Esercizio 1. Esercizio 2

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1 A Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 Esercizio Nicola il fornaio prepara e vende panettoni, pizza bianca e ciambellone per i clienti del suo forno. Un panettone da Kg si vende a 7 e richiede, tra gli altri ingredienti, 700 gr di pasta lievitata uova e 00 gr di zucchero. Kg di pizza bianca si vende a 6, per prepararla occorrono 000 gr di pasta lievitata. Un ciambellone da Kg si vende a 0 e richiede, tra gli altri ingredienti, 00 gr di farina, uova e 300 gr di zucchero. Per preparare Kg di pasta lievitata occorre mescolare 600 gr di farina, 0 gr di zucchero e 0 gr di lievito di birra, oltre a 30 gr di acqua e 0 gr di sale. Nicola ha dimenticato di fare provvista e in magazzino ha solo 0 kg di farina, 00 gr di lievito di birra, uova e 3 kg di zucchero. Potete aiutarlo a decidere cosa produrre per massimizzare l'incasso di domani, formulando un opportuno problema di Programmazione Lineare (senza risolverlo)? Esercizio È dato il problema di PL in figura.. Portare il problema in forma standard.. Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. ma = 3 = 0 = 6 In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 6 nodi, e sono dati i valori di capacità degli archi ed un flusso iniziale. Si verifichi che il flusso dato sia ammissibile. Se il flusso dato risulta ammissibile terminare l algoritmo partendo dal flusso, se il flusso non è ammissibile partire dal grafo completamente scarico. Trovare il massimo flusso inviabile dal nodo al nodo 6 con l algoritmo di Ford e Fulkerson. Individuare il taglio di capacità minima nel grafo. Archi (,) (,3) (,3) (,) (,) (3,) (3,6) (,6) (,6) Capacità Flussi Definire il problema di Cammino minimo e dimostrare il teorema di Floyd-Warshall.

2 B Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 Esercizio Grunt il cavernicolo deve progettare una rete di allarme per la sua tribù. La rete consiste in una serie di postazioni di avvistamento, ognuna presidiata da un cavernicolo. Le postazioni sono in comunicazione tra di loro per mezzo di alcuni cavi fatti da capelli intrecciati da Snort e dalle altre donne della tribù. In caso di avvistamento di una tigre dai denti a sciabola il cavernicolo di guardia dovrà dare degli strattoni ai cavi in maniera da avvisare le postazioni limitrofe collegate. In Figura è rappresentata la mappa della regione occupata dalla tribù di Grunt Monte verde Altura isolata 30 Villaggio di Grunt Radura del morto 0 Isola sul fiume 00 Caverne nuove Sapendo che ogni postazione quando riceve un allarme lo propaga immediatamente verso tutte le postazioni limitrofe, e che ogni postazione può essere collegata alle altre da più cavi di comunicazione, si formuli (come problemi su grafi, senza risolvere) il problema di collegare tra di loro le postazioni di avvistamento in maniera da minimizzare il lavoro di Snort. Esercizio In tabella sono riportati gli archi di una rete di flusso con nodi ed i valori di domanda di ogni nodo (assumendo un valore negativo per un nodo sorgente e un valore positivo per un nodo pozzo). Se necessario si aggiunga per completare la base iniziale un arco che collega il nodo di transito con il nodo pozzo. Si determini un flusso ammissibile utilizzando la fase del simplesso su reti, o dimostrare che il problema non ammette soluzione ammissibile. Dato il problema di PL (primale) in figura,. risolvere il problema con il metodo grafico ed impostare il problema duale;. se il primale ammette una soluzione ottima, dalla soluzione ottima del primale ricavare la soluzione ottima del duale con le condizioni di ortogonalità. Se il primale non ammette una soluzione ottima, risolvere il problema duale con il metodo del simplesso. Archi (,) (,) (,) (3,) (3,) (3,) (,) (,) Nodi 3 Domanda ma Illustrare le definizioni di vertice e soluzione base ammissibile. Dimostrare che una soluzione ammissibile di un problema di PL in forma standard è un vertice del poliedro delle soluzioni ammissibili se e solo se è una soluzione base ammissibile.

