12.1 IL PROBLEMA DEL CAMMINO MINIMO: L ALGORITMO DI DIJKSTRA

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Flaviana Pippi
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1 Problemi strutturati. IL PROBLEMA DEL CAMMINO MINIMO: L ALGORITMO DI DIJKSTRA Esercizio.. Dato il grafo di Figura.., trovare il peso dei cammini minimi dal nodo a tutti gli altri nodi del grafo (il peso associato a ciascun arco è mostrato in figura in prossimità dell arco stesso). 6 Fig... Esercizio.. Soluzione. Esercizi svolti di RICERCA OPERATIVA SAPIENZA Università di Roma a.a. 0-0

2 0 PROBLEMI STRUTTURATI I passi dell algoritmo sono i seguenti (l evoluzione di T è omessa essendo semplicemente T = V S): Iterazione 0. (a) Inizializzazione. S = {}. π() = 0. π() =. π() =. π() = +. π() = +. π(6) = +. Iterazione. (b) j =. S = {, }. (c) N + (j) T = {,, 6}. π() = min(, +)=6. π() = min(+, +)=. π(6) = min(+, +)=8. Iterazione. (b) j =. S = {,, }. (c) N + (j) T = {, }. π() = min(6, +)=. π() = min(+, +)=8. Iterazione. (b) j =. S = {,,, }. (c) N + (j) T = {, 6}. π() = min(8, +)=8. π(6) = min(8, +)=6. Iterazione. (b) j =6. S = {,,,, 6}. (c) N + (j) T =. Iterazione. (b) j =. S = {,,,,, 6}. STOP. I pesi dei cammini minimi saranno quindi: π () = 0. π () =. π () =. π () = 8. π () =. π (6) = 6. Una comoda rappresentazione delle varie iterazioni dell algoritmo è data dalla seguente forma tabellare: iter Esercizi svolti di RICERCA OPERATIVA SAPIENZA Università di Roma a.a. 0-0

3 IL PROBLEMA DEL CAMMINO MINIMO: L ALGORITMO DI DIJKSTRA ove le righe rappresentano iterazioni mentre le colonne sono in corrispondenza ai nodi. L elemento i, j rappresenta il valore della variabile π(j) all iterazione i- esima. L elemento selezionato all iterazione i-esima è rappresentato in grassetto (talvolta può essere circolettato) e, nelle iterazioni successive, il valore della variabile corrispondente non viene più riportato. La riga corrispondente all ultima iterazione è omessa. Esempio.. Dato il grafo di figura.., determinare per quali valori di x esiste un cammino minimo finito dal nodo al nodo x 6 6 x - x Fig... Esercizio.. Soluzione. Affinché esista una soluzione finita del problema, non devono esistere nel grafo cicli orientati di peso negativo. Esistono nel grafo dato due cicli orientati: C = {, (, 6), 6, (6, ),, (, )} e C = {, (, 6), 6, (6, ),, (, )}. Il primo ciclo ha peso non-negativo se e solo se x + 8 0, e cioè x. Il secondo ciclo ha peso negativo se e solo se x x + 0, che è sempre verificata. Quindi, si avrà un cammino minimo finito da a 6 se e solo se x. Esercizio.. Dato il grafo di Figura.., determinare per quali valori di x non esista un cammino minimo dal nodo s al nodo t che passi per il nodo. Esercizi svolti di RICERCA OPERATIVA SAPIENZA Università di Roma a.a. 0-0

