UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa 1 Primo appello 30 gennaio Esercizio 1.

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1 A = Esercizio In tabella sono riportati gli archi di un grafo con nodi, e sono dati i costi di ogni arco. Risolvere il problema del camo imo per ogni coppia di nodi applicando l algoritmo di Floyd e Warshall. In presenza di cicli negativi arrestate l algoritmo e mostrate un ciclo negativo. Altrimenti mostrate il camo dal nodo al nodo. Archi (,) (,) (,) (,) (,) (,) Costi 5-0 Esercizio Nelle due tabelle sono riportati i 0 archi di una rete di flusso con 6 nodi 6 e la domanda ai 6 nodi, con la convenzione che una domanda negativa è una disponibilità di flusso. Utilizzando la fase del simplesso su reti deterare se la rete ammette una flusso ammissibile oppure no. Si consiglia di includere nella base iniziale gli archi (,) e (,6). Archi (,) (,) (,) (,6) (,) (,5) (5,) (5,) (5,6) (6,) Nodi 5 6 Domanda Illustrare il problema di deterare un albero ricoprente di costo imo e descrivere gli algoritmi di Prim e Kruskal, dimostrando le proprietà su cui si basano.

2 B ma 9 + = + = 0 = Esercizio In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo non orientato con 8 nodi 8. Trovare l albero ricoprente di peso imo, a partire dal nodo, utilizzando l algoritmo di Prim-Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono aggiunti archi all albero ricoprente (in quale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi del grafo). Archi (,) (,) (,) (,5) (,6) (,8) (,) (,5) (,7) (,5) (,6) (,7) (5,6) (6,7) (6,8) (7,8) Costi Esercizio L azienda Programmatri produce software, e deve scegliere come distribuire le ore lavorative della prossima settimana dei suoi dipendenti sui vari progetti in corso in modo che siano soddisfatte le domande dei clienti e massimizzato il profitto. Per ogni possibile alternativa viene in seguito indicata il imo e massimo numero di ore che devono essere svolte e il profitto per ogni ora di lavoro svolto. Inoltre bisogna tener conto che la Programmatri ha quattro dipendenti programmatori e ogni dipendente lavora 0 ore a settimana. Formulare il problema come problema di Programmazione Lineare, senza risolverlo. Minimo-Massimo Profitto per ogni ora numero di ore di lavoro svolto Sviluppo di portali web ore 60 euro l ora Applicativi per le banche 0-0 ore 80 euro l ora Gestionali per i benzinai 5-80 ore 50 euro l ora. Illustrare il problema di flusso di costo imo. Dimostrare che una base della matrice dei coefficienti coincide con un albero ricoprente della rete di flusso.

3 C = + = libera Esercizio In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo orientato con 8 nodi 8. Trovare l albero dei cami di peso imo, a partire dal nodo, utilizzando l algoritmo di Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi del grafo. Evidenziare il camo imo dal nodo al nodo 8. Archi (,) (,) (,) (,5) (,6) (,8) (,7) (,5) (5,) (5,6) (6,5) (6,7) (6,8) (7,) (7,6) (7,8) Costi Esercizio Dovete pianificare un piccolo progetto software. Il progetto consiste in una serie di attività e per ogni attività è nota la sua durata. Le attività sono le seguenti () Pianificazione, questa è la prima attività che deve essere svolta e terata prima di tutte le altre, richiede giorni () Sviluppo algoritmo di ottimizzazione, richiede 6 giorni () Sviluppo Database, questa attività richiede giorni () Sviluppo acquisizione dati, questa attività richiede 0 giorni (5) Test di funzionamento, questi test richiedono 0 giorni e collaudano il funzionamento dei moduli algoritmo, database e acquisizione dati e quindi possono iniziare solo dopo che quei moduli sono stati implementati (6) Sviluppo interfaccia grafica, questo modulo richiede 0 giorni e può essere iniziato solo dopo che il modulo di acquisizione dati viene terato (7) Test finali, questa attività richiede giorni e che tutte le attività di programmazione (le attività dalla alla 6) siano terate (8) Stesura dei manuali, questa attività richiede che le attività di programmazione siano terate (attività,, e 6) e richiede giorni. Rappresentare graficamente il progetto, calcolare il imo tempo di completamento dello stesso e le attività critiche. Infine, spiegare che cosa succede se l attività di test finali richiede 6 giorni invece dei preventivati? Motivare la risposta. Illustrare la definizione di insieme convesso, funzione convessa, problema di programmazione convessa. Dimostrare che nei problemi di Programmazione Convessa un punto di imo locale è anche punto di imo globale.

4 D Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. Esercizio ma + + = + In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 7 nodi, e sono dati i valori di capacità degli archi ed un flusso ammissibile. A partire dal flusso dato trovare il massimo flusso inviabile dal nodo al nodo 7 con l algoritmo di Ford e Fulkerson. Archi (,) (,) (,) (,5) (,7) (,7) (5,6) (5,7) (6,) (6,) (6,7) Capacità Flussi Esercizio Dato il problema di PL in figura,. impostare il problema duale e risolverlo con il metodo grafico;. dalla soluzione ottima del duale ricavare la soluzione ottima del primale con le condizioni di ortogonalità Illustrare il problema di Camo imo e dimostrare il teorema di Floyd-Warshall.

