Corso di Ricerca Operativa Esercitazione del 07/10/2015

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1 Corso di Ricerca Operativa Esercitazione del 7/1/15 Esercizio 1 Un azienda ha a disposizione reparti per produrre due tipi di farina A e B per alimentazione animale, che si vendono rispettivamente a 3 e euro al quintale La produzione della farina di tipo A deve essere compresa tra il ed il per cento del totale Nella seguente tabella sono indicati i tempi di produzione delle farine in ore/quintale, le capacità produttive in ore/settimana ed il costo euro/ora di ogni reparto Tempi di produzione Capacità Costo Farina A Farina B produttiva Reparto Reparto Supponendo che tutta le farina prodotta venga venduta, l azienda deve decidere la pianificazione settimanale della produzione in modo da massimizzare il profitto a Scrivere un modello di programmazione lineare associato al problema b Trasformare il problema di PL del punto a nella forma primale standard { max c T x Scrivere la matrice A ed i vettori b e c A x b Esercizio La compagnia AKEI, oltre che per i mobili low cost, è famosa per le polpette che offre nei suoi ristoranti Ogni polpetta pesa almeno 1 grammi ed è costituita da carne di manzo, carne di maiale e carne di pollo Ogni polpetta deve contenere almeno 7 grammi di proteine, almeno 5 grammi di carboidrati e non più di grammi di grassi Nella tabella seguente sono indicate, per ogni tipo di carne, le percentuali di proteine, carboidrati e grassi contenute ed il costo al grammo Carne di manzo Carne di maiale Carne di pollo Percentuale di proteine 7 Percentuale di carboidrati 1 8 Percentuale di grassi 3 1 Costo al grammo AKEI vuole determinare da quanti grammi di carne di manzo, di maiale e di pollo deve essere costituita ogni polpetta in modo da spendere il meno possibile a Scrivere un modello di programmazione lineare associato al problema b Trasformare il problema di PL del punto a nella forma duale standard min y T b y T c T Scrivere la matrice A ed i vettori b e c

2 Esercizio 3 Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x 1 x x 1 + x x 1 x 1 + x x 1 x x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no si/no {1, 3} x = {3, } y = Esercizio Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: min y y 3 + y + y 5 + y 7 y + y 3 + y + 3 y 5 + y 7 = 7 y 1 + y 3 + y + y 5 y = Base Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no si/no {, 7} x = {3, } y =

3 SOLUZIONI Esercizio 1 a Variabili decisionali: x 1 = quintali di farina A prodotti nel reparto 1, x = quintali di farina B prodotti nel reparto 1, x 3 = quintali di farina A prodotti nel reparto, x = quintali di farina B prodotti nel reparto Modello di PL: max 3 x 1 + x 3 + x + x 1 x x 3 1 x x x 1 + x 3 x 1 + x + x 3 + x x 1 + x 3 x 1 + x + x 3 + x 1 x x 1 x x 85 x 1, x, x 3, x b , c = Esercizio a Variabili decisionali: y 1 = grammi di manzo, y = grammi di maiale, y 3 = grammi di pollo b Modello di PL: min 7 y y + 5 y 3 y 1 + y + y 3 1 y y + y y y + y 3 5 y y + 1 y 3 y 1, y, y , c = 1 7 5

4 Esercizio 3 Il problema è nella forma primale standard { max c T x A x b dove Data la base B = {1, 3}, si ha 1/ 1/ B = 1/ 1/ è Poiché A N x = x = A / 1/ B b B = 1/ 1/ A x = b Data la base B = {3, }, si ha 1, c = , b N =, quindi la soluzione di base primale = b N, il punto x è ammissibile B = 1 y T B = c T A 1 B = Inoltre, x è degenere perché, b N =, quindi la soluzione di base duale è = 1 3 Poiché y, il punto y non è ammissibile Inoltre, y non è degenere perché y 3 e y

5 Esercizio Il problema è nella forma duale standard min y T b y T c T dove Data la base B = {, 7}, si ha B = 1 1 Poiché A N x = 7 A x = b Data la base B = {3, }, si ha 1 x = A 1 1 B b B = 1, c = , b N = 1, quindi la soluzione di base primale è = b N, il punto x non è ammissibile Inoltre, x è degenere perché 1 B = 1 y T B = c T A 1 B = , b N =, quindi la soluzione di base duale è = 5 Poiché, il punto y è ammissibile Inoltre, y non è degenere perché y 3 e y