G. Improta - Trasparenti del Corso di Ricerca Operativa A.A. 2001/ Vietata la riproduzione senza l'espresso assenso dell'autore.

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1 LA DUALITA' IL PROBLEMA DEL MIXING DI PRODUZIONE Una fabbrica vuole mettere in produzione due articoli, P e P. I due prodotti richiedono lavorazioni su due differenti tipi di macchine, MA ed MB, senza vincoli di sequenza. Prodotto P Prodotto P Macchina MA ' ' Macchina MB 3' ' Tempi unitari medi di lavorazione prezzo P : E = Euro.5 prezzo P : E = Euro.0 Prezzi di vendita unitari praticabili Tempo MA disponibile 8000' Tempo MB disponibile 9000'

2 Si vuole determinare quanto produrre di P e P, mensilmente, per ottenere un ricavo totale massimo (mixing ottimo di produzione). x = numero di unità del prodotto P x = numero di unità del prodotto P z = valore del ricavo totale Modello p.l. del mixing ottimo di produzione: z =.5x +.0x Max! s. a x + x x + x 9000 x 0 x 0

3 DETERMINAZIONE DEL VALORE DELLE RISORSE IN UN PROCESSO PRODUTTIVO Si riprenda il modello p.l. per la determinazione del mixing ottimo di produzione. Si vuole determinare, sulla base del ricavo che deriva all'impresa dalla vendita dei prodotti realizzati, il valore unitario di ciascuna delle risorse impiegate nel processo produttivo. Si vuole, in altri termini, determinare il prezzo a cui l'unità di ciascuna delle risorse disponibili dovrebbe essere venduta ad un acquirente esterno, volendo mantenere inalterato il ricavo che l'impresa realizza. Tempi unitari medi di lavorazione Prodotto P Prodotto P Tempo disponibile Macchine M A ' ' 8000' Macchine M B 3' ' 9000' Ricavo unitario.5 Euro.0 Euro Informazioni disponibili

4 Dall'esame degli elementi relativi alla prima colonna della tabella si ricava che: concorrono a formare una unità del prodotto P una unità della prima risorsa ( di lavorazione su una macchina M A ) e tre unità della seconda (3 di lavorazione su una macchina M B ); concorrono a formare una unità del prodotto P due unità della prima risorsa e due della seconda. Siano u, u il valore di una unità di tempo-macchina M A e tempo-macchina M B rispettivamente. Le espressioni: u + 3u (prodotto P ) u + u (prodotto P ) sono, dunque, i valori, in termini di valori delle risorse, di una unità di P ed una unità di P. Si metta in relazione i valori in termini di risorse dell'unità di ciascuno dei due prodotti con il prezzo di vendita di quel prodotto.

5 Appare logico che, per l'unità di ciascun prodotto, il valore, in termini di risorse componenti, sia maggiore o uguale al prezzo di vendita: u + 3u.5 u + u.0 (*) Il valore complessivo delle risorse disponibili (8000' per le macchine M A e 9000' per le macchina M B ) è espresso da: v = 8000u u Sia x* il vettore rappresentativo del mixing ottimo di produzione (quantitativi di produzione ottimi dei due prodotti). Si moltiplichi la prima delle (*) per x* e la seconda per x* : (u + 3u )x*.5x* (u + u )x*.0x* e si sommino membro a membro le due espressioni:

6 (u +3u )x* + (u +u )x*.5x* +.0x* Il primo membro di questa disequazione rappresenta il valore, in termini di risorse impegnate, dei quantitativi globali dei prodotti x* ed x* ; il secondo membro esprime il ricavo massimo realizzabile. Mettendo in evidenza, al primo membro, u ed u si ottiene: u (x* + x* ) + u (3x* + x* ).5x* +.0x* Le espressioni (x* +x* ) e (3x* +x* ), rappresentano le quantità della prima e della seconda risorsa richieste per la produzione dei prodotti P e P, ai livelli di produzione x* ed x*. Tali quantità risultano vincolate dalle disponibilità: x* + x* x* + x* 9000 Sostituendo ad esse nella (8.0) i limiti superiori 8000 e 9000 sarà, a maggior ragione:

7 8000u u.5x* +.0x* (**) Il primo membro rappresenta il valore complessivo delle risorse disponibili, il secondo il ricavo massimo realizzabile. Poiché il problema posto è quello di attribuire alle risorse un valore congruente con il ricavo realizzato, l'unica valutazione (tra le infinite possibili) che consenta una ripartizione del ricavo tra le risorse disponibili è quella per cui si verifica: valore delle risorse = ricavo realizzabile Risultando dalla (**) valori delle risorse superiori o eguali al ricavo realizzabile, deriva che per dovrà ricercarsi la minima di tali valutazioni: v = 8000u u Min! Riunendo le relazioni scritte ed aggiungendo i vincoli di non negatività sulle variabili u ed u, il problema della determinazione del valore delle risorse può essere espresso mediante il seguente problema p.l.:

