Geometria della programmazione lineare

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1 Geometria della programmazione lineare poliedri punti estremi, vertici, soluzioni di base esistenza di punti estremi rif. Fi 3.1; BT 2.1, 2.2, 2.5

2 Iperpiani, semispazi, poliedri Sia a un vettore non nullo in R n e b uno scalare. l insieme {x R n : a T x = b} è detto iperpiano l insieme {x R n : a T x b} è detto semispazio Osservazione Un semispazio è un insieme chiuso e convesso (per la convessità della funzione a T x b) e un iperpiano coincide con la frontiera del corrispondente semispazio Si definisce poliedro ogni insieme che può essere descritto come l intersezione di un numero finito di semispazi quindi: un poliedro è a sua volta un insieme chiuso e convesso la regione ammissibile di un problema di PL è un poliedro

3 Esercizio Per ciascuno dei seguenti insiemi, stabilire se è un poliedro: (i) x R tale che x 2 8x (ii) l insieme vuoto In entrambi i casi la risposta è affermativa: (i) la funzione è una parabola di vertice (4, 1) che assume valori 0 nell intervallo [3, 5] (ii) l insieme vuoto può essere descritto da {x : x 0, x 1}

4 Politopi Un insieme S R n si dice limitato se esiste una costante M tale che il valore assoluto di ogni componente di x, per ogni x S, è minore o uguale a M Un poliedro limitato è detto politopo

5 Punti estremi Sia P un poliedro. Un vettore x P è un punto estremo di P se non esistono due punti di y, z P diversi da x, ed uno scalare λ [0, 1] tali che x = λy + (1 λ)z u w v P x x punto estremo, w no

6 Vertici Sia P un poliedro. Un vettore x P è un vertice di P se esiste un qualche c tale che c T x < c T y, per ogni y P, y x w c P c x quindi x è un vertice di P se e solo se P giace su un lato di un iperpiano {y : c T y = c T x} che interseca P solo in x

7 Algebricamente... Sia P R n un poliedro definito da: a T i x b i, i M 1 a T i x b i, i M 2 a T i x = b i, i M 3 Se un vettore x soddisfa a T x = b i per qualche i M 1, M 2, M 3, il corrispondente vincolo si dice attivo in x. Teorema Sia I = {i a T x = b i } l insieme dei vincoli attivi in x. Allora, esistono n vettori {a i i I} linearmente indipendenti se e solo se il sistema di equazioni a T x = b i, i I ha un unica soluzione

8 Soluzioni di base Il vettore x si dice soluzione di base se (i) tutti i vincoli di uguaglianza sono attivi (i.e. x è ammissibile risp. ad essi) (ii) fra tutti i vincoli attivi in x ce ne sono n (i cui vettori sono) linearmente indipendenti Una soluzione di base x che soddisfa tutti i vincoli è detta soluzione di base ammissibile (sba) Osservazione Se il numero m di vincoli che definisce il poliedro P è minore di n non esistono soluzioni di base

9 Esempio P = {(x 1, x 2, x 3 ) x 1 + x 2 + x 3 = 1, x 1, x 2, x 3 0} x 3 A x 2 E P C D B x 1 A, B, C soluzioni di base ammissibili D non è sol. di base (non soddisfa il vincolo =) E è ammissibile ma non sol. di base

10 Esempio P = {(x 1, x 2, x 3 ) x 1 +x 2 +x 3 1, x 1 +x 2 +x 3 1, x 1, x 2, x 3 0} x 3 A x 2 E P C D B x 1 in questo caso anche D è soluzione di base. Quindi, il fatto che un punto sia o no soluzione di base dipende dalla rappresentazione del poliedro

11 Equivalenza punti estremi-vertici-sba Teorema Sia P un poliedro non vuoto e sia x P. Le tre affermazioni seguenti sono equivalenti: (a) x è un vertice (b) x è un punto estremo (c) x è una soluzione di base ammissibile Dimostrazione (a) = (b) (a) = esiste c tale che c T x < c T y, per ogni y P, y x quindi, presi due punti generici w, z P, entrambi diversi da x, risulta: c T x < c T w, c T x < c T z. Di conseguenza, per ogni λ [0, 1]: c T x < c T (λw + (1 λ)z) cioè, x λw + (1 λ)z

12 Dimostrazione (cont.) Assumiamo che tutti i vincoli di disuguaglianza abbiano la forma a T i b i (b) = (c) Supponiamo che x non sia sba e dimostriamo che non è punto estremo. x non sba = non esistono n vettori linearmente indipendenti in I = {i a T i x = b i }. Quindi, i vettori a i giacciono in un sottoinsieme proprio di R n ed esiste un qualche vettore d R n \ 0 n tale che a T d = 0, per ogni i I. Scegliamo un ɛ > 0 piccolo e costruiamo i vettori: y = x + ɛd, z = x ɛd

13 Dimostrazione (cont.) per i I si ha: a T i y = at i x + ɛa T i d = at i x = b i per i I risulta a T i x > b i : quindi, se ɛ è sufficientemente piccolo, a T i y = at i x + ɛa T i d > b i. Quindi, se ɛ è sufficientemente piccolo, y P. Analogamente si dimostra che z P. Ma abbiamo anche che x = (y + z)/2, che implica che x non è punto estremo (c) = (a) x è sba. Poniamo c = i I a i. Quindi abbiamo: c T x = i I a i x = i I b i Inoltre, per ogni x P ed ogni i risulta a T i b i e c T x = i I a i x i I b i (1)

14 Dimostrazione (cont.) In sostanza, x è una soluzione ottima per il problema di minimizzare c T x su P. Si osservi infine che la disequazione (1) è soddisfatta all uguaglianza se e solo se a T i x = b i per ogni i I. Dato che x è una sba, ci sono n vincoli attivi linearmente indipendenti in x, cioè x è l unica soluzione del sistema a T i x = b i, i I (teorema precedente). Segue che x è l unica soluzione ottima di min c T x su P, cioè è un vertice di P.

15 Conseguenze Ogni soluzione di base è definita da n vincoli attivi linearmente indipendenti, che definiscono un unico punto quindi, diverse soluzioni di base corrispondono a diversi insiemi di n vincoli linearmente indipendenti, da cui: Corollario Dato un numero finito m di disuguaglianze lineari, il numero di soluzioni di base o di sba (e quindi di vertici) è finito. In particolare è minore o uguale a ( ) n m la proprietà di essere punto estremo (o vertice) è puramente geometrica e lo stesso vale per le sba si ricordi che, al contrario, la proprietà di essere soluzione di base dipende dalla rappresentazione del poliedro

16 Esistenza di punti estremi Non tutti i poliedri hanno punti estremi. Ad es, se la matrice A ha meno di n righe, il poliedro x R n Ax b non ha sba. In generale si ha: Si dice che un poliedro P R n contiene una retta se esiste un vettore x P ed un vettore non nullo d tali che x + λd P per ogni scalare λ Teorema Un poliedro P R n ha almeno un punto estremo se e solo se non contiene una retta

17 Esempi P Q P contiene una retta e non ha vertici Q non contiene una retta ed ha vertici Osservazione Un poliedro in forma standard non contiene mai una retta e quindi ha almeno un punto estremo