5 E ma 0 = = 5 + = Esercizio In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo orientato con 8 nodi 8. Trovare l albero dei cami di peso imo, a partire dal nodo, utilizzando l algoritmo di Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi del grafo. Evidenziare il camo imo dal nodo al nodo 8. Archi (,) (,) (,) (,6) (,5) (,8) (,7) (,6) (5,6) (5,7) (5,8) (6,) (6,5) (7,) (7,5) (7,8) Costi Esercizio Dovete pianificare un piccolo progetto software. Il progetto consiste in una serie di attività e per ogni attività è nota la sua durata. Le attività sono le seguenti () Sviluppo algoritmo di ottimizzazione, richiede 0 giorni () Sviluppo Database, questa attività richiede 7 giorni () Sviluppo acquisizione dati, questa attività richiede 5 giorni () Sviluppo interfaccia grafica, questo modulo richiede 0 giorni e può essere iniziato solo dopo che il modulo di acquisizione dati viene terato (5) Test modulo algoritmo, questi test richiedono 8 giorni e collaudano il funzionamento del modulo algoritmo (6) Test modulo database, questi test richiedono giorni e collaudano il funzionamento del modulo database (7) Test modulo acquisizione, questi test richiedono 6 giorni e collaudano il funzionamento del modulo acquisizione dati (8) Stesura dei manuali, questa attività richiede che le attività di programmazione siano terate (attività,, ) e richiede giorni. Rappresentare graficamente il progetto, calcolare il imo tempo di completamento dello stesso e le attività critiche. Infine, spiegare che cosa succede se l attività di test modulo database richiede 6 giorni invece dei preventivati? Motivare la risposta. Illustrare il problema di Massimo Flusso e dimostrare il teorema di Ford-Fulkerson.

6 F = 5 Esercizio In tabella sono riportati gli archi di un grafo con nodi, e sono dati i costi di ogni arco. Risolvere il problema del camo imo per ogni coppia di nodi applicando l algoritmo di Floyd e Warshall. In presenza di cicli negativi arrestate l algoritmo e mostrate un ciclo negativo. Altrimenti mostrate il camo dal nodo al nodo. Archi (,) (,) (,) (,) (,) (,) Costi Esercizio In tabella sono riportati i costi unitari degli archi di una rete di flusso con 6 nodi 6 ed un flusso ammissibile iniziale. A partire dal flusso iniziale, e utilizzando la fase del simplesso su reti, deterare il flusso di costo imo, o dimostrare che il problema è illimitato inferiormente. Archi (,) (,) (,) (,6) (,5) (,) (,6) (5,) (5,) (6,5) Costi Flusso Illustrare le definizioni di: combinazione convessa, insieme convesso, e problema di programmazione convessa. Dimostrare che un poliedro è un insieme convesso.

7 G ma = Esercizio In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 7 nodi, e sono dati i valori di capacità degli archi ed un flusso ammissibile. A partire dal flusso dato trovare il massimo flusso inviabile dal nodo al nodo 7 con l algoritmo di Ford e Fulkerson. Archi (,) (,) (,5) (,) (,6) (,7) (5,) (5,) (5,6) (5,7) (6,7) Capacità Flussi Esercizio La fabbrica di materassi Sweet Dreams produce tipologie di materassi e deve scegliere la quantità dei vari materassi da produrre nel prossimo mese in modo che siano soddisfatte le domande dei clienti e massimizzato il profitto. Per il prossimo mese ha valutato la domanda dei clienti ima e massima per i tre tipi diversi di materassi. Inoltre bisogna tener conto che la Sweet Dreams ha cinquanta dipendenti e ogni dipendente può produrre 60 materassi al mese. Formulare il problema come problema di Programmazione Lineare, trascurando eventuali vincoli di interezza delle variabili, senza risolverlo. Minimo-Massimo Profitto per ogni numero di materassi materasso Dormibene bimbo 0-90 materassi 0 euro Golden dream de lue 50-0 materassi 00 euro Er Materazzo 70-0 materassi 50 euro Illustrare teoria della dualità. Dimostrare i teoremi di dualità debole e forte.

8 H + + = + = libera Esercizio In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo non orientato con 8 nodi 8. Trovare l albero ricoprente di peso imo, a partire dal nodo 7, utilizzando l algoritmo di Prim-Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono aggiunti archi all albero ricoprente (in quale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi del grafo). Archi (,) (,) (,) (,6) (,5) (,8) (,) (,6) (,7) (,5) (,6) (,7) (5,6) (5,7) (5,8) (7,8) Costi Esercizio Dato il problema di PL in figura,. impostare il problema duale e risolverlo con il metodo grafico;. dalla soluzione ottima del duale ricavare la soluzione ottima del primale con le condizioni di ortogonalità Illustrare la definizione di vertice e soluzione base ammissibile. Dimostrare che una soluzione ammissibile di un problema di PL in forma standard è un vertice se e solo se è una soluzione base ammissibile.