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1 1 Seconda Parte

2 2 Teoria della dualità Di fondamentale importanza per lo studio di un problema di Lineare (PL) è la conoscenza della. Principali impieghi: sviluppo di metodi in alcuni casi più efficienti di quelli visti nella prima parte del corso; analisi di post-ottimalità. Punto fondamentale: a partire da un problema (P) di PL, si può costruire un altro problema (D) di PL, detto duale. Le soluzioni dei due problemi sono strettamente legate.

3 3 Teoria della dualità: formulazioni Il problema (P) iniziale è spesso indicato come primale (per distinguerlo dal corrispondente duale). Definizione Sia dato un problema (P) diplinformastandard con Min s.v. c T x Ax=b x 0 n x R n, c R n, b R m, A R m n (primale)

4 4 Teoria della dualità: formulazioni Si può definire il seguente problema: Max s.v. b T w A T w c (duale) dove b T w è la nuova funzione obiettivo e w=[w 1 w 2 w m ] T è il vettore. la struttura dati dei due problemi è uguale (si continua a lavorare con gli stessi input A, b, c)

5 5 Teoria della dualità: formulazioni Osservazioni: il problema primale ha n variabili e m vincoli, il corrispondente duale ha m variabili e n vincoli. In particolare, esiste una corrispondenza biunivoca tra la j-esima variabile del primale e il j-esimo vincolo del duale e tra l'i-esima variabile del duale e l'i-esimo vincolo del primale; la matrice dei coefficienti tecnologici del problema duale è la trasposta della matrice dei coefficienti tecnologici del problema primale; il vettore dei coefficienti della funzione obiettivo del duale è il vettore dei termini noti nei vincoli del primale e viceversa.

6 6 Teoria della dualità: formulazioni Si consideri un problema (P) di PL con vincoli di disuguaglianza con x R n, c R n, b R m, A R m n. (primale) Trasformazione del problema in forma standard: con s R m, I R m m. Min s.v. Min s.v. c T x Ax b x 0 n c T x+0 m T s Ax Is=b x 0 n, s 0 m

7 7 Teoria della dualità: formulazioni Il problema può essere scritto in maniera equivalente come Min [c T 0 mt ] s.v. x s x [A I] =b s x 0 n, s 0 m Il duale corrispondente a questo problema si ottiene introducendo il vettore w R m (secondo la definizione precedente).

8 8 Teoria della dualità: formulazioni Problema duale corrispondente: Max s.v. b T w [A I] T w Il problema duale può essere scritto in maniera equivalente come Max s.v. b T w A T w c w 0 m c 0 m (duale)

9 9 Teoria della dualità: formulazioni Con ragionamenti analoghi, si perviene al seguente risultato: dato il problema di PL si ottiene Min s.v. Max s.v. b T w c T x Ax b x 0 n A T w c w 0 m (primale) (duale)

10 10 Teoria della dualità: formulazioni Osservazione: A vincoli di disuguaglianza nel primale corrispondono variabili vincolate in segno nel duale. Si consideri ora un problema di PL con alcune variabili decisionali libere in segno: (primale) con x R n, c x R n, y R q, c y R q, b R m, A x R m n, A y R m q. Min s.v. c xt x+c yt y A x x+ A y y =b x 0 n

11 11 Teoria della dualità: formulazioni La trasformazione in forma standard conduce al seguente problema: x Min [c T x c T y c yt ] + y s.v. y x [A x A y A y ] + = b y y x 0 n, y + 0 q, y 0 q Il corrispondente duale si ottiene introducendo il vettore w R m (secondo la definizione precedente).

12 12 Teoria della dualità: formulazioni Problema duale corrispondente: Max b T w s.v. [A x A y A y ] T w cx cy c y Il problema duale può essere riscritto come Max b T w s.v. A xt w c x A yt w c y A yt w c y A yt w = c y (duale)

13 13 Teoria della dualità: formulazioni Osservazione: A variabili libere in segno nel primale corrispondono vincoli di uguaglianza nel duale. Infine si consideri il seguente problema di PL di massimizzazione: Max s.v. c T x Ax=b x 0 n con x R n, c R n, b R m, A R m n. (primale) Trasformando il problema in forma standard si ottiene

14 14 Teoria della dualità: formulazioni ( ) Min c T x s.v. Ax=b x 0 n Il duale corrispondente a questo problema si ottiene introducendo il vettore λ R m (secondo la definizione precedente). ( ) Max b T λ s.v. A T λ c Min b T λ s.v. A T λ c

15 15 Teoria della dualità: formulazioni Il duale può essere trasformato nel seguente problema equivalente (duale) ponendo w= λ (w R m rappresenta il vettore delle variabili duali per l ultima formulazione). Osservazione: Min b T w s.v. A T w c Se il problema primale è di minimizzazione, il corrispondente duale è di massimizzazione e viceversa.

16 16 Teoria della dualità: formulazioni Le regole generali per la costruzione del problema duale a partire da un generico problema di PL sono sintetizzate nella tabella seguente:

17 17 Teoria della dualità: formulazioni Esempio 1 Determinare il duale del seguente problema di PL: Max 4x 1 +3x 2 +2x 3 s.v. x 1 +2x 2 +3x 3 8 2x 1 x 3 7 (primale) 3x 1 +4x 2 x 3 5 x 2 +x 3 6 x 2 0

18 18 Teoria della dualità: formulazioni Sol. Min 8w 1 +7w 2 +5w 3 +6w 4 s.v. w 1 +2w 2 +3w 3 = 4 2w 1 +4w 3 +w 4 3 (duale) 3w 1 w 2 w 3 +w 4 = 2 w 1, w 2, w 3, w 4 0

19 19 Teoria della dualità: formulazioni Esempio 2 Determinare il duale del seguente problema di PL: Min 0,4x 1 +0,5x 2 s.v. 0,3x 1 +0,1x 2 2,7 0,5x 1 +0,5x 2 = 6 (primale) 0,6x 1 +0,4x 2 6 x 1, x 2 0 Sol. Max 2,7w 1 +6w 2 +6w 3 s.v. 0,3w 1 +0,5w 2 +0,6w 3 0,4 (duale: D 1 ) 0,1w 1 +0,5w 2 +0,4w 3 0,5 w 1 0, w 3 0

20 20 Teoria della dualità: formulazioni D 1 presenta variabili libere in segno, variabili non negative e variabili non positive. Dalla tabella precedente si deduce che variabili duali non negative corrispondono a: vincoli di in un problema (primale) di minimizzazione; vincoli di in un problema (primale) di massimizzazione. Nella formulazione (primale) precedente, rimpiazzando il vincolo 0,3x 1 +0,1x 2 2,7 con 0,3x 1 0,1x 2 2,7, si ottiene un problema duale equivalente a D 1 con variabili libere in segno o non negative.

21 21 Teoria della dualità: formulazioni Max 2,7w 1 +6w 2 +6w 3 s.v. 0,3w 1 +0,5w 2 +0,6w 3 0,4 (duale: D 2 ) 0,1w 1 +0,5w 2 +0,4w 3 0,5 w 1 0, w 3 0 Si poteva ottenere D 2 direttamente da D 1 (trasformazione di una variabile non positiva in una variabile non negativa). Il problema duale è un problema di PL esistono formulazioni equivalenti.

