Esercizio 1. Soluzione

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1 A UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa 1 Prima prova intermedia 21 aprile 2018 Esercizio 1 Una fabbrica di schede elettroniche deve allocare operai specializzati alla produzione di un nuovo tipo di scheda. Il processo di lavorazione di una scheda richiede due operazioni, montaggio e test, che possono essere effettuate da operai diversi in tempi diversi. Tuttavia è necessario che l operazione di montaggio di una scheda venga eseguita senza interruzioni dallo stesso operaio all interno di uno stesso turno di lavoro. Lo stesso requisito vale per l operazione di test. L operazione di montaggio di una scheda richiede 52 minuti, l operazione di test richiede 45 minuti, il turno di lavoro di un operaio è di 6 ore consecutive. Formulare come problema di PL (senza risolverlo) il problema di realizzare 1500 schede con il minimo numero di turni-operaio. Il problema è evidentemente un problema di taglio ottimo che richiede di realizzare 1500 operazioni di montaggio e 1500 operazioni di test ritagliandole da turni di 6 ore. Per formulare il problema è quindi necessario elencare tutte le modalità di taglio, ovvero le combinazioni di operazioni di montaggio e test che possono essere effettuate in un turno: 1 turno= 6 ore= 360 minuti. In un turno possono essere effettuate: 1. 0 operazioni di montaggio e 8 di test 2. 1 op. di montaggio e 6 di test 3. 2 op. di montaggio e 5 di test 4. 3 op. di montaggio e 4 di test 5. 4 op. di montaggio e 3 di test 6. 5 op. di montaggio e 2 di test 7. 6 op. di montaggio e 1 di test Quindi abbiamo 7 modalità di taglio. Le variabili del problema saranno quindi 7, la variabile xx jj rappresenterà il numero di turni organizzati nella modalità j=1,,7. Formulazione: min xx 1 + xx 2 + xx 3 + xx 4 + xx 5 + xx 6 + xx 7 xx 2 + 2xx 3 + 3xx 4 + 4xx 5 + 5xx 6 + 6xx xx 1 + 6xx 2 + 5xx 3 + 4xx 4 + 3xx 5 + 2xx 6 + xx xx 0 Esercizio 2 È dato il problema di PL in figura. 1. Risolvere il problema con il metodo grafico. 2. Ridurre il problema in forma standard. 3. Utilizzando l algoritmo del simplesso rivisto (fase 1 e fase 2) trovare una soluzione ottima del problema in forma standard o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. 4. Le soluzioni ottenute al punto 1 e 3 sono coerenti? max 3xx 1 xx 2 xx 1 + xx 2 1 xx 1 + xx 2 2 2xx 1 + xx 2 4 xx 1 llllllllllll xx 2 0

2 Metodo grafico c P La rappresentazione grafica del poliedro è riportata in Figura. La soluzione ottima è il vettore vv = [-1/2-3/2] T. Problema in forma standard: min 3xx 1 + 3xx 1 xx 2 xx 1 + xx 1 + xx 2 xx 3 = 1 xx xx 1 + xx 2 + xx 4 = 2 2xx + 1 2xx 1 xx 2 + xx 5 = 4 xx 0 Fase 1: è sufficiente introdurre una variabile artificiale φφ 1 sulla prima riga mettendo nella base iniziale le variabili xx TT BB = (φφ 1 xx 4 xx 5 ). Alla prima iterazione, se entra xx 2 esce φφ 1 e termina la fase 1. Fase 2: entra xx 1 ed esce xx 4. La base trovata è ottima. La soluzione ottima trovata per il problema in forma standard è: xx 2 3/2 xx BB = xx 1 = 1/2 xx 5 13/2 Che è coerente con la soluzione del metodo grafico.

