21. (cenni di) Geometria analitica del piano.

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1 . (cenni di) Geometria analitica del piano... Definizione. Sia π un piano e sia O un suo punto. Siano i e j due versori ortogonali tra loro e paralleli al piano π. Diremo che la terna ordinata (O, i, j) è un riferimento cartesiano ortonormale del piano e lo indicheremo col simbolo RC(O, i, j)... Osservazione. Sia U := <i, j> il sottospazio dei vettori liberi generato da vettori i e j. E immediato rendersi conto che la coppia (i, j) è una base di U e che gli elementi di U sono tutti e soli i vettori liberi paralleli al piano π. Se indichiamo con l insieme dei punti del piano π, allora per ogni punto P esiste ed è unico il vettore libero u = [(OP)]. Ovviamente u è parallelo al piano π per cui u U. Per il Teorema di caratterizzazione di una base, si ha che esiste un unica coppia ordinata di numeri reali (x P, y P ) R tali che u = x P i+ y P j. Tenendo conto di quanto appena osservato si può definire una funzione Ω : R che ad ogni punto P associa, nel modo appena visto, l unica coppia ordinata di numeri reali (x P, y P ), cioè Ω(P) = (x P, y P ). E facile dimostrare che tale funzione è biettiva. Infatti, per ogni coppia ordinata di numeri reali (α, β) R esiste un unico vettore libero t = (αi + βj) U, per cui sul piano π esiste un unico punto Q tale che [(OQ)] = t. Poiché, per ogni (α, β) R esiste Q tale che Ω(Q) = (α, β), la funzione è suriettiva. Siccome tale punto Q è anche unico la funzione è iniettiva. Tenendo conto dell Osservazione. è ben posta la seguente.. Definizione. La funzione biettiva Ω che ad ogni punto P del piano associa l unica coppia (x P, y P ) ordinata di numeri reali tali che [(OP)] = x P i+ y P j si dice coordinatizzazione dei punti del piano rispetto al riferimento cartesiano ortonormale RC(O, i, j)..4. Definizione. L unica coppia ordinata di numeri reali (x P, y P ) associata al punto P tramite la funzione di coordinatizzazione viene detta coppia di coordinate del punto P rispetto al riferimento cartesiano ortonormale RC(O, i, j). Il primo e secondo elemento della coppia (x P, y P ) vengono detti rispettivamente ascissa e ordinata del punto P. Inoltre, scriveremo brevemente il punto P(x P, y p ) invece che il punto P di coordinate (x P, y P ).

2 .5. Osservazione. Se P (x, y ) e P (x, y ) sono due punti dello piano, allora [P P ] = (x x )i + (y y )j Dimostrazione. Per la Definizione. si ha che [OP ] = x i + y j e [OP ] = x i + y j. Dall identità vettoriale [OP ] + [P P ] = [OP ] si ottiene [P P ] = [OP ] [OP ] da cui la tesi. Ovviamente, essendo sottointesa la base (i, j), possiamo identificare il vettore libero [P P ] con la coppia ordinata delle sue componenti, per cui scriveremo brevemente [P P ] = (x x, y y ).6. Teorema. (equazioni parametriche di una retta nel piano). Per ogni retta r del piano esiste un sistema di equazioni lineari del tipo ( ) = lt + x = mt + y nelle incognite (x, y; t) con (l, m) (, ) tale che un punto P (x, y ) del piano appartiene alla retta r se e solo se esiste t R tale che la terna (x, y ; t ) è una soluzione del sistema ( ). Le equazioni del sistema ( ) si dicono equazioni parametriche della retta r (il parametro è t). (l, m) sono le componenti di un vettore parallelo ad r e si dicono parametri direttori della retta. Dimostrazione. Sia P (x, y ) un punto della retta r e sia w = li + mj un vettore libero non nullo parallelo alla retta r. Quindi, (l, m) (, ). Ovviamente w è una base dello spazio W = <w> i cui elementi sono tutti e soli i vettori liberi paralleli a w e, quindi, alla retta r. Se ora P (x, y ) è un generico punto del piano si ha che P r [(P P )] e w sono paralleli [(P P )] W = <w> t R : [(P P )] = t w t R : (x x, y y ) = t (l, m) t R : (x x, y y ) = (lt, mt ) t R : x y = lt = mt t R : = lt + x = mt + y la terna (x, y ; t ) è una soluzione del sistema = lt + x = mt + y.7. Corollario. (equazioni parametriche di una retta passante per due punti distinti). Siano P (x, y ) e P (x, y ) sono due punti distinti di una retta r. Poiché il vettore [P P ] è parallelo alla retta r, per la retta r si hanno subito le seguenti equazioni parametriche = (x x )t + x = (y y)t + y

