Programmazione Matematica: V- La forma Tableau

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1 Programmaione Matematica: V- La forma ableau Daniele Vigo D.E.I.S. Università di ologna rev. 3.3 Aprile 24 orma ableau () ableau rappresentaione dei dati che semplifica il calcolo manuale (evita il calcolo esplicito di ) Se A [ A,, A m A m+,, A n ] [ ] in base fuori base d c + x c x + x x d c c Pmat.abl.2

2 orma ableau (2) Operaioni elementari di riga Moltiplicaione di una riga per una costante Somma ad una riga di un multiplo di un altra Il nuovo sistema è equivalente al precedente Problema in forma canonica rispetto alla base corrente : Matrice identità nelle colonne della base Costi ridotti nulli per le variabili in base Pmat.abl.3 orma ableau (3) -c - d Ix c' + - x x c* d I c' Il ableau contiene tutte le informaioni necessarie all applicaione dell algoritmo del simplesso Cambiando base bisogna riportare il ableau in forma canonica Pmat.abl.4

3 orma ableau (4) d c + x c x + x x d c c -c - d Ix c' + - x x c* d I c' Pmat.abl.5 Simplesso in orma ableau Descriviamo l evoluione con riferimento alla forma tabellare Y matrice (n+) (m+) contente i coefficienti del tableau corrente. Si iniialia il tableau con i dati di ingresso: a) costi in riga : y j c j (j,, n) b) termini noti in colonna : y i d i (i,, m) a) matrice tecnologica: y ij a ij (i,, m;j,, n) d c A Pmat.abl.

4 Simplesso in orma ableau (2) Supponiamo Y sia in forma canonica rispetto ad una base {A β(),, A β(m) }, {β(),, β(m)} Il tableau contiene tutte le informaioni necessarie per la verifica di ottimalità ed il pivoting: 2. est di ottimalità: se y j j SOP altrimenti sia h arg min j {y j < } c* d I c' Pmat.abl.7 Simplesso in orma ableau (3) 3. Pivoting: a) scelta dell elemento cardine (pivot) sia l arg min i,,m {y i /y ih < } b) aggiornamento del tableau (Y nuovo tableau) riga l : (y lh ) y lj : y lj /y lh (j,, n) altre righe : (y ih, i l) y ij : y ij y lj /y ih (i,, m: i l; j,, n) β(l) y l y j y lj h y h y lh Pmat.abl.8

5 Esempio max + s.t , min s.t ,,, / /3 /3 2 /3 + r 2 2 r 2 /3 Pmat.abl.9 2 a iteraione max + s.t , min s.t ,,, 2 9/ /2 3 5/3 8 2/3 5/24 /8 /2 /3 /2 2 /4 /3 / +5/3 r /8 +2/3 r Pmat.abl.

6 3 a iteraione max + s.t , min s.t ,,, 9/2 3/2 3 8 /2 3/2 5/24 /4 /8 /4 /2 /2 /2 /4 / +/2 r 2 +/4 r 2 * Pmat.abl. 4 a iteraione max + s.t , min s.t ,,, /2 /4 3/2 /4 OIMO!!! 8 /2 Pmat.abl.2

7 Esempio 2 fasi min ,, -w y y 2 y y In realtà basta solo la seconda variabile artificiale Pmat.abl.3 Esempio 2 fasi (2) -w y y Mettiamo in forma canonica rispetto alla base -w y y r /2 -r Pmat.abl.4

8 -w y Esempio 2 fasi (3) y -7/2 /2-2 /2 5/2 /2 /2 7/2 -/2 2 -/2 +r 2 /2 -w y 5/2 /2 /2 7/4 -/4 -/4 /2 Pmat.abl.5 Esempio 2 fasi (3) - 5/2 7/4 /2 -/4 /2 -/4 -r 2 Mettiamo in forma canonica rispetto alla base - -7/4 5/2 7/4 5/4 /2 -/4 /4 /2 -/4 SOP! ase ottima Pmat.abl.

9 Eserciio I.4 Produione di 3 articoli A,, C,, Preo di vendita: 3, 4 e 2 al peo atturato mensile non inferiore a 8.. Materiale di scarto (ma t): 2 g per peo A prodotto g per peo o C prodotto Profitto: A %, e C 5% del preo Pmat.abl.7 Degeneraione ciclante Dato il tableau iniiale x 5 x x 7 3 3/4 2 /2 x 5 /4 8 9 x /2 2 /2 3 x 7 Regola di pivoting: colonna con il costo ridotto più negativo in caso di parità si fa uscire dalla base la riga con indice minore Pmat.abl.8

10 Degeneraione ciclante (2) x 5 x x / x 4 3/2 5 2 x 7 x 5 x x /8 5/4 /2 /4 x 7 Pmat.abl.9 Degeneraione ciclante (3) x 5 x x 7 3 / /8 2/2 3/2 3/4 3/ / /8 x 7 /8 2/2 3/2 x 5 x x 7 3 /2 5/2 5 2 /4 /3 /3 2/3 x 7 5/2 5 2 Pmat.abl.2

11 Degeneraione ciclante (4) x 5 x x 7 3 7/4 44 /2 2 x 5 5/4 28 /2 3 / 4 / /3 x 7 x 5 x x 7 3 3/4 2 /2 x 5 /4 8 9 x /2 2 /2 3 x 7 è il tableau iniiale! Pmat.abl.2