RICERCA OPERATIVA (9 cfu)

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1 a PROVA scritta di RICERCA OPERATIVA (9 cfu) gennaio Cognome Nome Ai fini della pubblicazione (cartacea e elettronica) del risultato ottenuto nella prova di esame, autorizzo al trattamento dei miei dati personali ai sensi della Legge 67/96 e successive modificazioni VOTO Se NON si intende autorizzare al trattamento dei dati, apporre qui una firma non autorizzo Esercizio. (4, punti) Sia dato il problema di ottimizzazione non vincolato: min x IR 3 x + 4x + x 3 4x x + x x 3 4x x 3 + x + x + x 3 (i) ( punti) Dire se la funzione è convessa (strettamente o non) giustificando la risposta. (ii) (, punti) Dire se il punto (,, ) T soddisfa le condizioni necessarie del primo. (ii) (. punto) Discutere l esistenza/non esistenza di minimi globali della funzione. (iv) (, punti)dire se nel punto (,, ) T la direzione d = (,, ) T è di discesa, giustificando la risposta. Esercizio. ( punti) Dato il seguente problema di ottimizzazione vincolata non lineare min x + 4x + x 3 4x x + x x 3 4x x 3 + x + x + x 3 x + x x, x, x 3, (i) (, punti) Dire se il problema è convesso (ii) (. punti) Dire se nel punto (,, ) T esistono direzioni ammissibili e di discesa e il passo e calcolare una con il corrispondente valore di α max (iii) ( punti) Scrivere le Condizioni di KKT e dire se nel punto (,, )T sono/non sono verificate. Esercizio 3. (6 punti) Sia dato il problema di Programmazione lineare (P)

2 min x + 3x + x 3 x + x x, x, x 3 (i) (, punto) Porre il problema in forma standard per l utilizzo del metodo del simplesso. (ii) (3, punti) Individuare tutte le Soluzione di Base Ammissibile del poliedro in forma standard. Scegliere una delle SBA ottenute ed indicare le variabili di base e fuori base con la matrice di base corrispondente. (iii) ( punti) Calcolare i coefficenti di costo ridotto nella SBA considerata al passo precedente. Esercizio 4. (8, punti) Sia dato il problema di Programmazione lineare (P) min x + 3x + x 3 x + x x, x, x 3 (i) (3, punti) Scrivere il problema duale e risolverlo graficamente. (ii) (3 punti) Utilizzando la teoria della dualità, determinare, se esiste, la soluzione ottima del problema primale. (iii) ( punti) Dire se e come cambia la soluzione ottima se il termine noto del secondo vincolo cambia da a ε con ε >. Esercizio 3 ( punti) Utilizzando il metodo del Branch and Bound determinare una soluzione del seguente problema di Knapsack: max 6x + 4x 3 +.8x 4 + 6x +.4x 6 +.8x 7 x + 4x 3 + x 4 + 3x + x 6 + x 7 7 x i {, }, i =,..., 7. Esercizio 6 (. punti) Dato il grafo di figura, effettuare una numerazione topologica dei nodi e determinare l albero dei cammini minimi.

3 Figure : Grafo di esercizio

4 Soluzione Esercizio. (4, punti) x 4x + x f = 4x + 8x 4x 3 + f = x 4x + x (i) Si tratta di verifica se f. Il determinante è nullo, i minori di ordine uno sono gli elementi sulla diagonale e sono non negativi, i minori di ordine due sono: = = = Dunque f e la funzione è convessa ma non strettamente convessa. (ii) Non soddisfa; risulta infatti f = (iii) Si tratta di una funzine quadratica convessa. Dunque ammette minimo se e solo se il sistema f(x) = ammette soluzione. La funzione non ammette minimo in quanto il sistema x 4x + x 3 + = 4x + 8x 4x 3 + = x 4x + x 3 + = non ammette soluzione perché la seconda equazione non può mai essere soddisfatta da punti che soddisfano la prima e la terza. (iv) Sí la direzione è di discesa in quanto d = f() e dunque f() T d = f() = 4 <. Esercizio. (i) Il problema è convesso perché la funzione obiettivo quadratica è convessa (NB è la stessa funzione dell esercizio precedente) e i vincoli sono lineari. Dunque si tratta della minimizzazione di una funzione convessa su un poliedro convesso. (ii) Nel punto ˆx = (,, ) T sono attivi i vincoli {, } e il gradiente vale f(ˆx) = 6, dunque il sistema da risolvere (NB: il prmo vincolo é di uguaglianza) d + d + d 3 = d 3 d + 6d d 3 < Esistono soluzioni al sistema (dunque il punto dato non é minimo). Una possibile soluzione si ottiene ponendo d 3 =, da cui d = d e d <. Scegliendo d = si ha d = α max =

