Problemi. sbj. x 0, x intero

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1 Problemi Spiegare e dimostrare in quali intervalli di R la funzione arctan x è concava, convessa o nessuno dei due casi. Si ricordi che la derivata prima di arctan x è +x 2. Si codifichi in una formula booleana proposizionale tautologica il principio della collana di perle. La collana è fatta da n perle rosse e blu. Il principio afferma che se la prima perla della collana è rossa e l ultima è blu, allora esiste un punto nella collana in cui a una perla rossa segue una blu. Un sartoria produce vestiti e pantaloni. Un vestito richiede mezz ora di taglio e 20 minuti di cucito. Un pantalone richiede 5 minuti di taglio e mezz ora di cucito. Sapendo che la sartoria lavora 8 ore al giorno e che un pantalone produce un profitto di 50 euro e un vestito un profitto di 40 euro, determinare il numero di vestiti e pantaloni da produrre per massimizzare il profitto e quale è questo profitto. Si consideri il seguente problema di programmazione intera, P max(, ) x ( ) /2 x /2 x 0, x intero ( 2/2 2/2 ) Si risolvi P, si dia una formulazione del problema PL che cattura l inviluppo convesso di P. Ha soluzione? Giustificare la risposta. Trovare un matching di cardinalità massima nel seguente grafo bipartito. Motivare la risposta. f e d c b a

2 Dimostrare con il metodo grafico che il seguente problema di PL non ha soluzioni ammissibili. Usare il metodo delle due fasi per ottenere lo stesso risultato max 90x + 70x 2 2x + x 2 2 x x 2 2 Sia data una rete di flusso G = (V, E) tale che ogni arco e = (u, v) E ha capacitàá pari, cioé c(e) = 2k per qualche k N. Dimostrare che il massimo flusso in G è un numero pari. Determinare in quali intervalli la funzione f(x) = x 3 + x 2 è concava e/o convessa. Una ditta produce due tipi di artefatti: X e Y usando due macchine A e B. La produzione di ogni artefatto X richiede 50 minuti di lavoro sulla macchina A e 30 minuti di lavoro sulla B. La produzione di ogni artefatto Y richiede 24 minuti di lavoro sulla macchina A e 33 minuti di lavoro sulla B. All inizio della settimana corrente in deposito ci sono 30 unità di artefatto X e 90 di artefatto Y. Per la seguente settimana ci sono disponibili 40 ore sulla machina A e 35 ore su quella B. La richiesta di prodotto X nella settimana è di 30 unità, quella di prodotto Y di 90 unità. La ditta vuole massimizzare la somma delle unità di prodotto X e Y in deposito alla fine della settimana. Formulare il problema di decidere quante unità di artefatto produrre per entrambi prodotti in modo da soddisfare la richiesta della ditta. Risolvere il problema graficamente. Si consideri il seguente problema PL max 2x + x 2 4x 3 + 3x 4 x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 4 x x 3 + x 4 2x + x 2 2 x + 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 2 x, x 2, x 3, x 4 0 Riformulare il problema in forma standard e scrivere il primo tableau per risolvere il problema con il metodo della big M. Si consideri il seguente problema di programmazione intera, P max(, ) x ( ) 0.5 x 0.5 x 0, x intero ( ) 2

3 Si risolvi P, si dia una formulazione del problema PL che cattura l inviluppo convesso di P. Ha soluzione? Giustificare la risposta. Sia dato un grafo diretto G = (V, E) con un nodo sorgente s e un nodo target t. Descrivere un algoritmo per trovare il numero di st-path disgiunti in G e dimostrarne la correttezza. Un st-path è un cammino da s a t in G. Due cammini sono disgiunti se non hanno archi in comune. Un panificio produce forme di pane di tipo standard e di tipo speciale utilizzando 3 diverse macchine, le cui produzioni orarie sono le seguenti:. macchina A: 3 forme standard e forma speciale 2. macchina B: 2 forme standard e 2 forme speciali 3. macchina C: 2 forme standard e forma speciale La produzione deve essere di almeno 60 forme standard e 40 forme speciale al giorno. I costi orari delle macchine sono: 90 euro per la A, 80 euro per B, 60 euro per C. Scrivere un modello di programmazione lineare per determinare la produzione giornaliera di costo minimo e risolverlo nel modo preferito. (Non occorre imporre il vincolo che le ore giornaliere non superino 24) Risolvere con il metodo grafico il seguente problema di PL max 4x + 4x 2 2x + 7x 2 2 7x + 2x 2 2 Risolvere con il metodo dei Tableau il seguente problema di PL max 2x + x 2 x x 2 0 2x x 2 40 Si codifichi in una formula booleana proposizionale tautologica il principio della collana di perle. La collana è fatta da n perle rosse e blu. Il principio afferma che se la prima perla della collana è rossa e l ultima è blu, allora esiste un punto nella collana in cui a una perla rossa segue una blu. 3

