Ricerca Operativa. G. Liuzzi. Lunedí 9 Marzo Programmazione Matematica Geometria di R n Esempi Teoria della PL Forma Standard. logo.

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1 1 Lunedí 9 Marzo Istituto di Analisi dei Sistemi ed Informatica IASI - CNR

2 Problema di Ottimizzazione min(o max) f (x) con la restrizione x S dove f (x) : R n R è detta funzione obiettivo S R n è detto insieme ammissibile Se S = R n, allora il problema è non vincolato Se S R n, allora il problema è vincolato Ottimo globale: un punto x S t.c. f (x ) f (x) (o f (x ) f (x)) per ogni x S. Ottimo locale: un punto x S t.c. esiste una costante δ > 0 per cui x è ottimo globale in S B(x, δ).

3 Problema Vincolato min(o max) f (x) con la restrizione x S R n Se x i Z (insieme dei numeri interi) per qualche i, il problema è detto (misto) intero Se x i {0, 1} per ogni i, il problema è detto binario o di programmazione 0/1

4 Problema Vincolato min(o max) f (x) g 1 (x) b 1 g 2 (x) b g m (x) b m x i Z per ogni i I z {1,..., n} dove f (x) : R n R è detta funzione obiettivo g i (x) : R n R (t.c. g i (0) = 0), b i R ciascun simbolo {, =, } g i (x) b i è l i-esimo vincolo del problema Se f (x) e g i (x) sono tutte funzioni lineari allora il problema è detto di Programmazione Lineare quando I z = di Programmazione Lineare mista Intera quando I z, I z {1,..., n}

5 Problema di PL Forma generale di un problema di PL di minimo min c x Ax b dove c R n, A R m n, b R m Nota Bene: qualunque problema di max può essere (banalmente) convertito in uno di min (e viceversa) qualunque vincolo di può essere (banalmente) convertito in uno di (e viceversa) qualunque vincolo d x = h può essere riscritto come d x h d x h

6 PL e Poliedri Definizione Un poliedro in R n è l intersezione di un numero finito di iperpiani e semispazi (chiusi) P = {x R n : Ax b, Dx = h}. Quindi l insieme ammissibile di un problema di PL è un poliedro in R n P è limitato quando non contiene semirette ovvero quando, comunque preso x P, non esiste d R n tale che x(ρ) = x + ρd P, per ogni ρ 0. Definizione Un poliedro limitato è detto politopo.

7 Poliedri e insiemi convessi Definizione (insieme convesso) S R n è un insieme convesso se per ogni x, y S e λ [0, 1] λx + (1 λ)y S Proposizione Risulta facilmente: un semispazio chiuso è un insieme convesso; un iperpiano (intersezione di due semispazi chiusi) è un insieme convesso; un poliedro è un insieme convesso.

8 Vertici di un poliedro Definizione (geometrica) Un punto x P è un vertice di P quando non esistono due punti y, z P tali che y z x (y, z) ovvero x = λy + (1 λ)z, per qualche λ (0, 1)

9 Vertici di un poliedro Sia I ( x) = {i : a i x = b i } l insieme degli indici dei vincoli attivi in x Definizione (analitica) x P è un vertice di P quando ( ) rango ai = n i I ( x) Quindi, un poliedro P ha, al più, un numero finito di vertici. Il numero dei vertici non può essere maggiore di ( ) m m! = n n!(m n)!

10 Problema di miscelazione min 40x x 2 140x x x x x 2 75 x 1, x 2 0

11 Interpretazione geometrica È possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni di geometria analitica, la regione del piano R 2 costituita da punti che soddisfano tutti i vincoli del problema. x 1, x 2 0 quindi i p.ti ammissibili appartengono all ortante positivo 140x x x x x x 2 2 x 2 studiamo ora il comportamento di f (x) f = (2, 3) T x x 2 = k eq. di un fascio di rette parallele x 1 0.5

12 Pianificazione ottima della produzione Un colorificio produce 2 tipi di coloranti C1 e C2 utilizzando 3 preparati base P1, P2 e P3. La tabella riporta: (a) le quantità (in litri) di preparati base necessari per produrre un litro di ciascun tipo di colorante; (b) le disponibilità massime (in litri/mese) di preparati base; (c) il prezzo di vendita (in eur/litro) dei due coloranti. C1 C2 q.max P P prezzo 7 10 Determinare la strategia ottima di produzione mensile.