22 22 Teoria della dualità: teoremi Teorema 1 Il duale del duale di un problema di PL è equivalente al problema di PL stesso. Esempio Min 4x 1 + 6x x 3 s.v. x 1 + x 3 3 x 2 +2x 3 5 x 1, x 2, x 3 0 (primale) Max 3w 1 + 5w 2 s.v. w 1 4 w 2 6 w 1 + 2w 2 18 w 1, w 2 0 (duale)

23 23 Teoria della dualità: teoremi Max 3w 1 + 5w 2 Min 4x 1 + 6x x 3 s.v. s.v. w 1 4 x 1 + x 3 3 w 2 6 x 2 +2x 3 5 w 1 + 2w 2 18 x 1, x 2, x 3 0 w 1, w 2 0 (duale) (duale del duale) Parlando di problemi di programmazione lineare e dei rispettivi duali, pertanto, si è autorizzati a usare il termine di coppia primale-duale senza distinzione fra problemi.

24 24 Teoria della dualità: teoremi Per fissare meglio le idee, i successivi teoremi, pur avendo validità generale, saranno presentati con riferimento a una specifica coppia di problemi: Primale: problema di PL in forma standard (minimo) Duale: duale del problema in forma standard (massimo) Teorema 2 (dualità debole) Sia x una soluzione ammissibile del primale e sia w una soluzione ammissibile del corrispondente duale. Il valore di funzione obiettivo del duale associato a w è sempre minore o uguale del valore di funzione obiettivo del primale associato a x, cioè b T w c T x.

25 25 Teoria della dualità: teoremi Dimostrazione Poiché x è una soluzione ammissibile del primale si ha: Ax=b e x 0 n. Allo stesso modo, poiché w èuna soluzione ammissibile del duale si ha A T w c w T A c T. Moltiplicando ambo i membri della disequazione per x si ha: w T Ax c T x w T b c T x.da questa relazione discende che b T w c T x (w T b e c T x sono scalari). Generalizzando, data una coppia primale-duale, il valore di funzione obiettivo associato a ogni soluzione ammissibile del problema di massimo costituisce un limite inferiore per il valore di funzione obiettivo associato a ogni soluzione ammissibile del problema di minimo.

26 26 Teoria della dualità: teoremi Teorema 3 (dualità forte) Se il problema primale ammette una soluzione ottima x *, allora anche il duale ammette una soluzione ottima w * e il valore di funzione obiettivo associato alle due soluzioni coincide: b T w * =c T x *. Dimostrazione omissis Teorema 4 Se il problema primale è illimitato, il corrispondente duale è privo di soluzioni ammissibili.

27 27 Teoria della dualità: teoremi Dimostrazione Se il problema primale è illimitato, esiste una successione di soluzioni ammissibili x 1,x 2, tale che lim c k T =. Se il duale ammettesse una soluzione ammissibile w, la grandezza b T w costituirebbe un limite inferiore per il valore di funzione obiettivo associato a qualsiasi soluzione ammissibile del primale. Si arriverebbe, pertanto, a una relazione priva di senso: b T w. x k

28 28 Teoria della dualità: teoremi Nelle relazioni presentate non si è ancora fatto riferimento al seguente caso: il problema primale è inammissibile. In queste circostanze, sicuramente il problema duale non ammette una soluzione ottima. Tuttavia sono possibili due situazioni alternative: il duale è illimitato, il duale è inammissibile.

29 29 Teoria della dualità: teoremi Esempio 1 Min x 1 s.v. x 1 x 2 + x 3 =2 x 1 +x 3 + x 4 = 1 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Max 2w 1 + w 2 s.v. w 1 + w 2 1 w 1 0 w 1 + w 2 0 (primale) (duale) w 2 0 Il problema primale risulta inammissibile. La verifica di questa affermazione potrebbe essere fatta applicando la prima fase del metodo delle due fasi.

30 30 Teoria della dualità: teoremi Tuttavia si può vedere molto più semplicemente che il primale è equivalente al seguente problema Min x 1 s.v. x 1 + x 3 2 x 1 +x 3 1 x 1, x 3 0 dove ci sono due vincoli non compatibili fra loro. Il duale è invece un problema illimitato. E possibile verificare direttamente questa affermazione, data la semplicità del duale.

31 31 Teoria della dualità: teoremi Ad esempio, scegliendo w 1 =K e w 2 = K (con K 0) si ottengono soluzioni ammissibili con valore di funzione obiettivo pari a K (e K può essere scelto grande a piacere). Esempio 2 Min x 1 2x 2 s.v. x 1 x 2 + x 3 =2 x 1 x 2 x 4 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Max 2w 1 +3w 2 s.v. w 1 + w 2 1 w 1 w 2 2 w 1 0 w 2 0 (primale) (duale)

32 32 Teoria della dualità: teoremi Il problema primale risulta inammissibile. Come prima, si può vedere molto semplicemente che il primale è equivalente al seguente problema Min x 1 2x 2 s.v. x 1 x 2 2 x 1 x 2 3 x 1, x 2 0 dove ci sono due vincoli non compatibili fra loro. Anche il duale è un problema inammissibile. Il primo vincolo w 1 +w 2 1 è infatti incompatibile con il secondo w 1 w 2 2 w 1 +w 2 2.

33 33 Teoria della dualità: teoremi Notazione: DatalamatriceA R m n,siindicheràcon a i,l i-esima riga di A (i=1,,m) econa j la j-esima colonna di A (j=1,,n). Il problema di PL in forma standard e il corrispondente duale possono essere riscritti come: Min s.v. Max s.v. c T x a i x=b i, i=1,,m x 0 n b T w w T A j c j, j=1,,n

34 34 Teoria della dualità: teoremi Teorema 5 (scarti complementari) Due soluzioni x e w ammissibili rispettivamente per il primale in forma standard e per il corrispondente dualesonoottimaliseesolose: (c j w T A j )x j =0 j=1,, n. Teorema 6 (scarti complementari per problemi non standard) Si consideri il seguente problema (non in forma standard) e il corrispondente duale

35 35 Teoria della dualità: teoremi Min c T x s.v. a i x b i, i=1,,m x 0 n Max b T w s.v. w T A j c j, j=1,,n w 0 m (primale) (duale) Due soluzioni x e w ammissibili rispettivamente per il primale e per il duale sono ottimali se e solo valgono le seguenti relazioni: (c j w T A j )x j =0 j=1,, n w i (a i x b i )=0 i=1,, m

36 36 Teoria della dualità: teoremi Teorema 5: Dimostrazione Necessità: Sex e w sono ottime (rispettivamente per il primale e per il duale), per il teorema di dualità forte si ha c T x=b T w c T x w T b=0 c T x w T b+w T Ax w T Ax=0 (c T w T A)x+w T (Ax b)=0. Poiché x è ammissibile per il primale (Ax=b) si ha (c T w T A)x=0. Le componenti del vettore riga c T w T A sono non negative (w è ammissibile per il duale; pertanto A T w c w T A c T ).Anchelecomponentidelvettore colonna x sono non negative (x è ammissibile per il primale).

37 37 Teoria della dualità: teoremi Pertanto, per avere (c T w T A)x=0 deve essere (c j w T A j )x j =0 j=1,,n. Sufficienza: Si può fare lo stesso ragionamento a ritroso. A partire dalla relazione (c j w T A j )x j = 0 j=1,, n si arriva a dire che x e w sono ottime (rispettivamente per il primale e per il duale). Teorema 6: Dimostrazione La dimostrazione è simile alla precedente e viene lasciata come esercizio.