3 B UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa 1 Prima prova intermedia 21 aprile 2018 Esercizio 1 È dato il problema di PL in figura. 1. Risolvere il problema con il metodo di Fourier-Motzkin. 2. Ridurre il problema in forma standard. 3. Utilizzando l algoritmo del simplesso rivisto (fase 1 e fase 2) trovare una soluzione ottima del problema in forma standard o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. 4. Le soluzioni ottenute al punto 1 e 3 sono coerenti? max 2xx 1 3xx 2 xx 1 + xx 2 1 xx 1 + xx 2 3 xx 1 2xx 2 0 xx 1 0 xx 2 llllllllllll Per utilizzare il metodo di Fourier-Motzkin è necessario introdurre una variabile artificiale zz = 2xx 1 3xx 2 zz = 2xx 1 3xx 2 xx 1 + xx 2 1 xx 1 + xx 2 3 xx 1 2xx 2 0 xx 1 0 xx 2 llllllllllll A questo punto si può proiettare una variabile per sostituzione, per esempio xx 2 = 1 (zz 2xx 3 1), ottenendo: xx 1 1 (3 zz) 5 zz 7 xx 1 zz 9 xx 1 2 zz 7 xx 1 0 da cui, per proiezione propria di xx 1 si ottiene zz 7 zz 0 zz 9 La soluzione ottima è pertanto zz = 7, da cui: xx 1 = 2 e xx 2 = 1. Problema in forma standard: min 2xx 1 + 3xx 2 + 3xx 2 xx 1 + xx xx 2 xx 3 = 1 xx 1 xx xx 2 + xx 4 = 3 xx 1 + 2xx + 2 2xx 2 + xx 5 = 0 xx 0 Fase 1: è sufficiente introdurre una variabile artificiale φφ 1 sulla prima riga mettendo nella base iniziale le variabili xx TT BB = (φφ 1 xx 4 xx 5 ). Alla prima iterazione, se entra xx 1 esce xx 5, alla seconda iterazione se entra xx 2 esce φφ 1 e termina la fase 1. Fase 2: se entra xx 5 esce xx 4. La base trovata è ottima. La soluzione ottima trovata per il problema in forma standard è:

4 xx 2 xx 5 xx 1 1 xx BB = = 0 2 Che è coerente con la soluzione del metodo di F.M. Esercizio 2 Uno studio medico è condiviso da due dottori D1 e D2 con diverse specializzazioni. I due dottori utilizzano le risorse condivise dello studio in modo differente, ricavandone differenti profitti. In particolare ciascun dottore richiede una certa quantità di lavoro dell unico assistente disponibile, una certa disponibilità della macchina per la TAC e una certa disponibilità della sala visite per ogni sua ora di lavoro, come riportato in tabella (tutte le quantità espresse in ore). Assistente TAC Sala visite Profitto ( ) D ,5 32 D La tabella riporta anche il profitto che ogni dottore ottiene per ogni ora di lavoro (espresso in euro). Per la prossima settimana lo studio dispone di 30 ore di lavoro dell assistente, 80 ore di TAC e 60 ore di sala visite. Inoltre il dottore D1 lavora al più 48 ore settimanali, mentre D2 può arrivare a 60. Formulare come problema di PL (senza risolverlo) il problema di massimizzare il profitto settimanale dello studio. Spiegare in dettaglio (1) il significato e (2) le unità di misura delle variabili utilizzate, nonché (3) il ruolo dei vari vincoli e (4) della funzione obiettivo del problema di PL formulato. Il problema è chiaramente un problema di allocazione di risorse. I prodotti di cui si vuole determinare il livello di attivazione sono le ore di lavoro dei dottori D1 e D2, mentre le risorse consumate sono le ore di lavoro dell assistente, della macchina per la TAC e della sala visite. Avremo pertanto due variabili e la variabile xx jj rappresenterà le ore di lavoro del dottore DD jj, per j=1,2. Formulazione max 32xx xx 2 xx 1 + xx xx 1 + 2xx ,5xx 1 + xx 2 60 xx 1 48 xx 2 60 xx 0