5 (iii) Le condizioni di KKT sono: ammissibiilità x + x x, x, x 3 stazionarietà x 4x + x 3 + 4x + 8x 4x 3 + +µ +λ +λ +λ 3 x 4x + x 3 + complementarità non negatività λ i, i =,..., 4 λ ( x x ) = λ x =, λ 3 x =, λ 4 x 3 = +λ 4 = Nel punto (,, )T deve necessariamente risultare λ = λ 4 =. Sostituendo nelle condizioni di stazionarietà si ottiene 8 + µ λ = + µ λ λ 3 = 8 + µ = Da cui µ = 4, λ =, λ 3 = 34. Il punto NON soddisfa le KKT perché λ 3. Esercizio 3. (i) per porre il problema nella forma standard è necessario introdurre una variabili di surplus x 4 ottenendo così: min x + 3x + x 3 x + x x 4 = x, x, x 3 x 4 (ii) Ricordando la caratterizzazione dei vertici ( definizione di SBA) di un poliedro in forma standard possiamo esaminare i seguenti casi (a) x = x = (non ammissibile) (b) x = x 3 = (non ammissibile) (c) x = x 4 = (non ammissibile) (d) x = x 3 =, x = 6, x 4 = (SBA) (e) x = x 4 =, x =, x 3 = (SBA) (f) x 3 = x 4 =, x = 4 x 9 = (SBA). 9 6 Consideriamo la SBA ; le variabili di base x B = ( ) ( ) x base x N = = ; la matrice di base B =. x 3 ( ) x x 4 = ( 6 ), le variabili fuori

6 (iii) La formula dei coefficienti di costo ridotto γ T = c T N c T BB N richiede il calcolo dell inversa ( ) B =. Dunque sostituendo si ottine ( γ T = ( 3 ) ( ) ) ( ) = ( ) Esercizio 4. (N.B. Il problema è lo stesso dell esercizio 3) (i) Il problema duale è max 6u + u u + u u + u 3 u u ( ) dalla soluzione grafica si determina il punto ottimo u = di valore ottimo b T u = 7. 4 (ii) dalla teoria della dualità esiste una soluzione primale. Dalle cond. di complementarita deriva che entrambi i vincoli del primale devono essere soddisfatti all uguaglianza e che x = deve essere zero (il secondo vincolo duale NON è attivo in u. Dunque si tratta di risolvere il sistema x + x = x, x =, x 3 da cui si ottiene x =. (N.B. il punto era stato gia determinato come vertice dell esercizio precedente.) (iii) Il secondo vincolo è attivo e il valore della variabile duale (prezzo ombra) corrispondente è 4 dunque la f.o. varia di 4 ε. Esercizio 3 ( punti) Riordino le variabili secondo il rapporto peso/ingombro max 6y + 6y + 4y 3 +.8y 4 +.4y +.8y 6 y + 3y + 4y 3 + y 4 + y + y 6 7 y i {, }, i =,..., 7. Si determina la soluzione del rilassamento di valore U = 4 e una soluzione intera (ottimo

7 corrente) di valore z I =. Separazione rispetto a y 3, si ottengono i due problemi max 6y + 6y +.8y 4 +.4y +.8y 6 y + 3y + y 4 + y + y 6 7 y i {, }, i =,..., 7. y 3 = (P ) max 6y + 6y y 4 +.4y +.8y 6 y + 3y + y 4 + y + y 6 3 y i {, }, i =,..., 7. y 3 = (P ) La soluzione del rilassamento di (P ) è: x = di valore U = 3.; non è possibile chiudere il problema (P ). La soluzione del rilassamento di (P ) è: x = di valore U = pari all ottimo corrente; il problema (P ) si chiude. Separazione di (P ) rispetto a y, si ottengono i due problemi 3 max 6y + 6y +.8y 4 +.8y 6 y + 3y + y 4 + y 6 7 y i {, }, i =,..., 7. y = (P 3 ) Si ottengono i valori x 3 = max 6y + 6y +.8y y 6 y + 3y + y 4 + y 6 y i {, }, i =,..., 7. di valore U 3 = 3.6 e x 4 = dunque si aggiorna l ottimo corrente z I = 3.4 e si chiude il problema (P 4 ). Separazione di (P 3 ) rispetto a y 6, si ottengono i due problemi y = (P 4 ) INTERO di valore U 4 = 3.4 max 6y + 6y +.8y 4 y + 3y + y 4 7 y i {, }, i =,..., 7. y 6 = (P )

8 max 6y + 6y +.8y y + 3y + y 4 y i {, }, i =,..., 7. y 6 = (P 6 ) Si ottengono due soluzioni entrambe intere di valore inferiore all ottimo corrente. I due problemi sono chiusi. NOn ci sono più problemi da analizzare. Dunque la soluzione è x =. Esercizio 6 nodo distanza predecessore {3, 4,, } Figure : Grafo di esercizio