4 Un industria produce 4 tipi di automobili M, M2, M3, M4 ed è divisa in 3 stabilimenti. Ciascun stabilimento può fabbricare ciascuno tipo di macchina. L industria dispone di 00 robot così ripartiti: 40 nello Stabilimento ; 35 nello Stabilimento 2 e 25 nello Stabilimento 3. Ciascun robot lavora 5 giorni alla settimana, per 8 ore al giorno. La tabella che segue riporta, per ciascun tipo di automobile e per ciascun stabilimento, il tempo di lavorazione (in ore) necessario per ottenere una automobile pronta per la vendita, insieme al prezzo di vendita unitario in migliaia di lire. L industria deve pianificare la sua produzione settimanale, deve cioè determinare il numero M M2 M3 M4 ST ST ST Prezzo di ciascuna delle automobili che deve essere fabbricato da ciascun stabilimento in modo da soddisfare un ordine di almeno 000, 600, 300, 200 automobili rispettivamente dei modelli M, M2, M3, M4 e in modo da massimizzare il profitto complessivo ricavato dalla vendita. Formulare un problema di PL per risolvere il problema spiegando con precisione il ruolo delle variabili e il significato dei vincoli. Il problema non va risolto. Si formuli un problema PL in due variabili che abbia come soluzione ottima il punto (, ) e la cui regione ammissibile includa i punti (2, 2) e (3, ) ed escluda il punto (, 4). Si dimostri quanto richiesto. 4

5 Si consideri il seguente problema di programmazione intera, P max(, 0) x 0 x /2 /2 2 + /2 x 0, x intero Si dia una formulazione del problema PL che cattura l inviluppo convesso di P. Ha soluzione? Si consideri il seguente problema PL min 4x + 6x 2 2x + x 2 4 x + 4x 2 8 Scrivere il problema duale, risolverli entrambi graficamente, dire che tipo soluzioni hanno (se unica, multiple, illimitate o non ammissibile) e commentarle in termini dei teorema di dualitàa. Sia data una rete di flusso G = (V, E) tale che ogni arco e = (u, v) E ha capacità pari, cioè c(e) = 2k per qualche k N. Dimostrare che il massimo flusso in G è un numero pari. Spiegare e dimostrare in quali intervalli di R la funzione arctan x è concava, convessa o nessuno dei due casi. Si ricordi che la derivata prima di arctan x è +x 2. Un sartoria produce vestiti e pantaloni. Un vestito richiede mezz ora di taglio e 20 minuti di cucito. Un pantalone richiede 5 minuti di taglio e mezz ora di cucito. Sapendo che la sartoria lavora 8 ore al giorno e che un pantalone produce un profitto di 50 euro e un vestito un profitto di 40 euro, determinare il numero di vestiti e pantaloni da produrre per massimizzare il profitto e quale è questo profitto. Si consideri il seguente problema PL max 2x + x 2 4x 3 + 3x 4 x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 4 x x 3 + x 4 2x + x 2 2 x + 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 2 x, x 2, x 3, x 4 0 5

6 . Riformulare il problema in forma standard; 2. scrivere il primo tableau per risolvere il problema con il metodo della big M. Si consideri il seguente problema di programmazione intera, P max(, ) x ( ) /2 x /2 x 0, x intero ( 7/4 7/4 ) Si risolvi P, si dia una formulazione del problema PL che cattura l inviluppo convesso di P. Ha soluzione? Giustificare la risposta. Sia dato un grafo diretto G = (V, E) con un nodo sorgente s e un nodo target t. Descrivere un algoritmo per trovare il numero di st-path disgiunti in G e dimostrarne la correttezza. Un st-path è un cammino da s a t in G. Due cammini sono disgiunti se non hanno archi in comune. Sia I un insieme finito di numeri naturali. Sia M = max{i I}. Diremo che I è bilanciato se per ogni i I valgono le seguenti proprietà: se i M/2, allora se i è pari allora i + M/2 è pari, se i > M/2, allora, se i è dispari allora i M/2 è dispari. Scrivere una formula booleana proposizionale che catturi la proprietà che I è bilanciato, ovvero che sia vera ogni qualvolta un insieme I è bilanciato. Spiegare la codifica usata. La figura mostra il sistema di strade di un complesso residenziale in cui sono indicate la direzione di marcia e il numero di massimo di auto per ora che possono passare lungo le strade. Si dica, argomentando la soluzione, qual è il numero massimo di auto che possono circolare entrando e uscendo nel complesso residenziale in un ora. Il duale (D) di un problema di programmazione lineare (P) è il seguente problema. 6