8 v s. a = 8000u u u + 3u 500 u + u 000 u, u 0 Min! che viene detto duale di quello formulato per la determinazione del mixing ottimo di produzione (che viene detto problema diretto). Mixing di produzione [diretto].5x +.0x Max! x + x 8000 s.a 3x + x 9000 x, x 0 Valore delle risorse [duale] 8000u u u + 3u.5 s.a u + u.0 u, u 0 Min! Le matrici dei coefficienti dei due problemi sono l'una la trasposta dell'altra; I coefficienti di costo dell'uno sono i termini noti dell'altro e viceversa; I vincoli del diretto. sono, quelli del duale sono ; La funzione obiettivo del diretto è Max!; quella del duale è Min!

9 UN PROBLEMA DI DIETA Un industria avicola vuole realizzare una dieta a costo minimo per l'alimentazione dei polli da carne che alleva. Vi sono tre elementi nutrizionali base, A, B, C, e la dieta giornaliera di ciascun capo ne deve contenere almeno 7,, 30 unità rispettivamente. La fattoria annessa all allevamento è in grado di produrre granoturco ed avena i quali presentano i seguenti contenuti nutrizionali, Elementi nutrizionali Granoturco Avena Fabbisogno. minimo/giorno A 3 7 B C 30 Unità nutrizionali contenute in kg di alimento Il costo di produzione di un chilogrammo di granoturco risulta pari a 0.3 Euro; Quello di un chilogrammo di avena è pari a 0.5 Euro.

10 Si chiede di individuare la composizione della dieta (costituita da uno dei due o da entrambi gli alimenti) che, rispettando i limiti posti sui fabbisogni minimi giornalieri di elementi nutrizionali, possa essere realizzata a costo minimo. La funzione obiettivo. Indicando con u ed u i quantitativi di granoturco ed avena da introdurre nella dieta, rammentandone i costi unitari, la funzione obiettivo risulta: I vincoli. z = 0.3u + 0.5u Min! Le uniche limitazioni presenti nel problema sono quelle relative alla necessità di rispettare i minimi nutrizionali: 3u u u + u + u + u 7 30 Mettendo insieme i vincoli e la funzione obiettivo ed aggiungendo i vincoli di fisica realizzabilità si ricava il modello:

11 s.a z = 0.3u + 0.5u Min! 3u u u + u + u + u 7 u, u 0 30 IL PROBLEMA DELLA DIETA ARTIFICIALE Nel paragrafo 4. si è introdotto, con riferimento al caso di una industria avicola, il problema della dieta a costo minimo. Si erano individuati, in particolare: tre elementi nutrizionali base, A, B, C, con l ipotesi che la dieta giornaliera di ciascun capo ne dovesse contenere almeno 7,, 30 unità rispettivamente; due alimenti, granoturco ed avena, aventi i contenuti di elementi nutrizionali.

12 Elementi nutrizionali Granoturco Avena Fabbisogno. minimo/giorno A 3 7 B C 30 Unità nutrizionali contenute in kg di alimento Fissati i costi di produzione di un chilogrammo di granoturco (0.3 Euro) e quello di un chilogrammo di avena (0.5 Euro), si chiedeva di individuare la composizione della dieta, costituita da uno dei due o da entrambi gli alimenti, che, rispettando i limiti posti sui fabbisogni minimi giornalieri di elementi nutrizionali, potesse essere realizzata a costo minimo. Indicando con u ed u i quantitativi di granoturco ed avena da introdurre nella dieta, il modello in programmazione lineare corrispondente al problema posto si presenta nella forma:

13 s.a z= 0.3u + 0.5u Min! 3u u u + u + u + u u,u Si supponga, ora, che una industria chimica sia in grado di produrre, in forma sintetica, gli elementi nutrizionali necessari per la dieta e che voglia convincere i responsabili dell azienda avicola ad alimentare i polli somministrando gli elementi nutrizionali sintetici direttamente, piuttosto che attraverso il veicolo degli alimenti che li contengono. E evidente che i responsabili dell azienda potranno, eventualmente, convincersi ad effettuare il cambiamento almeno se il sistema artificiale risulterà economicamente competitivo rispetto al sistema naturale. D altra parte l azienda chimica, nell effettuare l operazione, ha l obiettivo di massimizzare i ricavi corrispondenti.