13 Formulazione matematica del problema Passo 1: Scelta delle variabili di decisione x 1 : indica la quantità in litri/mese di C1 prodotto; x 2 : indica la quantità in litri/mese di C2 prodotto; Passo 2: Funzione obiettivo max 7x x 2 Passo 3: Vincoli x 1 + x x 1 + 2x x x 1, x 2 0 disp. di P1 disp. di P2 disp. di P3 non negatività

14 Interpretazione geometrica È possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni di geometria analitica, la regione del piano R 2 costituita da punti che soddisfano tutti i vincoli del problema. x 1, x 2 0 quindi i p.ti ammissibili appartengono all ortante positivo x x 1 + x x 1 + 2x studiamo ora il comportamento di f (x) f = (7, 10) T 7x x 2 = k eq. di un fascio di rette parallele x 2 x 1 x

15 Formulazione matematica del problema max 2x 1 x 2 x 1 + 4x 2 8 x 1 2 2x 1 + x 2 4 x 1, x 2 0

16 Interpretazione geometrica È possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni di geometria analitica, la regione del piano R 2 costituita da punti che soddisfano tutti i vincoli del problema. x 1, x 2 0 quindi i p.ti ammissibili appartengono all ortante positivo x 1 2 2x 1 + x 2 4 x 1 + 4x x 2 8 x 2 studiamo ora il comportamento di f (x) f = (2, 1) T 2x 1 x 2 = k eq. di un fascio di rette parallele x 1

17 ... e su YouTube esempio di problema inammissibile esempio di problema illimitato esempio di problema che ammette ottimo

18 Osservazioni Se P è illimitato (contiene delle semirette) allora il problema protrebbe essere illimitato (superiormente o inferiormente) La soluzione ottima (quando c è) è quasi sempre un vertice di P Se P è limitato (cioè, un politopo) e non vuoto, la soluzione ottima esiste necessariamente ed almeno una è sempre un vertice di P

19 x 1 Quasi? Almeno una? Esempio di problema che ammette ottimo ma non su un vertice di P Esempio di problema che ammette infinite soluzioni ottime. Tra queste, almeno una è un vertice di P x x

20 Teorema Fondamentale della PL (I) min c x Ax b Teorema Esattamente una delle seguenti affermazioni è vera. Il problema di PL è inammissibile, ovvero P =. Il problema di PL è illimitato inferiormente. Il problema di PL ammette almeno una soluzione ottima.

21 Esistenza dei Vertici Proposizione Sia P un poliedro non vuoto. P possiede almeno un vertice se e solo se P non contiene rette

22 Teorema Fondamentale della PL (II) min c x Ax b Teorema Supponiamo che P = {x R n : Ax b} non contenga rette. Allora esattamente una delle seguenti affermazioni è vera. Il problema di PL è inammissibile, ovvero P =. Il problema di PL è illimitato inferiormente. Il problema di PL ammette soluzioni ottime ed, almeno una di queste, è un vertice di P.

23 Forma STANDARD di un problema di PL min c x Ax = b x 0 n Ogni problema di PL ammette un equivalente in forma standard In particolare, un problema in forma generale min c x Ax b

24 Trasformazione di un problema in forma standard max c x min c x a i x b i a i x s i = b i, s i 0 s i variabile di surplus a i x b i a i x + s i = b i, s i 0 s i variabile di slack x i 0 x i = x + i x i, x + i, x i 0 Esempi...

25 Trasformazione di un problema in forma standard max 4x 1 x 3 + x 4 + 2x 5 min 4x 1 + x 3 x 4 2x 5 x 1 x 2 + x 3 0 x 1 x 2 + x 3 x 6 = 0 (x 6 var. di surplus) x x 2 + 3x 3 x 4 10 x 2 + 3x 3 x 4 +x 7 = 10 (x 7 var. di slack) x x3 x 5 = 7 x 1 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0, x 7 0 x + 2 0, x 2 0

26 Proprietà della forma standard P = {x R n : Ax = b, x 0 n } min c x Ax = b x 0 n (1) P R n + (ortante positivo); P non può contenere rette; se P, allora P ammette almeno un vertice; al problema (1) si applica il Teorema fondamentale della PL (II)