3 C Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 Esercizio La beauty farm Urania è celebre per i suoi cosmetici all'olio d'oliva. kg di sapone alla lavanda (prezzo di vendita: 6 una saponetta da 0 gr) si prepara con 90 gr di sapone base, acqua e gr di essenza di lavanda. kg di bagno schiuma agli agrumi (prezzo di vendita: 7 una bottiglia da 300 gr) si prepara con 800 gr di sapone base, acqua e gr di essenza di agrumi. kg di crema per le mani alla lavanda (prezzo di vendita: 0 un vasetto da 00 gr) si prepara con 800 gr di crema base, acqua e 30 gr di essenza di lavanda. kg di crema per il viso agli agrumi (prezzo di vendita: un vasetto da 0 gr) si prepara con 700 gr di crema base, acqua e 00 gr di essenza di agrumi. Il sapone base contiene il 30% di olio d'oliva, la crema base contiene l'80% di olio d'oliva. Sapendo che sono disponibili solo 0 kg di olio d'oliva, kg di essenza di lavanda e kg di essenza di agrumi, formulare il problema di Programmazione Lineare di determinare la produzione che consenta il massimo incasso (senza risolverlo). Esercizio In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 6 nodi, e sono dati i valori di capacità degli archi ed un flusso iniziale. Si verifichi che il flusso dato sia ammissibile. Se il flusso dato risulta ammissibile terminare l algoritmo partendo dal flusso, se il flusso non è ammissibile partire dal grafo completamente scarico. Trovare il massimo flusso inviabile dal nodo al nodo 6 con l algoritmo di Ford e Fulkerson. Individuare il taglio di capacità minima nel grafo. Archi (,) (,3) (,3) (,) (3,) (3,6) (,) (,6) (,6) Capacità Flussi È dato il problema di PL in figura.. Portare il problema in forma standard.. Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. ma 3 = = = 6 Illustrare il problema di flusso di costo minimo. Dimostrare che una base della matrice dei coefficienti coincide con un albero ricoprente della rete di flusso.

4 D Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 Esercizio La Commissione Edilizia del Dipartimento deve decidere come assegnare degli uffici vuoti (tre stanze singole, due doppie e una tripla) ai dottorandi afferenti a diversi gruppi di ricerca attivi nel Dipartimento. Per evitare di scontentare i vari gruppi di ricerca (Reti, Automatica, Basi di Dati e Ricerca Operativa) ad ogni gruppo di ricerca è chiesto di dare una valutazione da a 0 ad ogni stanza. Sapendo che i quattro gruppi di ricerca hanno espresso le seguenti valutazioni (vedi Tabella) e che il numero di dottorandi da assegnare è 3 per Reti, due per Automatica, 3 per Basi di Dati e uno per Ricerca Operativa. Singola Singola Singola 3 Doppia Doppia Tripla Reti (3) 3 Automatica () Basi di Dati (3) 6 Ricerca Operativa () 8 7 Formulare come un problema su grafi (senza risolverlo) il problema di assegnare gli uffici ai vari gruppi di ricerca in maniera da massimizzare la soddisfazione complessiva. Esercizio In tabella sono riportati gli archi di una rete di flusso con 6 nodi 6 ed i valori di domanda di ogni nodo (assumendo un valore negativo per un nodo sorgente e un valore positivo per un nodo pozzo). Se necessario si aggiunga per completare la base iniziale un arco che collega il nodo di transito con il nodo pozzo. Si determini un flusso ammissibile utilizzando la fase del simplesso su reti, o dimostrare che il problema non ammette soluzione ammissibile. Nel generare la base iniziale se possibile si colleghino i nodi di transito con i nodi sorgente. Archi (,) (,3) (,) (,6) (3,) (3,) (,6) (,) (,) Nodi 3 6 Domanda Dato il problema di PL in figura,. impostare il problema duale e risolverlo con il metodo grafico;. Se il duale ammette una soluzione ottima, dalla soluzione ottima del duale ricavare la soluzione ottima del primale con le condizioni di ortogonalità. Se il duale non ammette una soluzione ottima, risolvere il primale con il metodo del simplesso. min + 3 Illustrare l'interpretazione economica del duale e la sensibilità del valore ottimo della funzione obiettivo, in un problema di PL, alle variazioni dei termini noti e alle variazioni dei costi delle variabili fuori base, dimostrando le proprietà descritte nel caso particolare dei problemi in forma standard.

