oggetto selezionato 0 altrimenti E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 8

9 max n j= n j= p j x v j x j j b x j {0,} j Numerose applicazioni dirette o indirette: - caricamento (contenitori, veicoli, file, ) - investimenti (p j = redditività, w j = capitale, b = disponibilità) - come sottoproblema E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 9

10 Problema di assegnamento m persone i =,, m m incarichi j =,, m c ij costo di assegnamento dell incarico j alla persona i Determinare un assegnamento degli incarichi alle persone che minimizzi il costo totale. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 0

11 Variabili: x ij = persona i svolge incarico j 0 altrimenti min m m i = j = c ij x ij m i= m x ij = j =,, m una persona per ogni incarico x ij = i =,, m j= x ij {0,} i, j un incarico per ogni persona E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano

12 Problema del trasporto (monoprodotto) m impianti produttivi i =,, m n clienti j =,, n c ij p i d j costo di trasporto di una unità di prodotto dall impianto i al cliente j disponibilità max di prodotto presso l impianto i domanda cliente j q ij massima quantità trasportabile da i a j Determinare un piano di trasporto che minimizzi i costi rispettando le domande e i limiti di disponibilità. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 2

13 Ipotesi: m i= p i d n j= Variabili: x ij = quantità trasportata da i a j j min m n i= j= c ij x ij n j= m i= x x ij ij p d i j i =,, m j =,, n vincoli di disponibilità vincoli di domanda 0 x ij q ij i, j intere vincoli di capacità E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 3

14 Particolarità dei problemi di trasporto e assegnamento: Soluzione ottima del rilassamento continuo soluzione ottima del PLI! Proprietà: Se termini noti interi, tutte le soluzioni di base ammissibili (vertici) del rilassamento continuo sono intere. Matrice m n intera A dei vincoli è speciale ( per trasporto a ij {-, 0, } con esattamente tre coefficienti 0 in ogni colonna ) vettore b dei termini noti intero. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 4

15 Soluzione ottima del rilassamento continuo: x * = B 0 b B = det B ( ) α... α m α... α, m mm T ove α ij = (-) i+j det(m ij ) con M ij sottomatrice ottenuta da B eliminando riga i e colonna j B intera α ij interi se det(b) = ± B - intera x * intero In realtà A è totalmente unimodulare, ovvero det(q) = {-,0,} sottomatrice quadrata di A E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 5

16 Problema di sequenziamento ottimo ( scheduling ) m macchine k =,, m n articoli j =,, n per ogni articolo j : d j = data limite di consegna p jk = tempo di lavorazione di j sulla k-esima macchina Ipotesi: ogni articolo deve passare su ogni macchina secondo ordine degli indici, 2,, m Determinare la sequenza ottimale di lavorazione degli articoli in modo da minimizzare il tempo complessivo rispettando le scadenze. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 6

17 Variabili decisione: t jk = istante di inizio lavorazione articolo j sulla macchina k t = istante di completamento di tutti gli articoli y ijk = se lavorazione articolo i precede quella di j sulla macchina k 0 altrimenti e poniamo M n d j j= E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 7

18 min t t jm + p jm t j tempo complessivo t t jm + p jm d j j rispetto date di consegna t ik + p ik t jk + M (-y ijk ) i,j,k i < j (*) t jk + p jk t ik + M y ijk i,j,k i < j (**) t jk + p jk t j,k+ j,k =,, m- t 0, t jk 0 j,k y ijk {0,} i,j,k lavorazioni nell ordine previsto PLI misto E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 8

19 (*) e (**) impediscono lavorazioni simultanee di 2 ordini sulla stessa macchina (*) attivo quando y ijk = (i precede j su k) e impone che i sia terminato prima che inizi j (su k) (**) attivo quando y ijk = 0 (j precede i su k) e impone che j sia terminato prima che inizi i (su k) Formulazione si può estendere al caso in cui ogni articolo j deve passare sulle m macchine (o un sottoinsieme di esse) secondo un ordine diverso. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 9

20 La maggior parte dei problemi di PLI sono NP-difficili algoritmi efficaci come quello del simplesso se algoritmo polinomiale P = NP! Metodi di tipo enumerazione implicita piani di taglio estremamente improbabile esatti (ottimo globale) euristiche ( greedy, ricerca locale, ) approssimati (ottimo locale) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 20

21 Metodi di enumerazione implicita esplorano tutte le soluzioni ammissibile in parte esplicitamente e implicitamente. metodo di Branch & Bound programmazione dinamica (cf. cammini ottimi nei grafi senza circuiti) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 2