14 Per poter essere competitivo con il sistema naturale, il costo di una unità dell alimento i realizzato con il sistema artificiale a partire dagli elementi nutrizionali non dovrà superare il costo c i di una unità dell alimento i naturale. Facendo riferimento al granoturco, indicando con x j il prezzo unitario di vendita dell elemento nutrizionale j (j =,, 3) dovrà essere: 3x +x + x e per l avena: x +x + x Poiché dei tre elementi nutrizionali dovranno esserne vendute le quantità: 7,, 30, l obiettivo della massimizzazione del ricavo può essere espresso attraverso la funzione obiettivo: z = 7x +x + 30x 3 Max! Riunendo la funzione obiettivo ed i vincoli individuati ed aggiungendo le ovvie condizioni di fisica realizzabilità, si ottiene:

15 s.a z = 7x +x + 30x 3 Max! 3x + x x + x x,x,x x x che costituisce, appunto, il duale del problema della dieta.

16 ALCUNI TEOREMI Assegnato un problema p.l., che si indica come problema diretto, con m vincoli ed n variabili: z = c T x Max! s.a Ax x 0 b il problema con n vincoli ed m variabili: v = b T u Min! T A u c s.a u 0 viene detto duale di esso.

17 Una coppia di problemi tra loro duali è caratterizzata, dunque, dal fatto che: le matrici dei tassi di assorbimento dei due problemi sono l'una la trasposta dell'altra; nel problema diretto sono presenti solo vincoli del tipo mentre nel duale si hanno solo vincoli del tipo ; i coefficienti di costo del problema diretto divengono i termini noti del problema duale e viceversa; nel problema diretto si ricerca un massimo, nel duale un minimo.

18 Teorema - Il duale del problema duale è il problema diretto. Teorema - Assegnata una coppia di problemi tra loro duali si verifica una delle tre possibilità:. entrambi non hanno soluzioni ammissibili;. uno dei due ha soluzioni ammissibili non limitate mentre l'altro non ha soluzioni ammissibili; 3. entrambi hanno soluzioni ammissibili. Teorema 3 - [Teorema della dualità in forma debole] - Assegnata una coppia di problemi tra loro duali, aventi entrambi soluzioni ammissibili, per qualsiasi coppia di soluzioni, una del duale l'altra del diretto, si verifica: v z

19 Teorema 4 - [Teorema della dualità in forma forte] - Assegnata una coppia di problemi tra loro duali, nel caso in cui entrambi hanno soluzioni ammissibili, esiste una soluzione ottima di entrambi i problemi, e si ha: zmax = vmin.

20 UTILIZZAZIONI DELLA TEORIA DELLA DUALITÀ Soluzioni sub-ottime. La funzione obiettivo diretta si avvicina, per successivi aumenti, al valore ottimo comune, mentre quella duale si avvicina ad esso per successive riduzioni. La differenza (v-z) decresce, dunque, al crescere del numero delle iterazioni, per annullarsi all'ottimo. Nella risoluzione di problemi di dimensioni elevate, nei quali essendo elevato il numero delle soluzioni di base ammissibili si presenta, in generale un alto numero di iterazioni da effettuare. Può rivelarsi utile in tali casi, nella pratica applicazione, assumere come soluzione del problema una soluzione sub-ottima di cui si conosca lo scarto massimo rispetto all'ottimo. Ciò può essere realizzato sfruttando la caratteristica di mutua limitazione che v e z presentano ponendo quale criterio di stop dell'algoritmo la condizione (v-z) ε, con ε da prefissarsi in relazione alle grandezze in gioco.

21 Si procede cioè alla risoluzione contemporanea del problema diretto e del suo duale, interrompendo il calcolo appena la differenza (v-z) assume un valore uguale o inferiore al valore ε prefissato. Naturalmente, dato che questo artificio comporta anche la realizzazione di un certo numero di iterazioni sul problema duale, la sua convenienza deve essere determinata confrontando il numero di iterazioni risparmiate sul diretto con quelle effettuate in più sul duale. Problemi con un elevato numero di vincoli. È interessante notare che, qualora si utilizzi l'algoritmo del simplesso revisionato, può risultare molto vantaggioso, per problemi con un elevato numero di vincoli ed un basso numero di variabili, risolvere il problema duale di quello assegnato. Il problema duale, infatti, presenterà un basso numero di vincoli ed un elevato numero di variabili e dunque la (B + ) - avrà dimensioni ridotte, con una forte economia nell'occupazione di memoria richiesta.

22 L ALGORITMO DEL SIMPLESSO DUALE L algoritmo si applica a problemi per i quali, in partenza, sia verificata la condizione "di ottimalità" (in altri termini, in partenza è verificata la condizione per la quale i coefficienti di costo modificati delle variabili non basiche sono non positive se si sta massimizzando e non negative se si sta minimizzando); mentre non sia verificata la condizione di ammissibilità della soluzione (i termini noti non sono tutti maggiori o eguali a zero). L'algoritmo è costruito in modo tale che, a ciascuna iterazione tenti di ridurre il numero di variabili di base negative. Appena raggiunge una soluzione nella quale tutte le variabili sono ammissibili, l'algoritmo si arresta avendo raggiunto l'ottimo (la soluzione è contemporaneamente ammissibile e rispetta la condizione di ottimalità).