5 E Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 Esercizio Il ristorante Vecchia Genova è famoso per i suoi piatti rigorosamente fatti in casa: linguine al pesto (prezzo al cliente: 7 /porzione), lasagne al pesto (8 /porzione) e torta di pinoli ( per una porzione da 00 gr). kg di pesto si prepara con 00 gr di olio, 300 gr di basilico, 300 gr di pinoli, e aglio quanto basta. kg di pasta fatta in casa richiede 800 gr di farina e uova. kg di torta di pinoli si prepara con 00 gr di farina, 0 gr di zucchero, uova, 00 gr d'olio e 00 gr di pinoli. Una porzione di linguine al pesto richiede 80 gr di pasta fatta in casa e 00 gr di pesto. Una porzione di lasagne al pesto richiede 60 gr di pasta fatta in casa, 00 gr di pesto e 0 gr d'olio. Sapendo che in dispensa ci sono solo 6 kg di farina, kg d'olio, 8 uova e kg di basilico, oltre a tutti i pinoli, aglio e zucchero necessari, formulare il problema di Programmazione Lineare di decidere cosa preparare per massimizzare l'incasso della giornata (senza risolverlo). Esercizio In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 9 nodi, e sono dati i costi di ogni arco. Risolvere il problema del minimo albero ricoprente applicando l algoritmo di Kruskal. Si specifichi l ordine in cui vengono aggiunti gli archi dell albero ricoprente ed il costo finale dell albero. Archi (,) (,3) (,3) (,) (3,) (3,6) (3,7) (3,8) (,) (,6) (,6) (6,7) (6,9) (7,8) (7,9) Costi È dato il problema di PL in figura.. Portare il problema in forma standard.. Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. ma = = 0 = Illustrare il problema di Massimo Flusso e dimostrare il teorema di Ford-Fulkerson.

6 F Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 Esercizio La ConGelo produce surgelati e deve pianificare la produzione giornaliera per la prossima settimana (composta da sette giorni lavorativi) nel suo stabilimento. Ogni giorno lo stabilimento può produrre fino a 000 chili di verdure surgelate. La verdura fresca viene consegnata giornalmente allo stabilimento e deve essere lavorata in giornata per evitare deperimenti, mentre una volta surgelata la verdura può essere conservata nel magazzino frigorifero. Sapendo che: il magazzino frigorifero ha capacità di 0 quintali nel primo giorno il magazzino frigorifero non contiene verdura surgelata a fine settimana è possibile lasciare la verdura congelata all interno del magazzino le spedizioni sono programmate nei seguenti giorni (lunedì, mercoledì, sabato) e sono effettuate con un camion frigorifero con capacità massima di 3. tonnellate. gli approvvigionamenti giornalieri saranno di 000, 000, 00, 000, 000, 000, 000 chili. Si pianifichi la produzione di surgelati in maniera da utilizzare al meglio l impianto della ConGelo. Formulare (senza risolvere) il problema su un grafo opportuno. Esercizio Dato il problema di PL (primale) in figura,. risolvere il problema con il metodo grafico ed impostare il problema duale;. Se il primale ammette una soluzione ottima, dalla soluzione ottima del primale ricavare la soluzione ottima del duale con le condizioni di ortogonalità. Se il primale non ammette una soluzione ottima, risolvere il problema duale con il metodo del simplesso. min 3 + In tabella sono riportati i costi unitari degli archi di una rete di flusso con 6 nodi 6 ed un flusso ammissibile iniziale. A partire dal flusso iniziale dato, e utilizzando la fase del simplesso su reti, determinare il flusso di costo minimo, o dimostrare che il problema è illimitato inferiormente. Se necessario si aggiunga per completare la base iniziale un arco che collega il nodo di transito con il nodo pozzo. Si indichi il costo della soluzione ottima. Archi (,) (,3) (,) (,6) (3,) (,3) (,6) (,) (,) Costi Flusso Illustrare la teoria della dualità. Dimostrare i teoremi di dualità debole e forte, il teorema fondamentale della PL e ricavare da questo le condizioni di ortogonalità.

