Introduzione alla Ricerca Operativa

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1 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 1/31 Introduzione alla Ricerca Operativa Mariantonia Cotronei Facoltà di Ingegneria Università degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria

2 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 2/31 Natura della Ricerca Operativa La Ricerca Operativa può essere descritta come un approccio scientifico alla presa di decisioni nell ambito di operazioni svolte all interno di sistemi organizzativi. Ricerca Operativa = Ricerca su operazioni Si applica a problemi concernenti il come condurre e coordinare operazioni ed attività all interno di un organizzazione (per esempio, all interno di un industria, ma il campo di applicazione è molto esteso)

3 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 3/31 All interno di un organizzazione le principali problematiche sono: suddivisione del lavoro tra i vari componenti in modo che le attività e gli obiettivi di ciascuno si amalgamino con quelli dell intera organizzazione; assegnazione delle risorse disponibili alle varie attività nel modo complessivamente più efficace.

4 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 4/31 Origini della Ricerca Operativa Seconda guerra mondiale: il comando militare britannico e poi quello americano chiamarono un grande numero di scienziati per applicare un criterio scientifico alla trattazione di problemi strategici, tattici e di assegnazione delle scarse risorse alle operazioni militari. Successivamente la R.O. si inserì nell industria, negli affari e nella pubblica amministrazione. Molti scienziati hanno dato contributi alla teoria della ricerca operativa, ricavando metodi e sviluppando tecniche. L avvento dei calcolatori ha dato notevole impulso a questa disciplina.

5 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 5/31 Metodo matematico della R.O. Fasi della R.O. Formulazione del problema (determinazione degli obiettivi, dei vincoli, ecc.) e raccolta dei dati Costruzione del modello matematico (rappresentazione del problema in termini di relazioni matematiche, variabili, parametri, ecc.) Ricerca di una soluzione Verifica del modello (model validation) ed applicazione della soluzione nel contesto reale

6 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 6/31 Esempi di applicazione Progettazione del layout di una fabbrica per un efficiente flusso di materiali e prodotti Realizzazione di una rete di telecomunicazioni a basso costo garantendo QoS (Quality of Service) o QoE (Quality of Experience) se si verificano intasamenti o danneggiamenti nelle connessioni Determinazione delle linee degli autobus in città utilizzando il minor numero di autobus possibile Organizzazione di sistemi di trasporto e distribuzione (vehicle routing) Miscelazione di prodotti grezzi in una raffineria...

7 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 7/31 Esempio: studio di RO effettuato per il Dipart. di Polizia di San Francisco Risultato: sviluppo di un sistema computerizzato per ottimizzare lo scheduling e l utilizzo degli agenti di polizia. Il nuovo sistema ha permesso: un risparmio annuo di 11 milioni di $; un incremento di 3 milioni di $ degli introiti derivanti da contravvenzioni stradali; un miglioramento del 20% dei tempi di risposta.

8 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 8/31 In questo caso, nella stima degli obiettivi appropriati, ne erano stati identificati tre fondamentali: 1. mantenere un elevato livello della sicurezza dei cittadini 2. mantenere un elevato livello del morale degli agenti 3. minimizzare il costo operativo

9 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 9/31 Esempio: studio di RO effettuato per società di servizi finanziari in USA Obiettivo: revisione dei costi per i servizi finanziari offerti (dal servizio completo al servizio a basso costo), al fine di competere con le società di brokeraggio on line. La raccolta ed il trattamento dei dati hanno giocato un ruolo chiave. Per analizzare il comportamento individuale del cliente in risposta alle differenti opzioni, è stato creato un database con i dati di 5 milioni di clienti, 10 milioni di account, 100 milioni di informazioni sulle transazioni, 250 milioni di informazioni sui libri contabili, per un totale di 200 Gb di dati. Risultato: incremento annuo di 80 miliardi di $.

10 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 10/31 Esempio: studio di RO effettuato per la Continental Airlines Risultato: sviluppo di un modello matematico per l attribuzione del personale ai voli non appena si presenti un emergenza Poiché le compagnie aeree gestiscono migliaia di equipaggi e di voli giornalieri, il modello è abbastanza ampio da comprendere tutti i possibili abbinamenti tra gli equipaggi ed i veivoli, quindi presenta milioni di variabili decisionali e molte migliaia di vincoli Tale modello fu utilizzato per la prima volta nel 2001 ed applicato in quell anno 4 volte per far fronte a grandi variazioni dello scheduling previsto (due tempeste di neve, un alluvione e l attacco dell 11 settembre). Ha consentito un risparmio di 40 milioni di $.

11 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 11/31 Ottimizzazione Dato un insieme di possibili decisioni alternative, il problema (reale) consiste nel selezionarne una in particolare, di solito la migliore secondo uno specificato criterio. Avendo tradotto il problema reale in un modello matematico significativo, viene determinata la soluzione ottima fra quelle ammissibili OTTIMIZZAZIONE

12 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 12/31 Un problema di ottimizzazione viene definito specificando: un insieme E R n (insieme ambiente) i cui elementi vengono detti soluzioni, decisioni oppure alternative; un sottoinsieme F E (insieme ammissibile) i cui elementi costituiscono le soluzioni ammissibili (o decisioni ammissibili o alternative ammissibili). Gli elementi che appartengono a E \ F sono di contro detti non ammissibili. La relazione x F viene detta vincolo; una funzione f : E R (funzione obiettivo) e un indicatore di min (minimo) o max (massimo) a seconda se si vuole trovare un elemento ammissibile che minimizzi o massimizzi la funzione.