7 max z = 7x + 0y 5x + 8y 3 6x + 9y 4 x, y 0 Scrivere il problema (P) e risolvere il problema (D) La funzione e x nell intervallo [0, 0] è concava, convessa o nessuno dei due casi? Argomentare la risposta. Una frantoio realizza due tipi di olio: TIPO (A) e TIPO(B), mischiando olio di sansa con tre tipi di oli estratti da olive di qualità speciali: la ogliarola, la cellina e la provenzale. Per realizzare un decalitro di olio di TIPO A sono richiesti:,5 litri di olio di ogliarole, litro di olio di celline e 0,3 litri di olio di olive provenzali. Per realizzare un decalitro di olio B sono richiesti litro di olio da ogliarola, litro di olio di celline e 0,5 litri di olio di olive provenzale. La disponibilità in magazzino per i tre oli è di 27, 2 e 9 litri rispettivamente per olio di ogliarola, cellina e provenzale. Sapendo che l azienda realizza un profitto di 30 e 00 euro per ogni decalitro venduto di olio A e B rispettivamente, determinare le quantità ottimali da produrre per massimizzare il profitto. Modellare il problema e risolverlo, argomentando le scelte risolutive. Risolvere il seguente problema di PL usando il metodo delle due fasi. min 6x + 3x 2 x + x 2 2x x 2 3x 2 2 Sia G = (V, E) un grafo non orientato in cui ogni nodo v V ha associato un costo c(v). Un vertex cover di G è un sottoinsieme W V tale che that (u, v) E, u W v W. W è cioè un insieme di vertici W tale che ogni arco di G tocca almeno un nodo in W. Formalizzare un problema di PL che dato G trovi il vertex cover di G di costo minimo Voglio ottenere una razione di pasto per cani dalla miscela di due prodotti in commercio: Purina e Quasar. Sappiamo che. ogni kg di Purina contiene 0.4 kg di proteine 0.3 kg di carboidrati e 0.3 kg di minerali 2. ogni kg di Quasar contiene 0.2 kg di proteine, 0.2 kg di carboidrati e 0.6 kg di minerali 7

8 Sapendo che per una corretta alimentazione dei miei cani mi occorrono giornalmente almeno 2 kg di proteine, kg di carboidrati e 2,4 kg di minerali, e che il costo del prodotto Purina è di 0,3 euro/kg e quello del prodotto Quasar è di 0,5 euro/kg, determinare quanti kg di Purina e quanti di Quasar devo miscelare per ottenere una razione giornaliera di costo minimo. Trovare un matching di cardinalità massima nel seguente grafo bipartito. Motivare la risposta. f e d c b a Dimostrare con il metodo grafico che il seguente problema di PL non ha soluzioni ammissibili. Usare il metodo delle due fasi per ottenere lo stesso risultato max 90x + 70x 2 2x + x 2 2 x x 2 2 Un liutaio fabbrica violini e chitarre. I violini sono venduti con un profitto di 30 euro, le chitarre con un profitto di 0 euro. Il liutaio può lavorare 40 ore alla settimana e impiega 6 ore per costruire un violino e 3 ore per costruire una chitarra. I clienti richiedono che produca un numero di violini pari a 3 volte il numero di chitarre. Inoltre nello stoccaggio degli strumenti, le chitarre occupano 4 volte lo spazio di un violino e in una settimana il falegname può stoccare al più 4 chitarre. Aiutare il liutaio a massimizzare il profitto formulando il problema come problema di programmazione lineare e risolverlo graficamente. Determinare gli intervalli in cui la funzione e x2 è concava, convessa o nessuno delle due. Usare il metodo delle due fasi per risolvere il seguente PPL. min 6x + 3x 2 x + x 2 2x x 2 3x 2 2 8

9 S A B C D E T S A B C D E La seguente matrice rappresenta una rete di flusso. Trovare il flusso massimo e il corrispondente taglio minimo Sia G = (V, E) un grafo non orientato in cui ogni nodo v V ha associato un costo c(v) > 0. Un vertex cover di G è un sottoinsieme W V tale che that (u, v) E : u W v W. W è cioè un insieme di vertici W tale che ogni arco di G tocca almeno un nodo in W. Formalizzare un problema di PL che dato G trovi il vertex cover di G di costo minimo Sia G = (V, E) un grafo diretto con s, t V due nodi speciali: s: sorgente, t: target. Si consideri il problema di trovare il cammino più corto da s a t in G.. formulare il problema come problema di Programmazione Lineare. 2. formulare il duale del precedente problema, descrivendo in termini del grafo G, il significato delle variabili usate Risolvere il seguente problema di PL con il metodo delle due fasi. min 6x + 3x 2 x + x 2 2x x 2 3x 2 2 9