Programmazione Matematica: I - Introduzione

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1 Programmazione Matematica: I - Introduzione Daniele Vigo D.E.I.S. Università di Bologna dvigo@deis.unibo.it rev. 3.0 ottobre 2002 Problemi di Ottimizzazione x = (x,, x n ) R n : vettore di variabili decisionali prodotti da realizzare, istanti in cui produrli... merci o materie prime da stoccare: quanto, quando luogo in cui realizzare una infrastruttura... tratti di strada da scegliere in un percorso... F R n : insieme delle soluzioni ammissibili (regione ammissibile) : F R : funzione obiettivo (f. costo) (P) min (x) x F Pmat.Intro.2

2 Problemi di Ottimizzazione (2) (P) min (x) x F ovvero determinare x* F (ottimo globale) tale che: (x*) (x) x F 0 F In generale ed F sono qualsiasi storicamente detti problemi di programmazione Pmat.Intro.3 Regione Ammissibile La regione ammissibile F può essere definita: esplicitamente: specificando le proprietà di x F Es. [0,] 2 ; x intere nell ipercubo di lato implicitamente: servendosi di equazioni e disequazioni F := {x R n : g i (x) 0, (i=,, m) h j (x) = 0, (j=,, p)} Pmat.Intro.4

3 Minimi Locali e Globali non è detto che x* esista (F = ) o che sia unica possono esistere ottimi (minimi) locali e globali (P) richiede di trovare almeno un ottimo globale 0 F Pmat.Intro.5 Esempio problema continuo: F = [0,] 2 R 2 min (x) = x + x x + x 2 = costante Pmat.Intro.6

4 Esempio 2 problema discreto: F = {0, } 2 R 2 min (x) = x + x si può valutare (x) in ciascun vertice se F={0,} ~0 30 valutazioni Pmat.Intro.7 Esempio 3 problema continuo: F = [0,] 2 R 2 min (x) = (x /2) 2 + (x 2 /2) 2 La soluzione ottima è all interno della regione ammissibile Pmat.Intro.8

5 Algoritmi Numerici Un algoritmo non ha visione completa di ed F valuta (x) in una sequenza di punti x F 0 F Pmat.Intro.9 Algoritmi Numerici (2) Gli algoritmi per i problemi di ottimizzazione sono generalmente di tipo iterativo. Sia x 0 ( F ) una soluzione iniziale; k := 0; 2. repeat 2. verifica l ottimalità (locale) di x k 2.2 se x k non ottima genera x k+ ( F ) tale che (x k+ ) (x k ) e poni k := k + ; until (x k ottima) o (condizione di terminazione) Pmat.Intro.0

6 Algoritmi Numerici (3) La sequenza x 0, x,,x k converge alla soluzione ottima x* (o ad un ottimo locale ) Nel caso generale ( ed F qualsiasi) la convergenza è ad un ottimo locale ed il numero di iterazioni è molto elevato Nel caso continuo si termina quando si è raggiunta l approssimazione desiderata (piccole variazioni tra iterazioni successive) Pmat.Intro. Ottimi Locali ed Intorni Def.: y F è un ottimo locale se un intorno N F tale che (y) (x) x N Es. N ε (y):={x F: y - x ε, ε > 0} (intorno euclideo) 0 F ε N è esatto se un ottimo locale rispetto ad N è ottimo globale (Es. N ) Pmat.Intro.2

7 Classificazione, g i, h j qualunque Progr. Non Lineare (PNL, NLP) Non esistono algoritmi generali di ottimizzazione metodi che convergono a ottimi locali, g i, convesse h j lineari Programmazione Convessa (PC,CP) ottimo locale ottimo globale algoritmi ma non efficienti Pmat.Intro.3 Classificazione (2), g i, h j lineari Programmazione Lineare (PL, LP) ottimo locale ottimo globale algoritmi efficienti (Simplesso, Elissoide ) PL con variabili intere Progr. Lineare Intera (PLI, ILP) Problema difficile ( PNL) algoritmi generali (Branch-and-Bound, Branchand-Cut, Branch-and-Price ) Pmat.Intro.4