38 38 Le relazioni di appena trovate hanno una valenza più generale. Questo aspetto, nonché l utilità delle relazioni, saranno chiariti meglio mediante esempi numerici. Esempio 1 Min 3x 1 2x 2 +4x 3 s.v. x 1 +x 2 5 3x 1 +2x 2 x 3 = 2 x 1 1 x 1 1 x 2 0 (primale)

39 39 Sapendo che il valore ottimale della variabile duale w * 4 è diverso da 0, quanto vale la variabile decisionale x 1*? Il problema può essere riscritto nel seguente modo: Min 3x 1 2x 2 +4x 3 s.v. x 1 x 2 5 3x 1 +2x 2 x 3 = 2 x 1 1 x 1 1 x 2 0 Il corrispondente duale è (primale)

40 40 Max 5w 1 2w 2 w 3 w 4 s.v. w 1 3w 2 +w 3 w 4 = 3 w 1 +2w 2 2 w 2 = 4 w 1, w 3, w 4 0 (duale) Una relazione di è sicuramente la seguente: w 4 ( x 1 +1)=0. Poiché w 4* 0, deve valere l equazione x 1* +1=0. Si deduce che x 1* =1.

41 41 Esempio 2 Max 4x 1 8x 2 +5x 3 +2x 4 s.v. 2x 1 +6x 2 2x 3 x 4 12 (primale) x 1 +9x 2 +12x 3 2x x 1 +3x 2 +x 3 +4x 4 32 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Per tale problema di PL è nota la seguente soluzione ottima: x * =[72/5 0 16/5 0] T,convaloredi funzione obiettivo pari a 368/5. Formulare il problema duale e determinare la soluzione ottima w * utilizzando le sole relazioni di.

42 42 Il duale è formulabile nel seguente modo: Min 12w 1 +24w 2 +32w 3 s.v. 2w 1 w 2 +2w 3 4 6w 1 +9w 2 +3w 3 8 2w 1 +12w 2 +w 3 5 w 1 2w 2 +4w 3 2 w 1, w 2, w 3 0 : w 1 ( 12+2x 1 6x 2 +2x 3 +x 4 )=0 w 2 (24+x 1 9x 2 12x 3 +2x 4 ) =0 w 3 (32 2x 1 3x 2 x 3 4x 4 )=0 (duale)

43 43 x 1 ( 2w 1 w 2 +2w 3 4)=0 x 2 (6w 1 +9w 2 +3w 3 +8)=0 x 3 ( 2w 1 +12w 2 +w 3 5)=0 x 4 ( w 1 2w 2 +4w 3 2)=0 Poiché x 1* 0, x 3* 0 e 12+2x 1* 6x 2* +2x 3* +x 4* 0, la soluzione ottima del duale si ricava risolvendo il seguente sistema di equazioni 2w 1 w 2 +2w 3 =4 2w 1 +12w 2 +w 3 =5 w 1 =0 w * =[0 6/25 53/25] T con valore di funzione obiettivo pari a 368/5.

44 44 Esempio 3 Min 2x 1 +x 2 s.v. x 1 + x 2 x 3 = 1 x 1 x 2 1 2x 1 3x 2 6 (primale) x 1, x 2, x 3 0 Per tale problema di PL è nota la seguente soluzione ottima: x * =[0 1 0] T, con valore di funzione obiettivo pari a 1. Formulare il problema duale e determinare la soluzione ottima w * utilizzando le sole relazioni di.

45 45 Il duale è formulabile nel seguente modo. Max w 1 w 2 6w 3 s.v. w 1 +w 2 +2w 3 2 (duale) w 1 w 2 3w 3 1 w 1 0 w 2, w 3 0 Considerando che: x 1* =x 3* =0 il primo vincolo del primale è di uguaglianza ci si può limitare a scrivere solo le seguenti relazioni di

46 46 w 2 (x 1 x 2 +1)=0 w 3 (2x 1 3x 2 +6) =0 x 2 (1 w 1 +w 2 +3w 3 )=0 Poiché x 2* 0 e 2x 1* 3x 2* +6 0, ma x 1* x 2* +1=0, la soluzione ottima del duale si ottiene risolvendo il seguente sistema: w 3 =0 1 w 1 +w 2 +3w 3 =0 1 w 1 +w 2 +3w 3 =0 1 w 1 +w 2 =0 w 1 =1+w 2 Ponendo w 2 =k si ottiene [1+k k 0] T.

47 47 Il parametro k non può essere scelto del tutto arbitrariamente. La scelta deve infatti salvaguardare l ammissibilità della soluzione (tutti i vincoli del duale devono essere rispettati). 1 vincolo: 1+k+k 2 k 1/2 3 vincolo: 1 k 0 k 1 vincolo di non negatività: w 2 0 k 0 In definitiva, il duale ha infinite soluzioni ottime del tipo w * =[1+k k 0] T con 0 k 1/2.

48 48 Esempio 4 Sia data la seguente coppia Max x 1 3x 3 s.v. x 1 2x 2 +x 3 = 1 x 1 +3x 2 2 x 2, x 3 0 Min w 1 +2w 2 s.v. w 1 + w 2 = 1 2w 1 +3w 2 0 w 1 3 w 2 0 (primale) (duale)

49 49 E nota la seguente soluzione ottima del problema duale: w * =[ 1 0] T (valore di funzione obiettivo: 1). Determinare la soluzione ottima del primale utilizzando le sole relazioni di. Con riferimento ai vincoli di disuguaglianza del duale (secondo e terzo), si possono scrivere le seguenti relazioni: x 2 ( 2w 1 +3w 2 )= 0, x 3 (w 1 +3)=0.

50 50 Poiché 2w 1 +3w 2 0 e w sihax 2* =0 e x 3* =0. La soluzione ottima [x * 1 x * 2 x 3* ] sicuramente deve soddisfare il vincolo di uguaglianza del primale: x 1 2x 2 +x 3 = 1. Segue che x 1* = 1. Alla soluzione ottima del primale [ 1 0 0] T è naturalmente associato un valore di funzione obiettivo pari a 1.

51 51 Esempio 5 Min 4x 1 7x 2 +4x 3 +5x 4 s.v. 6x 1 4x 2 6x 3 +3x 4 2 7x 1 +5x 2 +5x 3 +4x 4 3 (primale) 3x 1 2x 2 x 3 +6x 4 = 5 x 1, x 3 0 Per tale problema di PL è nota la seguente soluzione ottima: x * =[0 3/2 0 4/3] T,convaloredi funzione obiettivo pari a 23/6. Formulare il problema duale e determinare la soluzione ottima w * utilizzando le sole relazioni di.