7 G Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 Esercizio La macelleria 3 Porcellini prepara e vende salsicce di maiale a 8 /kg (contenuto di carne suina 80%) e polpette di maiale a 6 /kg (contenuto di carne suina 0%). Il macinato base di carne suina (00% suino) per le salsicce deve contenere almeno il 60% di carne magra e il 30% di grasso di maiale, il macinato base (00% suino) per le polpette deve contenere almeno il 0% di carne magra e il 0% di grasso di maiale. I due macinati base si ricavano da diversi tagli di carne. La spalla costa alla macelleria /kg e contiene 70% di carne magra e 30% di grasso, il quarto inferiore costa 6 /kg e contiene 60% di carne magra e 0% di grasso, il collo costa 3 /kg e contiene 0% di carne magra e 0% di grasso. Formulare (senza risolvere) il problema di produrre 0 kg di salsicce e 0 kg di polpette al costo di produzione totale minimo. Esercizio In tabella sono riportate le attività di un progetto. Individuare la durata minima del progetto, il cammino critico e tutte le attività critiche. Attività A B C D E F G H I L Predecessori - A - - C,D B L F,E G D Durata È dato il problema di PL in figura.. Portare il problema in forma standard.. Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. ma = = = 3 Illustrare il problema di Albero ricoprente di costo minimo e descrivere gli algoritmi di Kruskal, Prim e Prim-Dijkstra, dimostrando la proprietà su cui si basano.

8 H Ricerca Operativa Primo appello 8 novembre 007 Esercizio Si formuli senza risolvere, come problema di flusso di costo minimo, il problema di individuare l albero dei cammini massimi dal nodo a tutti gli altri nodi nel grafo in tabella, con il seguente vincolo aggiuntivo: non più di due cammini possono passare sullo stesso arco. Archi (,) (,3) (,) (,) (3,) (3,) (,) Lunghezza Esercizio In tabella sono riportati i costi unitari degli archi di una rete di flusso con 6 nodi 6 ed un flusso ammissibile iniziale. A partire dal flusso iniziale dato, e utilizzando la fase del simplesso su reti, determinare il flusso di costo minimo, o dimostrare che il problema è illimitato inferiormente. Se necessario si aggiunga per completare la base iniziale un arco che collega il nodo di transito con il nodo pozzo. Si indichi il costo della soluzione ottima. Archi (,) (,3) (,) (,6) (3,) (3,) (,6) (,) (,) Costi Flusso Dato il problema di PL in figura,. impostare il problema duale e risolverlo con il metodo grafico;. Se il duale ammette una soluzione ottima, dalla soluzione ottima del duale ricavare la soluzione ottima del primale con le condizioni di ortogonalità. Se il duale non ammette una soluzione ottima, risolvere il primale con il metodo del simplesso (fase e fase ). min Fornire la definizione di combinazione convessa e insieme convesso. Dimostrare che un poliedro è un insieme convesso. Facendo uso del teorema di Minkowski-Weyl, dimostrare che nei problemi di PL si può limitare la ricerca delle soluzioni ottime ai soli vertici del poliedro delle soluzioni ammissibili