2. SIMPLESSO. Ricerca Operativa. 2 Esercizi sul simplesso. Politecnico di Torino CeTeM
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- Enrichetta Di Gregorio
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1 . SIMPLESSO Pagina di
2 Pagina di Esempio (Simplesso standard) Sia dato il seguente PL: Il tableau del simplesso è il seguente:.. min s t z
3 Esiste una soluzione di base ammissibile:,,, z La soluzione non è ottima perchè esistono r j < (r -, r -, r -, r -, r -). Viene fatta entrare in base una variabile con costo ridotto negativo, in questo caso. Per decidere la variabile candidata ad uscire, si valutano i rapporti a a La variabile che esce viene indicata dal più piccolo dei rapporti avente denominatore non negativo, in questo caso. Pagina di
4 Applicando le operazioni di pivot attorno all'elemento a si ottiene una nuova base (, ) con il corrispondente tableau: La soluzione non è ottima perchè esistono r j < (r -, r -, r -). Viene fatta entrare in base una variabile con costo ridotto negativo, in questo caso. Per decidere la variabile candidata ad uscire, si valutano i rapporti a a La variabile che esce viene indicata dal più piccolo dei rapporti avente denominatore non negativo, in questo caso. Pagina di
5 Applicando le operazioni di pivot attorno all'elemento a si ottiene una nuova base (, ) con il corrispondente tableau: La soluzione non è ottima perchè esistono r j < (r -/). Viene fatta entrare in base una variabile con costo ridotto negativo, in questo caso. Per decidere la variabile candidata ad uscire, si valutano i rapporti La variabile che esce viene indicata dal più piccolo dei rapporti avente denominatore non negativo, in questo caso. Pagina di a 9 a
6 Applicando le operazioni di pivot attorno all'elemento a si ottiene una nuova base (, ) con il corrispondente tableau: In questo caso il test di ottimalità è superato ("j N r j ). La soluzione ottima è:,,,, z - Pagina di
7 Pagina di Esempio (Simplesso standard) Sia dato il seguente PL:.. min s t z
8 Come si vede non c'è una soluzione di base disponibile per cui si aggiunge ad ogni riga una variabile artificiale e si crea il problema artificiale (FASE I): minw s. t. Si ricavano e dalle espressioni precedenti e si sostituiscono nella nuova funzione obiettivo ricavando: minw Pagina di
9 Il tableau della fase I del Simplesso sarà allora il seguente: b La soluzione relativa alla fase di ammissibilità non è ottima perchè esistono r j < (r -, r -, r -). Viene fatta entrare in base una variabile con costo ridotto negativo, in questo caso. Per decidere la variabile candidata ad uscire, si valutano i rapporti a La variabile che esce viene indicata dal più piccolo dei rapporti avente denominatore non negativo, in questo caso. a Pagina 9 di
10 Applicando le operazioni di pivot attorno all'elemento a si ottiene una nuova base (, ) con il corrispondente tableau: La soluzione relativa alla fase di ammissibilità non è ottima perchè esistono r j < (r -/, r -/). Viene fatta entrare in base una variabile con costo ridotto negativo, in questo caso. Per decidere la variabile candidata ad uscire, si valutano i rapporti La variabile che esce viene indicata dal più piccolo dei rapporti avente denominatore non negativo, in questo caso. Pagina di a a b
11 Applicando le operazioni di pivot attorno all'elemento a si ottiene una nuova base (, ) con il corrispondente tableau: Il test di ottimalità relativo alla fase di ammissibilità è ora superato, ossia si è ottenuta una soluzione ammissibile di base ed è perciò possibile eliminare le colonne delle variabili artificiali. Per tornare al problema originale bisogna aggiornare anche la funzione obiettivo; uno dei modi consiste nel ricavare e dalle equazioni e sostituirle nella funzione obiettivo originale. A questo punto inizia la FASE II. b Pagina di
12 Il nuovo tableau del simplesso sarà: La soluzione non è ottima perchè esistono r j < (r -). Viene fatta entrare in base una variabile con costo ridotto negativo, in questo caso. Per decidere la variabile candidata ad uscire, si valutano i rapporti a La variabile che esce viene indicata dal più piccolo dei rapporti avente denominatore non negativo, in questo caso. a b Pagina di
13 Applicando le operazioni di pivot attorno all'elemento a si ottiene una nuova base (, ) con il corrispondente tableau: La soluzione ottima del PL quindi è: b,,, z Si noti il fatto che se all'ultima iterazione della fase di ammissibilità si fosse fatto entrare in base la variabile, la soluzione ottima sarebbe stata raggiunta con un'iterazione in meno. Pagina di
14 Siano: SIMPLESSO REVISIONAO r : inverso b : : vettore della soluzione costi base ridotti corrente corrente iterazione I passi del Simplesso revisionato sono i seguenti:. Calcolare: λ r c c λ corrente Se r SOP, è la soluzione ottima.. Scegliere una variabile q con costo ridotto r q negativo. Il vettore a q entra in base. Calcolare q - a q (è il vettore a q espresso nei termini della base corrente). all' Pagina di
15 . Se iq "i SOP, PROLEMA ILLIMIAO Altrimenti trovare il vettore che lascia la base calcolando i rapporti i / iq e scegliendo il minimo.. Aggiornare - e - b. ornare al passo. Pagina di
16 Pagina di Esempio (Simplesso Revisionato) Sia dato il seguente PL: Il tableau del simplesso è il seguente:.. min s t z
17 Esiste una soluzione di base ammissibile disponibile (,,,, z ) e quindi si applica direttamente la fase II dell'algoritmo del Simplesso. Iterazione I c [ ] C [ ] [ ] z c Pagina di
18 λ r Iterazione c c λ [ ] [ ] La soluzione non è ottima perchè esistono r j < (r -, r -, r -). Viene fatta entrare in base una variabile con costo ridotto negativo, in questo caso. Si calcola a Pagina di
19 Pagina 9 di Siccome esistono delle componenti non negative del vettore, per decidere la variabile candidata ad uscire si valutano i rapporti La variabile che esce viene indicata dal più piccolo dei rapporti avente denominatore non negativo, in questo caso. Si ottiene: I [ ] [ ] C c c z
20 Pagina di Iterazione La soluzione non è ottima perchè esistono r j < (r -). Viene fatta entrare in base una variabile con costo ridotto negativo, in questo caso. Si calcola [ ] c λ a [ ] c r λ
21 Pagina di Siccome esistono delle componenti non negative del vettore, per decidere la variabile candidata ad uscire si valutano i rapporti La variabile che esce viene indicata dal più piccolo dei rapporti avente denominatore non negativo, in questo caso. Si ottiene: [ ] [ ] C c c z I
22 Pagina di Iterazione In questo caso il test di ottimalità è superato ("j N r j ). La soluzione ottima è: c λ c r λ,,,, z
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