52 52 Il duale è formulabile nel seguente modo. Max 2w 1 +3w 2 +5w 3 s.v. 6w 1 +7w 2 +3w 3 4 4w 1 +5w 2 2w 3 = 7 (duale) 6w 1 +5w 2 w 3 4 3w 1 +4w 2 +6w 3 = 5 w 1, w 2 0 La soluzione ottima [w * 1 w * 2 w 3* ] sicuramente deve soddisfare i vincoli di uguaglianza del duale: 7+4w 1 5w 2 +2w 3 =0 5 3w 1 4w 2 6w 3 =0

53 53 Inoltre, con riferimento ai vincoli di disuguaglianza del primale, si possono scrivere le seguenti relazioni: w 1 ( 6x 1 4x 2 6x 3 +3x 4 +2)=0 w 2 (7x 1 +5x 2 +5x 3 +4x 4 3)=0 Poiché 6x 1 4x 2 6x 3 +3x 4 +2=0 e 7x 1 +5x 2 +5x 3 +4x 4 3 0, solo la seconda relazione contribuisce alla definizione della soluzione ottima del duale stabilendo che w 2* =0. Risolvendo il sistema w 2 =0 7+4w 1 5w 2 +2w 3 =0 5 3w 1 4w 2 6w 3 =0

54 54 si ottiene w*=[16/9 0 1/18] T. A questa soluzione è naturalmente associato un valore di funzione obiettivo pari a 23/6. Riassumendo: a ogni vincolo j non soddisfatto all uguaglianza dalla soluzione ottima del duale D corrisponde una componente x j nulla nella soluzione ottima del primale P; a ogni variabile j non nulla (x j >0) nella soluzione ottima del primale P corrisponde un vincolo del duale D (il j-esimo) soddisfatto all uguaglianza dalla soluzione ottima di D;

55 55 a ogni vincolo i non soddisfatto all uguaglianza dalla soluzione ottima del primale P corrisponde una componente w i nulla nella soluzione ottima del duale D; a ogni variabile i non nulla (w i >0) nella soluzione ottima del duale D corrisponde un vincolo del primale P (l i-esimo) soddisfatto all uguaglianza dalla soluzione ottima di P.

56 56 Ottimalità primale - Ammissibilità duale Nella prima parte del corso si è visto che un problema in forma standard, individuato un insieme di indici di base B, può essere scritto come Min z= c BT x B + c NT x N A B x B +A N x N =b (P S ) x B 0 m, x N 0 n m con A B R m m, A N R m (n m), b R m, c B R m, x B R m, c N R n m, x N R n m. Da questa formulazione si può ottenere un problema equivalente

57 57 Ottimalità primale - Ammissibilità duale Min z= c BT A 1 B b +(c NT c BT A 1 B A N ) x N x B = A 1 B b A 1 B A N x N x B 0 m, x N 0 n m xb A 1 Una soluzione x = = B b 0 è una soluzione xn 0 n m di base rispetto a B, ammissibile per il problema P S. A essa è associato un valore di funzione obiettivo pari a z=c BT A 1 B b. Se (c NT c BT A 1 B A N ) 0 n mt, questa soluzione è ottima.

58 58 Ottimalità primale - Ammissibilità duale Il duale corrispondente a P S è: Max π = b T w [A B A N ] T w Max π = b T w A BT w c B A NT w c N c c B N Max π = w T b w T A B c B T (D S ) w T A N c N T

59 59 Ottimalità primale - Ammissibilità duale Si definisce soluzione complementare di x il vettore w T = c BT A 1 B.Poichétalevettoreèm-dimensionale, esso rappresenta una soluzione del duale D S (ammissibile oppure non ammissibile). Se x è ottima, allora c NT c BT A B 1 A N 0 n mt c NT w T A N 0 T n m w T A N c T N (secondo gruppo di vincoli di D S soddisfatto). Anche il primo gruppo di vincoli di D S è soddisfatto perché si ha c BT A 1 B A B c T B c BT I c BT c BT c BT (sempre vera). La soluzione è ammissibile per D s eilvaloredifunzioneobiettivo aessaassociatoè π = c BT A 1 B b.sinoticheπ =z w è ottima per il duale (teorema di dualità forte). w

60 60 Ottimalità primale - Ammissibilità duale Se x non è ottima, allora esiste un indice j tale che c j c BT A 1 B A j <0 c j w T A j < 0 (un vincolo del duale è sicuramente violato da w la soluzione complementare non è ammissibile per il duale).

61 61 Forme canoniche Min z= c BT A 1 B b +(c NT c BT A 1 B A N ) x N x B + A 1 B A N x N = A 1 B b x B 0 m, x N 0 n m 0 m T c NT c BT A B 1 A N = c NT w T A N c BT A B 1 b= w T b m I A B 1 A N A B 1 b m n m

62 62 Forme canoniche Ponendo = c BT A 1 B b, =A 1 T B b, =c NT c BT A 1 d b c N B A N, =A 1 A N B A N, la tabella corrispondente a B può essere rappresentata nel seguente modo: 0 L 0 L 0 cm+1 L L c n 1 O 1 O 1 a a a 1, m+ 1 M h, m+ 1 M m, m+ 1 L L L T c N c k a a a 1, k M h, k M m, k A N L L L a a a 1, n M h, n M m, n d b 1 M b M b h m b

63 63 Forme canoniche Se b 0 m iltableauèinforma canonica B e di conseguenza A B sono ammissibili per il primale xb A 1 la soluzione x = = B b è ammissibile per il primale xn 0 n m Se c N 0 n m, il tableau è in forma canonica duale B ediconseguenzaa B sono ammissibili per il duale la soluzione w T =c BT A 1 B è ammissibile per il duale Se b 0 m e 0 n m, B e di conseguenza A B sono ammissibili (e ottime) sia per il primale che per il duale c N

64 64 Informazione duale nelle tabelle del simplesso Prima di vedere il metodo del è utile capire come si possono ottenere delle informazioni sulle variabili duali direttamente dal tableau utilizzato nel metodo del simplesso (standard). Il modo di procedere descritto nel seguito è alternativo all utilizzo delle relazioni di.

65 65 Informazione duale nelle tabelle del simplesso La soluzione ottima del duale è prontamente disponibile al termine del metodo del simplesso se il problema di PL si presenta nella forma seguente (b 0 m ): Min z= c xt x+c yt y A x x + I y = b x 0 n m, y 0 m La caratteristica di questo problema è quella di presentare una matrice di identità m m come matrice dei coefficienti tecnologici di un gruppo di variabili decisionali (vettore y di dimensione m).

66 66 Informazione duale nelle tabelle del simplesso Sia B l insieme degli indici di base ottimo. Nella riga 0 del tableau ottimo si può leggere l informazione: c yt c BT A B -1 I = c y T c y c yt w T T = w T = c yt vettore dei coefficienti di costo ridotto associato a y T c y Conseguentemente, per ogni componente y j vettore y si può scrivere: w j =. c y j c y j del

67 67 Informazione duale nelle tabelle del simplesso Esempio 1 Sia dato il seguente problema P 1 di PL: Min 2x 1 +x 2 +x 3 x 4 m=2 s.v. x 1 +x 3 x 4 = 4 x 2 +2x 3 2x 4 x 5 = 2 x 1, x 2, x 3, x 4, x m=2

68 68 Informazione duale nelle tabelle del simplesso Occorre innanzitutto ripristinare la forma canonica. In particolare, per fare in modo che il coefficiente di costo associato a x 1 si annulli si può fare un operazione di pivot sull unico elemento diverso da zero presente nella colonna associata a x 1 (il riferimento è alla colonna comprendente i soli coefficienti tecnologici)

69 69 Informazione duale nelle tabelle del simplesso Allo stesso modo, per annullare il coefficiente di costo associato a x 2 si può fare un operazione di pivot sull unico coefficiente tecnologico non nullo presente nella colonna associata a x La soluzione di base [ ] T non è ottima. Nella colonna associata al costo 3 (k=3) ci sono due elementi positivi.

70 70 Informazione duale nelle tabelle del simplesso L operazione di pivot è eseguita sull elemento ā hk =ā 23 =2 poiché min, = h=2. La tabella risultante è: / / / / / /2 1 La soluzione di base [ ] T non è ottima. Nella colonna associata al costo 1/2 c è un solo elemento positivo.