3 .8. Lemma. (allineamento di tre punti). Siano P (x, y ), P (x, y ) e P (x, y ) tre punti del piano. ( x P, P e P sono allineati det ( x x ) x ) ( y ( y y) y ) = Dimostrazione. Si ha che u = [P P ] = (x x, y y ) e v = [P P ] = (x x, y y ). Sia H = ( x ( x x ) x ) ( y ( y y) y ) la matrice avente come righe le componenti dei vettori u e v. I tre punti P, P e P sono allineati i due vettori u = [P P ] e v = [P P ] e sono paralleli i due vettori u = [P P ] e v = [P P ] sono linearmente dipendenti le due righe di H sono linearmente dipendenti rg(h) < deth =..9. Teorema. (equazione cartesiana di una retta) Per ogni retta r del piano esiste un equazione lineare del tipo ( ) ax + by + c = nelle incognite (x, y) con (a, b) (, ) tale che un punto P (x, y ) del piano appartiene alla retta r se e solo se la coppia (x, y ) è una soluzione dell equazione ( ). L equazione ax + by + c =, che caratterizza i punti di r, si dice equazione cartesiana della retta r. Inoltre, scriveremo brevemente la retta r : ax + by + c = invece che la retta r di equazione ax + by + c =. Dimostrazione. Siano P (x, y ) e P (x, y ) due punti distinti di r. Sia P (x, y ) un punto del piano e sia H la matrice del Lemma.8. Il determinante di H è deth = (x x )(y y ) (y y )(x x ) Ponendo a := (y y ) e b : (x x ) = (x x ) si ha che deth = a(x x ) + b(y y ) = ax + by + ( ax by ) Ponendo c := (ax + by ) si ha infine deth = ax + by + c. Poichè, per ipotesi, i punti P e P sono distinti si ha che il vettore libero [P P ] = (x x, y y ) è non nullo. Quindi, (a, b) (, ). Ora, si osservi che P (x, y ) r P, P e P sono allineati (per il Lemma.8) deth = ax + by + c = (x, y ) è una soluzione di ax + by + c =... Osservazione. (equazione cartesiana di una retta passante per due punti distinti) Sia r la retta passante per i due punti distinti P (x, y ) e P (x, y ) del piano. x x L equazione cartesiana di r è data da det x x y y y x =