5 C UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa 1 Prima prova intermedia 21 aprile 2018 Esercizio 1 È dato il problema di PL in figura. 1. Risolvere il problema con il metodo di Fourier-Motzkin. 2. Ridurre il problema in forma standard. 3. Utilizzando l algoritmo del simplesso rivisto (fase 1 e fase 2) trovare una soluzione ottima del problema in forma standard o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. 4. Le soluzioni ottenute al punto 1 e 3 sono coerenti? max 3xx 1 2xx 2 xx 1 xx 2 2 xx 1 + xx 2 4 2xx 1 + xx 2 2 xx 1 llllllllllll xx 2 0 Per utilizzare il metodo di Fourier-Motzkin è necessario introdurre una variabile artificiale zz = 3xx 1 2xx 2 zz = 3xx 1 2xx 2 xx 1 xx 2 2 xx 1 + xx 2 4 2xx 1 + xx 2 2 xx 1 llllllllllll xx 2 0 A questo punto si può proiettare una variabile per sostituzione, per esempio xx 1 = 1 3 (zz 2xx 2), ottenendo: xx (2 1 zz) 3 xx 2 zz 12 xx 2 2zz 6 xx 2 0 zz 9 da cui, per proiezione propria di xx 2 si ottiene zz 8 3 zz 12 zz 3 La soluzione ottima è pertanto zz = 9, da cui: xx 2 = 3 e xx 1 = 1. Problema in forma standard: min 3xx 1 + 3xx 1 2xx 2 xx 1 + xx 1 + xx 2 xx 3 = 2 xx xx 1 + xx 2 + xx 4 = 4 2xx + 1 2xx 1 xx 2 + xx 5 = 2 xx 0 Fase 1: è sufficiente introdurre una variabile artificiale φφ 1 sulla prima riga mettendo nella base iniziale le variabili xx TT BB = (φφ 1 xx 4 xx 5 ). Alla prima iterazione, se entra xx 2 esce φφ 1 e termina la fase 1. Fase 2: se entra xx 1 esce xx 4. La base trovata è ottima. La soluzione ottima trovata per il problema in forma standard è: xx 2 3 xx BB = xx 1 = 1 xx 5 7 Che è coerente con la soluzione del metodo di F.M.

6 Esercizio 2 Un centro di formazione è condiviso da due docenti D1 e D2 che lo utilizzano per corsi di formazione durante la settimana. Le risorse condivise dai due docenti comprendono la segreteria, l aula corsi e il laboratorio. In particolare per un ora di lavoro di ciascun docente il centro deve fornire la disponibilità di ore della segreteria, dell aula e del laboratorio indicate in tabella (espresse in ore). Segreteria Aula corsi Laboratorio Profitto ( ) D1 3 1, D La tabella riporta anche il profitto che il centro ottiene, al netto delle spese, per ogni ora di lavoro di ciascun docente (espresso in euro). Per la prossima settimana lo studio dispone di 30 ore di segreteria, 40 ore di aula corsi e 20 ore di laboratorio. Il docente D1 lavora al più 20 ore settimanali, mentre D2 può arrivare a 30. Formulare come problema di PL (senza risolverlo) il problema di massimizzare il profitto settimanale del centro. Spiegare in dettaglio (1) il significato e (2) le unità di misura delle variabili utilizzate, nonché (3) il ruolo dei vari vincoli e (4) della funzione obiettivo del problema di PL formulato. Il problema è chiaramente un problema di allocazione di risorse. I prodotti di cui si vuole determinare il livello di attivazione sono le ore di lavoro dei docenti D1 e D2, mentre le risorse consumate sono le ore di lavoro della segreteria, dell aula corsi e del laboratorio. Avremo pertanto due variabili e la variabile xx jj rappresenterà le ore di lavoro del docente DD jj, per j=1,2. Formulazione max 18xx xx 2 3xx 1 + 2xx ,5xx 1 + xx 2 40 xx 2 20 xx 1 20 xx 2 30 xx 0