71 71 Informazione duale nelle tabelle del simplesso Eseguendo l operazione di pivot su tale elemento si ottiene la seguente tabella: La soluzione di base [ ] T è ottima. Pertanto B={5,3} è un insieme di indici di base ottimo. La tabella finale fornisce delle informazioni utili sul valore ottimo.

72 72 Informazione duale nelle tabelle del simplesso c 2 c w 1 =c 1 w 2 =c 2 c 1 c 2 = 2 1=1; = 1 1=0. Esercizio proposto: Costruire il duale D 1 del problema P 1 e verificare (attraverso l utilizzo delle relazioni di ) che [1 0] T rappresenta la soluzione ottima di D 1.

73 73 Informazione duale nelle tabelle del simplesso Esempio 2 Sia dato il seguente problema P 2 canonica: di PL in forma Min 5x 1 x 2 3x 3 s.v. 2x 1 x 2 +2x 3 +x 4 =4 x 1 +x 2 +4x 3 +x 5 =4 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 La tabella corrispondente è: m= m=2

74 74 Informazione duale nelle tabelle del simplesso La soluzione di base [ ] T non è ottima. Nella colonna associata al costo 5 (k=1) ci sono due elementi positivi. L operazione di pivot è eseguita sull elemento ā hk =ā 11 =2 poiché min, = h=1. La tabella risultante è: /2 2 5/ /2 1 1/ /2 3 1/2 1 2 La soluzione di base [ ] T non è ottima. Nella colonna associata al costo 7/2 c è un solo elemento positivo. Eseguendo l operazione di pivot su tale elemento si ottiene la seguente tabella

75 75 Informazione duale nelle tabelle del simplesso /3 7/3 44/ /3 1/3 8/ /3 2/3 4/3 La soluzione di base [8/3 4/ ] T è ottima. Pertanto l insieme di indici di base ottimo è: B={1,2}. La tabella ottima, anche in questo caso, fornisce delle informazioni utili sul valore ottimo delle variabili duali. c y = c 1 4 c y = c /3 7/3 44/ /3 1/3 8/ /3 2/3 4/3

76 76 Informazione duale nelle tabelle del simplesso w 1 =c 4 w 2 =c 5 c 4 c 5 = 0 4/3= 4/3; = 0 7/3= 7/3. Esercizio proposto: Costruire il duale D 2 del problema P 2 e verificare (attraverso l utilizzo delle relazioni di ) che [ 4/3 7/3] T rappresenta la soluzione ottima di D 2.

77 77 Informazione duale nelle tabelle del simplesso Nella tabella ottima è possibile leggere anche la matrice A B 1, essendo in questo caso = A B 1 I=A B 1. Pertanto, per l esempio 1 (problema P 1 )siha: A y A B con B={5,3} Per l esempio 2 (problema P 2 )siha: A B /3 7/3 44/ /3 1/3 8/3 con B={1,2} /3 2/3 4/3

78 78 Il metodo del simplesso può essere visto come una procedura che, iniziando da una soluzione di base ammissibile per il problema di PL da risolvere, genera una sequenza finita di soluzioni di base ammissibili fino a determinare la soluzione ottima dimostrare che il problema è illimitato. In estrema sintesi, il metodo è così schematizzabile: 1. Si dispone di una base ammissibile per il primale. 2. Se la base è ammissibile per il duale allora è ottima. 3. Altrimenti si stabilisce che il problema è illimitato oppure si effettua un operazione di pivot. Tale operazione modifica la base in modo da mantenere l ammissibilità per il primale.

79 79 In modo totalmente simmetrico è possibile costruire un metodo di tipo duale basato sul seguente schema: 1. Si dispone di una base ammissibile per il duale. 2. Se la base è ammissibile per il primale allora è ottima. 3. Altrimenti si stabilisce che il problema primale è inammissibile (e il duale è illimitato) oppure si effettua un operazione di pivot. Tale operazione modifica la base in modo da mantenere l ammissibilità per il duale.

80 80 Il metodo del considera forme canoniche duali. Rispetto al procedimento visto nella prima parte del corso, si inverte il ruolo di righe e colonne. Forma canonica duale L 0 L 0 c L L h 1 O 1 O 1 a a a m+1 1, m+ 1 M h, m+ 1 M m, m+ 1 L L L c k a a a 1, k M h, k M m, k k L L L c n a a a 1, n M h, n M m, n d b 1 M b M b h m

81 81 Verifica di ottimalità/ammissibilità Se b 0 i, lasoluzione[ 0 0] T èottima. i b1 bm Se l ottimalità non è raggiunta, si prosegue nel seguente modo. Scelta della riga di pivot Si sceglie una riga h con i= 1,..., m { } b h = min b i Verifica di illimitatezza del duale a hj b h < 0; per convenzione Se 0 j, si conclude che il primale è inammissibile (il duale è illimitato).

82 82 Scelta della colonna di pivot Altrimenti, tra le colonne j con a hj < 0 si sceglie la colonna k-esima, cioè quella in corrispondenza di c c k j = max, ahj < 0. a j hk ahj Questa scelta preserva l ammissibilità del duale. Operazione di pivot Si esegue un operazione di pivot su a hk ottenendo per il primale una soluzione di base peggiore della precedente (si procede verso l ammissibilità).

83 83 Simplesso vs (problema di minimo) genera SIMPLESSO soluzioni di base ammissibili per il primale SIMPLESSO DUALE soluzioni di base non ammissibili per il primale (ma superottime) procede verso l ottimalità (del primale) l ammissibilità (del primale) z (valore di f.o. del primale) parte da un valore superiore al valore ottimo inferiore al valore ottimo z decresce (miglioramento) cresce (peggioramento) si sceglie prima cioè la variabile poi si sceglie la colonna entrante la riga la riga uscente la colonna cioè la variabile calcoli per l operazione di pivot uscente Min tra valori positivi entrante Max tra valori negativi

84 84 Il funzionamento del metodo del sarà chiarito meglio a partire da esempi numerici. In particolare si mostrerà l utilità del metodo nella situazione seguente: il problema di PL da risolvere presenta, facilmente, una soluzione di base (super)ottima ma non ammissibile e risulta complicato o dispendioso disporre di una soluzione di base ammissibile (ad esempio, il ricorso al metodo delle due fasi farebbe crescere il numero di variabili e quindi lo sforzo computazionale).

85 85 Esempio 1 Sia dato il seguente problema di PL: Min 5x 1 +12x 2 s.v. 3x 1 +2x 2 5 5x 1 4x 2 2 3x 1 +x 2 1 x 1, x 2 0 Aggiungendo delle variabili di slack i vincoli di disuguaglianza possono essere trasformati in vincoli di uguaglianza.

86 86 Min s.v. 5x 1 +12x 2 3x 1 +2x 2 + x 3 = 5 5x 1 4x 2 + x 4 = 2 3x 1 +x 2 + x 5 = 1 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Il problema (primale) è ora nella forma canonica duale. E immediatamente disponibile un insieme B ammissibile per il suo duale (B={3,4,5}) ma non per il problema stesso.

87 Infatti, la soluzione di base associata a questa tabella è[ ] T. A tale soluzione corrisponde un valoredifunzioneobiettivoparia0,maessanonè ammissibile per il primale. Il fatto di avere una forma canonica duale ci consente di applicare il metodo del. La riga interessata all operazione di pivot è la seconda: h=2 (corrispondente al termine 2 ).