4 .. Osservazione. Se ax + by + c = con (a, b) (, ) è l equazione cartesiana di una retta r del piano, allora per ogni scalare α non nullo l equazione (αa)x + (αb)y + (αc) = è equivalente (ha le stesse soluzioni) all equazione ax + by + c = e, quindi, è un equazione cartesiana di r... Osservazione. Siano r una retta, u un vettore libero non nullo e (OA) un rappresentante di u. Se il segmento orientato (OA) è perpendicolare alla retta r, allora ogni segmento orientato appartenente a u = [(OA)] è perpendicolare alla retta r. Tenendo conto dell Osservazione precedente è ben posta la seguente.. Definizione. Diremo che un vettore libero non nullo u è perpendicolare ad una retta r se un (qualsiasi) rappresentante di u è perpendicolare ad r..4 Teorema. (significato dei coefficienti delle incognite nell equazione cartesiana di una retta) Se ax + by + c = con (a, b) (, ) è un equazione cartesiana di una retta r, allora il vettore libero non nullo u := ai + bj è perpendicolare alla retta r. Dimostrazione. Se P (x, y ) e P (x, y ) sono due punti distinti di r, allora si hanno le seguenti identità ax + by + c = e ax + by + c =. Inoltre, [P P ] = (x x )i + (y y )j. Per cui u [P P ] = a(x x ) + b(y y ) = (ax + by ) + ( ax by ) = c + c = Da u [P P ] = si ha che u [P P ]. Siccome [P P ]//r abbiamo che u r..5. Osservazione. Consideriamo un equazione lineare ax + by + c = nelle incognite (x, y). Sia G il luogo (cioè l insieme di tutti e soli) dei punti Q del piano tali che coppia di coordinate (α, β) di Q sia una soluzione di tale equazione. Studiamo ora la forma di G. Se (a, b) = (, ) e c =, allora per qualunque coppia (α, β) si ha che aα + bβ + c = α + β + = per cui G è costituito da tutti i punti del piano, brevemente G è il piano. Se (a, b) = (, ) e c, allora per ogni coppia (α, β) si ha che aα + bβ + c = α + β + c = c per cui G è l insieme vuoto. Se (a, b) (, ) allora G è costituito da tutti e soli i punti di una retta come si vede nel seguente.6. Teorema. Per ogni equazione lineare del tipo ax + by + c = con (a, b) (, ) esiste ed è unica una retta r del piano tale che ax + by + c = sia una sua equazione cartesiana.

5 Dimostrazione. Poiché (a, b) (, ), l equazione lineare ax + by + c = nella coppia di incognite (x,y) ha infinite soluzioni. Siano (x, y ) e (x, y ) due sue soluzioni distinte. Siano ora P e P gli unici due punti distinti del piano che hanno come coordinate rispettivamente (x, y ) e (x, y ) e sia r l unica retta passante per P e P. Poiché (x, y ) e (x, y ) sono soluzioni di ax + by + c = si hanno le seguenti identità ax + by + c = e ax + by + c =. Sottraendo membro a membro, si ha l identità a(x x ) + b(y y ) =. Ovvero, posto u := ai + bj, che u [P P ] e, quindi, u r. Inoltre, dalla prima identità si ha anche l identità c = (ax + by ). Se ora Q è un generico punto del piano di coordinate (α, β) allora si ha che Q r u [P Q] a(α x ) + b(β y ) = aα + bβ (ax + by ) = aα + bβ + c = (α, β) è una soluzione di ax + by + c =. Per cui quest'ultima è un'equazione di r.7. Teorema. (mutua posizione di due rette nel piano) Siano r : a x + b y + c = e r : a x + b y + c = due rette. Ponendo A = a a b b e C = a a b b c c si ha che le due rette ) sono la stessa retta (r r ) rgc = ) non hanno punti in comune (r r = ) rgc = et rga = ) hanno un solo punto in comune (r r = {P}) rga = Dimostrazione. Considerato il sistema lineare costituito dalle equazioni delle due rette si ha che A è la matrice incompleta (matrice dei coefficienti) del sistema mentre C è quella completa. Da (a, b ) (, ) e (a, b ) (, ) si ha che rga. Poiché rga e rga rgc min{, (+rga)}, i casi possibili sono: I) rgc = (quindi anche rga = ) II) rgc = et rga = III) rga = (quindi anche rgc = ) I) rgc = α R {} : (a, b, c ) = α(a, b, c ) le equazioni delle due rette differiscono per un fattore moltiplicativo non nullo le due equazioni sono equivalenti le due rette sono la stessa retta. Per cui è completamente provata la (). II) rga = = rgc il sistema non ha soluzioni le due rette non hanno punti in comune. Quindi, è completamente provata la (). III) rga = = rgc il sistema è di Cramer il sistema ha una sola soluzione le due rette hanno un solo punto in comune Quindi, è completamente provata anche la ().