7 D UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa 1 Prima prova intermedia 21 aprile 2018 Esercizio 1 Le caratteristiche (semplificate) di composizione della benzina verde sono le seguenti: Benzene: 1% massimo, composti Aromatici: 35% massimo, Olefine: 18% massimo, Eteri: 22% massimo. Un impianto di raffinazione produce benzina distillando petroli con diverse caratteristiche ed è in grado di ottenere i sottoprodotti A, B, C con le caratteristiche ed il costo di produzione indicati in tabella. Sottoprodotto Benzene (%) Aromatici (%) Olefine (%) Eteri (%) Costo ( /lt) A ,25 B 0, ,15 C 0, ,13 Dai sottoprodotti si può ottenere benzina verde (o altri carburanti) semplicemente dosando le proporzioni dei vari sottoprodotti. Oltre ai limiti di legge, la benzina verde per applicazioni speciali ha un contenuto ideale di composti aromatici pari al 30%. Lo scostamento da questa percentuale ideale causa un deprezzamento (D) del valore di mercato della benzina prodotta, pari a 0,02 /lt per ogni punto percentuale di scostamento (in positivo o negativo) dal valore ideale. In altre parole, se E è il contenuto di Aromatici in un litro di benzina verde, il deprezzamento di un litro di benzina è calcolabile come D=0,02 E-30. D è quindi un costo che va sommato al costo di produzione complessivo dei sottoprodotti utilizzati. Formulare come problema di PL (senza risolverlo) il problema di realizzare un litro di benzina verde minimizzando la somma del costo dei sottoprodotti e del deprezzamento complessivo. Il problema è chiaramente un problema di miscelazione. Gli ingredienti da miscelare sono i sottoprodotti A, B e C, mentre i vincoli riguardano la quantità massima di benzene, composti aromatici, olefine ed eteri nella miscela. Avremo pertanto tre variabili e la variabile xx jj rappresenterà la quantità di sottoprodotto j=a,b,c nella miscela, misurata ad esempio in litri. Per rappresentare il deprezzamento D=0,02 E-30 nella funzione obiettivo sarà inoltre necessario aggiungere un altra variabile z per linearizzare il modulo E-30. Formulazione min 0,25xx AA + 0,15xx BB + 0,13xx CC + 0,02zz xx AA + 0,6xx BB + 0,3xx CC 1 22xx AA + 38xx BB + 40xx CC 35 12xx AA + 18xx BB + 25xx CC 18 20xx AA + 25xx BB + 18xx CC 22 xx AA + xx BB + xx CC = 1 zz 22xx AA + 38xx BB + 40xx CC 30 zz 30 22xx AA 38xx BB 40xx CC xx 0

8 Esercizio 2 È dato il problema di PL in figura. 5. Risolvere il problema con il metodo grafico. 6. Ridurre il problema in forma standard. 7. Utilizzando l algoritmo del simplesso rivisto (fase 1 e fase 2) trovare una soluzione ottima del problema in forma standard o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. 8. Le soluzioni ottenute al punto 1 e 3 sono coerenti? max xx 1 3xx 2 xx 1 xx 2 1 xx 1 + xx 2 2 xx 1 2xx 2 0 xx 1 0 xx 2 llllllllllll Dal metodo grafico si evince che l insieme ammissibile è vuoto. Il problema è pertanto inammissibile. Problema in forma standard: min xx 1 + 3xx 2 + 3xx 2 xx 1 + xx + 2 xx 2 xx 3 = 1 xx 1 xx xx 2 + xx 4 = 2 xx 1 + 2xx + 2 2xx 2 + xx 5 = 0 xx 0 Fase 1: è sufficiente introdurre una variabile artificiale φφ 1 sulla prima riga mettendo nella base iniziale le variabili xx TT BB = (φφ 1 xx 4 xx 5 ). Alla prima iterazione, se entra xx 1 esce xx 5. Alla seconda iterazione se entra xx 2 esce xx 4. La base trovata è ottima. La soluzione ottima trovata per il problema artificiale è: φφ 1 1/3 xx BB = xx 2 = 2/3 xx 1 4/3 Poiché resta in base la variabile artificiale φφ 1 con valore diverso da zero, si conclude che il problema originale è inammissibile, che è coerente con la soluzione del metodo grafico.