4 PROBLEMI STRUTTURATI s 8 6 x 6 8 t Fig... Esercizio.. Soluzione. Osservare innanzitutto che ogni cammino da s a t passante per il nodo, passerà necessariamente anche per l arco (, 8). Affinché il cammino minimo fino a t non passi per l arco (, 8) deve esistere un cammino minimo dal nodo s al nodo 8 di peso inferiore al peso di un cammino minimo da s a aumentato del peso dell arco (, 8). Quindi bisogna innanzi tutto calcolare il peso di un cammino minimo fino al nodo 8 che non utilizzi l arco (, 8) (ad esempio considerando x molto grande, o rimuovendo l arco) e calcolare il peso di un cammino minimo fino al nodo. A tal scopo si può utilmente sfruttare l algoritmo di Dijkstra, con la semplificazione che una volta ottenuti i pesi cercati (e cioè π () e π (8)) possiamo concludere le iterazioni dell algoritmo. I passi dell algoritmo sono i seguenti (l evoluzione di T è omessa essendo semplicemente T = V S): Iterazione 0. (a) Inizializzazione. S = {}. π(s) = 0. π() =. π() =. π() =. π() = +. π() = +. π(6) = +. π() = +. π(8) = +. π(t) =+. Iterazione. (b) j =. S = {s, }. (c) N + (j) T = {,, 6, }. π() = min(, +) =. π() = min(, +) =. π(6) = min(+, +8)=9. π() = min(+, +)=6. Esercizi svolti di RICERCA OPERATIVA SAPIENZA Università di Roma a.a. 0-0

5 IL PROBLEMA DEL CAMMINO MINIMO: L ALGORITMO DI DIJKSTRA Iterazione. (b) j =. S = {s,, }. (c) N + (j) T = {6, }. π(6) = min(9, +)=. π() = min(6, +)=. Iterazione. (b) j =. S = {s,,, }. (c) N + (j) T = {, }. π() = min(+, +) = 6. π() = min(+, +) =. Iterazione. (b) j =. S = {s,,,, }. (c) N + (j) T = {, 6, 8}. π() = min(6, +)=. π(6) = min(, +)=. π(8) = min(+, + ) =. Iterazione. (b) j =. S = {s,,,,, }. (c) N + (j) T = {6, 8}. π(6) = min(, +)=. π(8) = min(, + 6) = 0. Iterazione 6. (b) j =. S = {s,,,,,, }. (c) N + (j) T =. Iterazione. (b) j =6. S = {s,,,,,, 6, }. (c) N + (j) T = {8}. π(8) = min(0, +)=8. Iterazione 8. (b) j =8. S = {s,,,,,, 6,, 8}. (c) N + (j) T = {t}. π(t) =min(+, 8 + ) =. STOP. Notare che al passo (c) dell iterazione 6, l intersezione fra l intorno positivo del nodo e l insieme T è considerato vuota, concordemente all assunzione che l arco (, 8) sia stato rimosso. Le iterazioni dell algoritmo possono essere rappresentate in forma tabellare: Esercizi svolti di RICERCA OPERATIVA SAPIENZA Università di Roma a.a. 0-0

6 PROBLEMI STRUTTURATI iter. 6 8 t I pesi dei cammini minimi cercati saranno quindi: π () =. π (8) = 8. Quindi, affinché l arco (, 8) non sia contenuto in nessun cammino minimo, dovrà essere π () + x>π (8), ovvero x>. Esercizi svolti di RICERCA OPERATIVA SAPIENZA Università di Roma a.a. 0-0

7 Sommario Introduzione La Programmazione Matematica. Problemi di Programmazione Matematica Modelli di Programmazione Lineare. Modelli di allocazione ottima di risorse.. Modelli di allocazione ottima multiperiodo. Modelli di miscelazione 6. Modelli di trasporto Il linguaggio di modellizzazione algebrica AMPL. Esercizi di formulazioni mediante il linguaggio AMPL La Programmazione Lineare. Interpretazione geometrica di un Problema di Programmazione Lineare 6 Teoria della Programmazione Lineare 6. Vertici di un poliedro Esercizi svolti di RICERCA OPERATIVA SAPIENZA Università di Roma a.a. 0-0

8 6 SOMMARIO Il metodo del simplesso. La forma standard. Vertici e Soluzioni di Base 8. Il criterio di ottimalità e il criterio di illimitatezza. Il metodo del simplesso 6 8 La dualità nella Programmazione Lineare 8. Teoria della dualità 9 Modelli di Programmazione Lineare Intera 8 9. Modelli di Programmazione Lineare Intera 8 0 Teoria della Programmazione Lineare Intera 9 Soluzione di problemi di Programmazione Lineare Intera 9. Esercizi sulla soluzione di problemi di Programmazione Lineare Intera 9 Problemi strutturati 09. Il problema del cammino minimo: l algoritmo di Dijkstra 09 Esercizi svolti di RICERCA OPERATIVA SAPIENZA Università di Roma a.a. 0-0

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