88 88 Poiché esiste un solo elemento a 22 negativo (cioè = 4) la colonna interessata all operazione di pivot è la seconda. Si esegue tale operazione sull elemento. a / / / /4 0 1/2 17/ /4 1 1/2 La soluzione [0 1/ /2] T è ammissibile per il primale e il suo valore di funzione obiettivo è 6 (6>0 peggioramento). Il conseguimento dell ammissibilità ci assicura anche l ottimalità. Per il problema originario la soluzione ottima è [x 1 x 2 ] T =[0 1/2]. a 2 j

89 89 Esempio 2 Risolvere con il metodo del il seguente problema di PL: Min 12x 1 +11x 2 +16x 3 s.v. 3x 1 +x 2 +x 3 3 4x 1 +x 2 +2x 3 4 x 1, x 2, x 3 0 Aggiungendo delle variabili di surplus i vincoli di disuguaglianza possono essere trasformati in vincoli di uguaglianza.

90 90 Min 12x 1 +11x 2 +16x 3 s.v. 3x 1 +x 2 +x 3 x 4 =3 4x 1 +x 2 +2x 3 x 5 = 4 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Si consideri il seguente problema equivalente: Min 12x 1 +11x 2 +16x 3 s.v. 3x 1 x 2 x 3 +x 4 = 3 4x 1 x 2 2x 3 +x 5 = 4 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0

91 91 È evidente che si ha immediatamente a disposizione una forma canonica duale La soluzione di base associata a questa tabella è [ ] T eilvaloredifunzioneobiettivoèpari a 0. Tale soluzione non è ammissibile per il primale. Si sceglie, per l operazione di pivot, lasecondariga (h=2). La colonna di pivot èlaprima(k=1).

92 Infatti si ha max,, =. Pertanto, si esegue l operazione di pivot sull elemento = 4. a /4 5/2 1 3/ /4 1/2 0 1/4 1 La soluzione di base associata a questa tabella è [ ] T e il valore di funzione obiettivo è pari a 12. Tale soluzione, peggiore della precedente, è ancora non ammissibile per il primale. La riga interessata all operazione di pivot è la prima (h=1) (corrispondente al termine 6 ).

93 93 La colonna interessata all operazione di pivot èla terza (k=3), essendo max, =. 7/ 4 5/ 2 5/ 2 Pertanto, si esegue l operazione di pivot sull elemento a 13 = 5/ /10 1 2/5 3/10 12/5 1 1/10 0 1/5 1/10 1/5 La soluzione di base associata a questa tabella è [ 1/5 0 12/5 0 0] T e il valore di funzione obiettivo è pari a 36. Tale soluzione, peggiore della precedente, è ancora non ammissibile per il primale.

94 94 La riga interessata all operazione di pivot è la seconda (h=2), corrispondente al termine 1/5. La colonna interessata all operazione di pivot èla seconda (k=2), essendo max, =. 1/10 1/10 1/10 L elemento di pivot è. a La soluzione di base associata a questa tabella è [ ] T e il valore di funzione obiettivo è pari a 38. Tale soluzione è ottima. Per il problema originario si ha [x 1* x 2* x 3* ] T =[0 2 1] T.

95 95 Esempio 3 Risolvere con il metodo del il seguente problema di PL: Min 12x 1 + 8x 2 s.v. 2x 1 4x 2 5 x 1 +2x 2 3 x 1, x 2 0 Aggiungendo delle variabili di surplus i vincoli di disuguaglianza possono essere trasformati in vincoli di uguaglianza.

96 96 Min 12x 1 +8x 2 s.v. 2x 1 4x 2 x 3 =5 x 1 +2x 2 x 4 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Problema equivalente: Min 12x 1 +8x 2 s.v. 2x 1 +4x 2 +x 3 = 5 x 1 2x 2 +x 4 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4 0

97 97 E evidente che si ha immediatamente a disposizione una forma canonica duale Si noti che nella riga di indice h=1 (quella corrispondente a 5 ) si ha 0 j. Si può concludere che il problema originario è inammissibile. a 1j

98 98 Per problemi di PL dotati di particolare struttura e provenienti da classi ben precise di modelli applicativi, i corrispondenti duali si prestano a essere interpretati come problemi applicativi essi stessi. Un esempio è di seguito fornito. Problema del mix produttivo Un azienda produce n beni utilizzando m risorse (materie prime, ore-macchina,...) disponibili in quantità limitate. Si deve stabilire il livello di produzione dei vari beni in modo da massimizzare il profitto derivante dalla loro vendita.

99 99 Max s.v. n j= 1 n j= 1 c j x j a ij x j b i, i=1,,m x j 0, j=1,,n x j è il livello di produzione del bene j-esimo c j è il profitto unitario per il bene j-esimo a ij è la quantità di risorsa i-esima necessaria per produrre un unita del bene j-esimo b i è la quantità di risorsa i-esima disponibile Ipotesi: tutte le quantità prodotte possono essere vendute

100 100 Significato del vincolo i-esimo: il consumo totale della risorsa i-esima non può superare la disponibilità massima della risorsa stessa. Duale del problema del mix produttivo Avendo scelto di vendere tutte le proprie risorse produttive, il manager aziendale deve stabilire il prezzo di vendita. Egli deve fare in modo che la vendita delle risorse risulti non meno conveniente della vendita dei beni prodotti mediante il loro utilizzo. Risolvere questo problema equivale a risolvere il duale del problema precedente.

101 101 Min s.v. m i= 1 m i= 1 b i w i a ij w i c j, j=1,,n w i 0, i=1,,m w i è il prezzo unitario di vendita della risorsa i-esima c j è il profitto unitario per il bene j-esimo a ij è la quantità di risorsa i-esima necessaria per produrre un unita del bene j-esimo b i è la quantità di risorsa i-esima disponibile

102 102 Significato della funzione obiettivo: il profitto totale derivante dalla vendita delle risorse è pari a b 1 w 1 +.+b m w m. L obiettivo di minimizzazione è coerente con il desiderio di imporre prezzi competitivi rispetto a quelli di mercato (o comunque stabilire il minimo prezzo di vendita per le risorse). Significato del vincolo j-esimo: il manager vuole trarre vantaggi dalla riconversione. Per garantirsi da eventuali perdite rispetto alla situazione attuale, il ragionamento più appropriato è il seguente: per ogni unità di bene j- esimo non prodotta si liberano risorse in quantità pari a a 1j,a 2j,, a mj. I prezzi unitari di vendita delle risorse w 1,w 2,,w m devono essere tali che il ricavo complessivo sia almeno pari al mancato profitto della vendita di una unità del bene j-esimo.

103 103 Con il termine analisi di sensitività (o analisi di sensibilità o analisi di post-ottimalità ) si intende una serie di tecniche di notevole importanza applicativa mediante le quali è possibile ottenere informazioni su quando e di quanto può variare la soluzione ottima di un problema di PL. Un analisi di questo tipo è importante per diverse ragioni. In molti casi i dati del problema (coefficienti dei costi, coefficienti tecnologici e termini noti dei vincoli) non possono essere considerati esatti perché desunti da osservazioni sperimentali.

104 104 In altri casi i dati del problema sono controllabili dall utente (il quale può intenzionalmente modificarli). Se variazioni sui dati di notevole entità dovessero produrre variazioni piuttosto contenute della soluzione ottima, allora la soluzione potrà considerarsi stabile. Si pone il problema di analizzare le variazioni nella soluzione ottima in seguito a: cambiamenti del vettore b, cambiamenti del vettore c, aggiunta di un nuovo vincolo. Ogni variazione sarà considerata singolarmente, ipotizzando la modifica di un solo termine.