6 .8. Corollario. (condizione di parallelismo di due rette nel piano). Due rette r : a x + b y + c = e r : a x + b y + c = sono parallele se e solo se esiste un numero reale non nullo α tale che (a, b ) = α(a, b ), ovvero a = αa e b = αb. Dimostrazione. Per il Teorema.4 si ha che due rette r e r sono parallele se e solo se rga =, quindi, se e solo se le righe di A sono linearmente dipendenti ovvero sono proporzionali..9. Definizione. Diremo fascio (improprio) di rette parallele alla retta r la totalità delle rette del piano parallele ad r. Col simbolo ϕ(r) indicheremo l insieme delle equazioni delle rette appartenenti al fascio di rette parallele alla retta r... Teorema. (insieme delle equazioni di un fascio di rette parallele ad una retta r) Se r : a x + b y + c = allora ϕ(r ) = {a x + b y + t = t R}. Dimostrazione. Sia r : a x + b y + c = una generica retta del piano. r ϕ(r ) r //r (per il Corollario.5) α R {} : (a, b ) = α(a, b ) r : αa x + αb y + c = r : a x + b y + (c /α) =. Viceversa, se una retta r ha un equazione del tipo a x + b y + c = allora (per il Corollario.5) la retta r è parallela alla retta r e, quindi, r ϕ(r)... Definizione. Sia P un punto del piano. Diremo fascio (proprio) di rette di centro P la totalità delle rette passanti per il punto P. Col simbolo F(P ) indicheremo l insieme delle equazioni delle rette appartenenti al fascio di rette di centro P... Teorema. (insieme delle equazioni di un fascio di rette di centro P ) Se P (x, y ) allora F(P ) = {a(x x ) + b(y y ) = (a, b) R {(, )}}. Dimostrazione. Sia r : ax + by + c = una generica retta del piano π. Quindi, (a, b) (, ). La retta r appartiene al fascio di rette di centro P se e solo se il punto P appartiene alla retta r ovvero se e solo se vale l identità seguente ax + by + c = da cui l identità c = (ax + by ). Ora enunciamo un risultato (che non dimostreremo)... Teorema. Siano r : a x + b y + c = e r : a x + b y + c = due rette del piano. Se r e r non sono parallele e se indichiamo con P è il loro punto d intersezione, allora si ha che F(P ) = {λ(a x + b y + c ) + µ(a x + b y + c ) = (λ, µ) R (, )} Ovvero le equazioni delle rette di un fascio proprio si ottengono come combinazione lineare, a coefficienti non entrambe nulli, delle equazioni di due qualsiasi rette distinte del fascio.

7 .4. Ricordiamo che.4. u v := u v cos(u,v) (u v è il prodotto scalare dei due vettori liberi u e v).4. u v = u v.4. u u = u (quindi u = u u ).4.4 u e v cos(u,v) = (u v)/( u v ).4.5 u v u = u v / u = lunghezza della proiezione di v lungo direzione di u.4.6 (i, j) base ortonormale u v = u x v x + u y v y.4.7 (i, j) base ortonormale u =.4.8 (i, j) base ortonormale cos(u, v) = y x u u + uxvx + uyvy u x + u y v x + v y.5. Corollario. Sia r una retta di equazione cartesiana ax + by + c =. Una coppia (l, m) (, ) è una coppia di parametri direttori di r se e solo se al + bm =. Dimostrazione. Poniamo u := ai + bj e v :=li + mj. Siccome u r si ha che v // r u v u v = al + bm =..6. Lemma. (condizioni di perpendicolarità fra due rette) Sia r una retta di equazione cartesiana a x + b y + c = e parametri direttori e (l, m ). Sia s una retta di equazione cartesiana a x + b y + c = e parametri direttori e (l, m )..6.. Le due rette r e s sono perpendicolari se e solo se a a + b b =..6.. Le due rette r e s sono perpendicolari se e solo se l l + m m =. Dimostrazione. Siano u r := a i + b j, v r := l i + m j, u s := a i + b j e v s := l i + m j. Tenendo conto che u r r, u s s, v r // r e v s // s si ha subito che: ) r s u r u s u r u s = a a + b b = ; ) r s v r v s v r v s = l l + m m =. Come immediata conseguenza del Lemma.6 e del Corollario.5 si ha subito il seguente:.7. Teorema. (retta per un punto perpendicolare ad un altra retta) Sia r una retta di equazione cartesiana ax + by + c = e parametri direttori (l, m). La retta s perpendicolare a r e passante per un punto P (x, y ) ha equazione cartesiana l(x x ) + m(y y ) = ovvero b(x x ) a(y y ) = equazioni parametriche = at + x = bt + y ovvero = mt + x = lt + y