105 105 Variazione del vettore b Si supponga di avere una variazione δ per l i-esimo termine del vettore b. Il nuovo vettore sarà b =b+δe i (dove e i è un vettore m-dimensionale con 1 in posizione i e 0 in tutte le altre posizioni). Se A B rappresenta la base ottima per il problema primale, i coefficienti di costo ridotto a essa associati resteranno non negativi (ammissibilità del duale). Pertanto, la base A B resterà ottimale se e solo se resterà ammissibile per il primale. In altri termini A B resterà ottimale se e solo se A 1 B b 0 m ;in questo caso il nuovo valore (ottimo) di funzione obiettivo sarà c BT A 1 B b.

106 106 Tableau ottimo: 0 m T T c N =c NT c BT A B 1 A N = c NT w T A N c BT A B 1 b = w T b I Ā N =A B 1 A N b = A B 1 b A 1 B b 0 m A 1 B b+a 1 B (δe i ) 0 m +A 1 b B (δe i ) 0 m. Per individuare un intervallo di valori per δ per i quali A B resta ammissibile, è sufficiente risolvere il sistema +A 1 b B (δe i ) 0 m che ha come unica incognita δ.

107 107 Esempio Sia dato il seguente problema di PL: Min s.v. x 1 5x 2 +2x 3 x 1 +2x 2 +2x 3 +x 4 =5 x 1 +x 2 +4x 3 +x 5 = 6 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 La tabella iniziale è (forma canonica standard rispetto a B={4,5}).

108 108 Risolvendo il problema con il metodo del simplesso si ottiene la seguente tabella ottima (rispetto all insieme di indici di base B={2,1}) /3 7/3 62/ /3 1/3 11/ /3 2/3 7/3 L inversa della matrice di base ottima è facilmente deducibile da questa tabella: 1 A B 1/ 3 1/ 3 = 1/ 3 2 / 3

109 Effettuare l analisi di sensitività sul termine b 1 (b 1 =b 1 +δ) determinare l intervallo di variabilità delterminenotodelprimovincoloentrocuilabase ottima non viene modificata. +A 1 b B (δe i ): / 3 1/ 3 1/ 3 δ 11/ 3 1/ 3δ + δ + = + = 3 3 7/ 3 1/ 3 2 / 3 0 7/ 3 1/ 3δ 7 1 δ 3 3 Affinché A B (B={2,1}) resti ottima per il primale si deve avere: δ 0 δ δ 0 δ 7 3 3

110 110 Pertanto la base ottima non cambia se: 11 δ 7. Il nuovo valore (ottimo) di funzione obiettivo sarà δ 62 4 c BT A 1 B b =c BT [ +A 1 B (δe i )]= = 7 1 δ b [ ] δ 2. Considerando b 1 =6, calcolare la nuova soluzione ottima e il suo valore di funzione obiettivo. Con riferimento al termine noto b 1,sihaδ=1. Poiché , la base ottima non cambia.

111 111 La soluzione ottima sarà: Il suo valore di funzione obiettivo sarà: x x x x x 62 3 * 1 * 2 * 3 * 4 * δ = = δ δ = 22 3

112 Considerando b 1 =15, calcolare la nuova soluzione ottima e il suo valore di funzione obiettivo. Con riferimento al termine noto b 1,sihaδ =10 A B non è più ammissibile per il primale(valore di δ fuori range). Si può utilizzare A B come base iniziale per il metodo del (considerato che A B rimane una base ammissibile per il problema duale). Si deve ripartire dal tableau finale, calcolando nuovamente solo il vettore dei termini noti e il valore di funzione obiettivo.

113 /3 7/3? /3 1/3? /3 2/3? δ = ; δ = δ 3 3 Si ottiene la seguente tabella (forma canonica duale) /3 7/ /3 1/ /3 2/3 1

114 114 Applicando il metodo del si ottiene: La soluzione di base associata a questa tabella (con B={2,4}) è ottima e il suo valore di funzione obiettivo è 30 * x 1 0 * x2 6 * x = 3 0 * x4 3 * x5 0

115 115 Variazione del vettore c Si supponga ora di avere una variazione δ per il j-esimo coefficiente di costo c j. Modificando il vettore b la regione ammissibile del problema duale non subisce variazioni. In caso di modifiche del vettore c, invece, è la regione ammissibile del primale a rimanere invariata. Di conseguenza la soluzione ottima (del primale) risulterà ammissibile anche dopo la variazione, ma l ottimalità non sarà più garantita. Il vettore dei coefficienti di costo ridotto associato alle variabili non di base, rispetto alla base ottima A B,è:c NT c BT A 1 B A N.

116 116 Dopo la variazione, la non negatività dei coefficienti di costo ridotto è condizione sufficiente per mantenere l ottimalità di A B. Due casi possono presentarsi: c j è il costo associato a una variabile non di base, c j è il costo associato a una variabile di base.

117 117 Nel primo caso, la variazione di c j implica una variazione del costo ridotto della sola variabile non di base associata a c j. La base A B resterà ottimale se: c j +δ c BT A 1 B A j 0 δ c BT A 1 B A j c j (dove A j è la colonna associata alla variabile interessata). Si noti che il termine c BT A B 1 A j c j = è facilmente deducibile dal tableau finale del metodo del simplesso. Se A B resta ottimale la soluzione ottima nonché il suo valore di funzione obiettivo restano invariati. c j

118 118 Nel secondo caso, la variazione di c j implica in generale una variazione in tutti i coefficienti di costo ridotto e del valore di funzione obiettivo (riga 0 del tableau). La base A B resterà ottimale se c NT c B T A 1 B A N 0 n mt,conc B ottenuto da c B variando il solo costo della variabile interessata (c B =c B +δ, dove eˆ è il vettore che ha 1 nella posizione e 0 in j ĵ tutte le altre posizioni; ĵ è la posizione occupata dall indice j nell insieme B). c NT c BT A 1 B A N (δ ) T A 1 T T B A N 0 n mt δ Ā N 0 T n m T ( Ā N è il vettore dei coefficienti associati alle eˆ j variabili non di base nella riga ottima). eˆ j c N eˆ j eˆ j ĵ della tabella

119 119 In entrambi i casi, se si perde l ottimalità della base A B, si può ripartire da essa applicando il metodo del simplesso. Esempio Per il problema dell esempio precedente si ha: Tabella iniziale (forma canonica standard rispetto a B={4,5}):

120 120 Tabella ottima (rispetto all insieme di indici di base B={2,1}): /3 7/3 62/ /3 1/3 11/ /3 2/3 7/3 sul coefficiente c 3 =2 (associato a una variabile non di base ): se il coefficiente c 3 viene incrementato di δ, la soluzione [x 1* x 2* x 3* x 4* x 5* ]=[7/3 11/ ] T resterà ottima se δ 14 (valore di funzione invariato).

121 121 Analisidisensitivitàsulcoefficientec 1 = 1 (associato a una variabile di base ): se il coefficiente c 1 viene incrementato di δ, l insieme di indici di base B={2,1} resterà ottimo se T δ Ā N 0 T n m T c N eˆ j [ 14 4 / 3 7 / 3] δ [ 2 1/ 3 2 / 3] [ 0 0 0] 14 2δ 0 δ 7 4/3+δ/3 0 δ 4 7/3 2δ/3 0 δ 7/2 4 δ 7/2

122 122 Introduzione di un ulteriore vincolo L introduzione di un vincolo del tipo a m+1 x b m+1 in un problema P di PL permette di definire un nuovo problema P tale che la regione ammissibile di P è contenuta nella regione ammissibile di P: Ω(P ) Ω(P). Pertanto, indicando con x * la soluzione ottima di P, sex * Ω(P ) allora x * è soluzione ottima anche di P. Ciò significa che se la soluzione ottimale del problema originario soddisfa anche il vincolo aggiuntivo allora la soluzione sarà ancora ottimale.

123 123 Viceversa è necessario introdurre la (m+1)-esima riga nel tableau (quella corrispondente al nuovo vincolo) e ripristinare la forma canonica del problema relativamente all insieme di indici di base ottimo B. Si avrà: <0, come conseguenza del b m+1 fatto che la soluzione non sarà più ammissibile per il primale. Si avrà dunque una tabella iniziale per il metodo del (metodo che condurrà a una nuova soluzione ottima per P ).

124 124 Esempio Si consideri lo stesso problema P degli esercizi precedenti: Min x 1 5x 2 +2x 3 s.v. x 1 +2x 2 +2x 3 +x 4 =5 x 1 +x 2 +4x 3 +x 5 = 6 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 La soluzione ottima di P è: x 1* =7/3, x 2* =11/3, x 3* =0, x 4* =0, x 5* =0. Cosa succede se al problema P si aggiunge il vincolo: 6x 1 +3x 2 +2x 3 28?

125 125 La soluzione ottima resterà invariata perché essa soddisfa anche il nuovo vincolo: 6 ( 7 )+ 3( 11) + 2(0) Cosa succede se al problema P si aggiunge il vincolo: 6x 1 +3x 2 +2x 3 24? Tale vincolo non è soddisfatto dalla soluzione ottima di P. La tabella ottima (rispetto all insieme di indici di base B={2,1}) è: /3 7/3 62/ /3 1/3 11/ /3 2/3 7/3

126 126 Tale tabella deve essere trasformata introducendo una riga corrispondente ai coefficienti del nuovo vincolo e una colonna corrispondente alla variabile decisionale x 6 (da utilizzare per trasformare il vincolo aggiuntivo in un vincolo di uguaglianza): /3 7/3 0 62/ /3 1/3 0 11/ /3 2/3 0 7/ Facendo operazioni di pivot sugli elementi di posto (1,2) e (2,1) si ottiene una tabella iniziale per il metodo del.

127 /3 7/3 0 62/ /3 1/3 0 11/ /3 2/3 0 7/ /3 7/3 0 62/ /3 1/3 0 11/ /3 2/3 0 7/ Applicando il metodo del, si sceglie come riga di pivot la terza. La colonna di pivot è la quinta.

128 128 Infatti si ha: 14 7/ 3 7/ 3 max, = Eseguendo l operazione di pivot si ottiene /15 9/5 0 7/15 101/ /15 2/5 0 1/15 18/ /15 1/5 0 2/15 11/ /5 1/5 1 1/5 1/5 La soluzione ottima è: x 1* =11/5, x 2* =18/5, x 3* =0, x 4* =0, x 5* =1/5. A essa corrisponde il seguente valore di funzione obiettivo: 101/5. Si noti che 101/5> 62/3 (peggioramento della funzione obiettivo).

129 129 economica Si consideri un problema P di PL in forma standard: Min z = c T x A x= b x 0 n Il corrispondente duale D sarà: Max π = b T w A T w c Se B rappresenta l insieme di indici di base ottimo (A B base ottima) il problema P, riscritto nella forma canonica, diventa il seguente

130 130 economica Min z= c BT A 1 B b +(c NT c BT A 1 B A N ) x N x B +A 1 B A N x N = A 1 B b x B 0 m, x N 0 n m xb A 1 La soluzione di base ottima è x= = B b. A essa xn 0 n m corrisponde il valore di funzione obiettivo seguente: z=c BT A 1 B b. La soluzione complementare di x (rispetto a B) è: w T =c BT A 1 B. Tale soluzione è ottima per D. Se si perturba di una quantità δ l i-esima componente del vettore b, la soluzione di base x si trasforma.

131 131 economica x B A 1 Essa diventa x = = B b. Il suo valore di funzione xn 0 n m obiettivo diventa: z =c BT A -1 B b =c BT A -1 B (b+δ e i ). Ipotesi: la perturbazione δ ètaledanonmodificare la base ottima (A B resta ottima), cioè x 0 n Variazione del valore di funzione obiettivo dovuta alla perturbazione dell i-esima componente del vettore b: Δz=z z=c BT A -1 B (b+δe i ) c BT A -1 B b=c BT A -1 B (δe i )=w T (δe i )=w i δ Δz Segue che: w i =. δ

132 132 economica : l i-esima variabile duale rappresenta l incremento del valore di funzione obiettivo quando un unità in più di b i si rende disponibile (δ=1). Ciò vale a condizione che una tale variazione di b i non modifichi la base ottima. In altri termini, se b i rappresenta la disponibilità di una risorsa scarsa (l i-esima) e la base resta immutata se un unità in più di b i si rende disponibile, allora w i rappresenta il valore marginale della risorsa i-esima indipendentemente dal suo prezzo di mercato (cioè rappresenta il suo prezzo ombra). valore marginale di una risorsa: incremento del valore di funzione obiettivo per incremento unitario della risorsa

133 133 economica Il valore assunto dalle variabili duali è del tutto generale, cioè indipendente dalla forma del problema di PL (il problema è stato ipotizzato in forma standard al solo scopo di semplificare la trattazione). Perproblemidimassimizzazioneconl i-esimo vincolo del tipo il prezzo ombra dell i-esima risorsa sarà sicuramente non negativo; mentre per un vincolo del tipo esso sarà sicuramente non positivo. Per problemi di minimizzazione vale il viceversa.

134 134 economica Significato delle relazioni di Il valore marginale di una risorsa è nullo quando la risorsa non è completamente utilizzata. Esempio Un azienda deve produrre 2 tipi di prodotto (A e B) a partire da una materia prima C disponibile in quantità limitata e attraverso lavorazioni su una macchina M. Per produrre un unità di A sono necessari 3 kg di C e2oredi lavorazione su M, mentre per produrre un unità di B sono necessari 2 kg di C e 1 ora di lavorazione su M. Si hanno a disposizione 1000 kg di C e 600 ore complessive di lavorazione su M (la macchina è infatti utilizzata anche per altre linee di produzione nel periodo di riferimento).

135 135 economica Variabili decisionali: x 1 : livello di produzione di A (può essere un numero frazionario); x 2 : livello di produzione di B (può essere un numero frazionario). Vincoli: 1. 3x 1 +2x (vincolo relativo alla materia prima C) 2. 2x 1 +x (vincolo relativo alla macchina M) L obiettivo dell industria coinciderà sicuramente con la massimizzazione del profitto (in ), ma non vengono forniti dati per scrivere la funzione obiettivo (non essenziale per gli scopi di questo esempio).

136 136 economica Si consideri [x * 1 x 2* ]=[0 500] T come soluzione ottima del problema (primale) e [w * 1 w 2* ]= [9 0] T come soluzione ottima del corrispondente duale. Si ipotizzi, inoltre, che l incremento di una unità della prima risorsa (1000+1) non modifichi la base ottima. Allo stesso modo, si ipotizzi che un incremento unitario della seconda risorsa (600+1) non modifichi la base ottima. Si può dire che: La disponibilità di 1 kg in più della materia prima C porta a un incremento della funzione obiettivo di 9 (il profitto complessivo aumenta di 9 ), essendo w 1* =9.