8 .8. Teorema. (distanza fra due punti) Se P (x, y ) e P (x, y ) sono due punti del piano, allora la loro distanza è data d(p,p ) = ( x x) + (y y) Dimostrazione. Si ha che la distanza tra P e P è uguale alla lunghezza del vettore libero [P P ]. Da [P P ] = (x x )i + (y y )j e tenendo conto di.4.7 si ha che d(p,p ) = [P P ] = ( x x) + (y y).9. Teorema. (distanza fra una retta e un punto) La distanza tra un punto P (x, y ) e una retta r di equazione cartesiana ax + by + c = è data da d(p, r) = ax + by Dimostrazione. Sia A un punto (qualsiasi) della retta r. Si vede subito che la distanza tra P e r è uguale alla lunghezza della proiezione del vettore libero [AP ] lungo la direzione perpendicolare a r. Se utilizziamo il vettore libero non nullo u := ai + bj perpendicolare alla retta r per.4.5 si ha che d(p, r) = [AP ] u = u [AP ] / u. Dall identità ax A + by A + c = si ha che c = ax A by A. Per cui u [AP ] = a(x x A ) + b(y y A ) = ax + by + ( ax A by A ) = ax + by + c a + b + c Quindi, d(p, r) = [AP ] u = u [AP ] / u = ax + by + c / a + b... Corollario. (distanza fra due rette parallele) Se r e s sono due rette parallele di equazioni rispettivamente ax + by + c = e αax + αby + d = (dove ovviamente α ), allora la distanza tra r e s è data da d(r s) = c (d / α) a + b Dimostrazione. Si vede subito che la distanza tra r e s è uguale alla distanza tra r e un (qualsiasi) punto P (x, y ) della retta s. Per cui, d(r s) = d(p, r) = ax + by + c / αax + αby + d = si ha che ax + by = d/α. Quindi, d(r s) = c (d/α) / a + b. Dall identità a + b.

9 .. Osservazione. Due rette r e s non parallele dividono il piano in 4 angoli convessi. r 4 A s Si noti che: - angolo() = angolo() e angolo() = angolo(4) in quanto opposti al vertice A; - angolo() + angolo() = angolo piatto = angolo() + angolo(4); Quindi, cos() = cos(), cos() = cos(4), cos() = cos() e cos() = cos(4)... Definizione. Siano r e s due rette del piano. Se r e s non sono parallele, allora diremo angolo tra le rette r e s ciascuno dei quattro angoli in cui il piano è diviso da r e s. Se r e s sono parallele, allora stabiliamo che gli angoli tra r e s siano l angolo nullo e l angolo piatto. Un angolo tra due rette r e s lo indicheremo con il simbolo (r, s)... Osservazione. Se v r = l i+m j e v s = l i+m j sono due vettori paralleli rispettivamente a due rette r e s, allora l angolo tra i vettori v r e v s è uguale ad uno degli angoli formati da r e s. Tenendo conto dell Osservazione. e di.4.8 si ha il seguente:.4. Teorema. Se r e s sono due rette di parametri direttori rispettivamente (l, m ) e (l, m ) si ha l cos(r, s) = ± cos(v, v ) = ± l + mm l + m l + m.5. Osservazione. Se u r = a i+b j e u s = a i+b j sono due vettori perpendicolari rispettivamente a due rette r e s, allora l angolo tra i vettori u r e u s è uguale ad uno degli angoli formati da r e s. Tenendo conto dell Osservazione.5 e di.4.8 si ha il seguente:.6. Teorema. Se r e s sono due rette di equazioni a x + b y + c = e a x + b y + c = allora a cos(r, s) = ± cos(u, u ) = ± a + bb a + b a + b