13 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 13/31 Ottimo e valore ottimo DEFINIZIONE. Ogni elemento x F tale che f(x) f(y), y F, se il problema è di tipo min, oppure f(x) f(y), y F, se il problema è di tipo max, prende il nome di ottimo. Il valore Z = f(x) della funzione nell ottimo prende il nome di valore ottimo.

14 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 14/31 Osservazione. Un problema di minimo può essere ricondotto ad un problema di massimo (e viceversa) sostituendo f con f. La convenzione è quella di formulare ogni problema come problema di minimo.

15 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 15/31 Se l ottimo non esiste, il valore ottimo viene comunque definito come: Z = inf{f(x) : x F } Se la funzione obiettivo non è limitata inferiormente in F il problema è detto illimitato; scriveremo in questo caso Z =. Se F =, allora il problema è detto non ammissibile o impossibile, e si pone per convenzione Z = +.

16 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 16/31 Programmazione matematica Notazione per un problema di ottimizzazione: Z = minf(x) x F Osservazione: si dà per scontato che il min esiste e che si tratta di un operazione di inf in caso contrario. Il problema precedente prende anche il nome di problema di programmazione matematica.

17 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 17/31 Scopo di un problema di ottimizzazione: determinare almeno un ottimo, se ne esistono, oppure stabilire che non esistono ottimi determinare il valore ottimo Nella maggior parte dei casi, tale scopo viene raggiunto per via algoritmica. L Ottimizzazione, come disciplina, consiste essenzialmente nel progetto di algoritmi efficienti basati sulla caratterizzazione matematica di F e f.

18 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 18/31 Determinazione per via grafica In pochissimi casi, si può determinare l ottimo per via grafica. In tal caso, risulta utile raffigurare le cosiddette linee di livello. Sono i luoghi del piano che soddisfano le equazioni f(x) = K per vari valori della costante K.

19 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 19/31 In generale, quando esistono ottimi, il valore ottimo Z ha le proprietà: {x : f(x) = Z} F (cioè è ammissibile) per ogni K < Z si ha {x : f(x) = K} F =

20 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 20/31 Esempio 1 F = [0, 1] 2 R 2, f(x) = x 1 + x 2 Il problema da risolvere è: Z = min x 1 + x 2 0 x x 2 1 Le linee di livello sono le rette parallele x 1 + x 2 = K.

21 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 21/31 Allora l ottimo si può determinare graficamente trovando l ultima linea di livello con intersezione non vuota con l insieme ammissibile F. L ottimo è dato dal punto (0, 0). Il valore ottimo è Z = 0. Si osservi che l ottimo coincide con uno dei vertici del quadrato. Tale risultato è legato alla linearità della funzione obiettivo. Un problema di questo tipo prende il nome di problema di programmazione lineare (i vincoli sono relazioni lineari e la funzione obiettivo è lineare).

22 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 22/31 Esempio 2 F = {0, 1} 2 R 2, f(x) = x 1 + x 2 In questo caso l insieme ammissibile è finito (comprende solo i quattro vertici del quadrato). La soluzione può essere determinata valutando la funzione f sui vertici. Risulta ancora che l ottimo è il vertice (0,0). Osservazione. In generale è impensabile utilizzare questo tipo di approccio per tutti gli insiemi ammissibili finiti (per esempio, se l insieme fosse {0, 1} 100 si dovrebbero eseguire valutazioni!). Un problema di questo tipo prende il nome di problema di programmazione lineare intera (l ottimo è da ricercarsi fra valori interi).

23 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 23/31 Esempio 3 F = [0, 1] 2 R 2, f(x) = ( x 1 1 2) 2 + ( x 2 1 ) 2 2 In questo caso le linee di livello sono le circonferenze concentriche di centro ( 1 2, 1 2 ) La funzione obiettivo è non negativa e vale zero nel centro. Il centro è ammissibile, quindi è ottimo. Si osservi che l ottimo è stato trovato internamente al F. La perdita di linearità della funzione obiettivo ha causato la perdita di ottenere l ottimo su un vertice (esempio di problema di programmazione non lineare).

24 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 24/31 Esempio 4 F = [0, 1] 2 {x : 2x 1 + 2x 2 1}, f(x) = x 1 + x 2 Z = min x 1 + x 2 2x 1 + 2x x x 2 1

25 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 25/31 L insieme ammissibile è stato ristretto tagliando il vertice (0,0) che era ottimo nell esempio 1. In questo caso l "ultima" linea di livello interseca F su tutto un segmento e quindi gli ottimi sono tutti i punti di tale segmento, rappresentato dall insieme F = [0, 1] 2 {x : 2x 1 + 2x 2 = 1}.

26 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 26/31 Esempio 5 F = {x : 2x 1 + x 2 = 1}, f(x) = x 1 + x 2 L insieme ammissibile è illimitato e la funzione obiettivo vi può assumere valori negativi arbitrariamente grandi. Il problema è quindi illimitato (Z = ).

27 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 27/31 Esempio 6 F = (0, 1) 2 R 2, f(x) = x 1 + x 2 L insieme ammissibile è non chiuso. Non esistono ottimi e si ha che il valore ottimo è dato da: Z = 0

28 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 28/31 Esempio 7 F = {x : x 1 0, 0 x 2 1, x 1 + x 2 4, x 1 + 3x 2 7} f(x) = x 1 + x 2 Non esistono ottimi neanche in questo caso poiché F = e il problema è dunque non ammissibile (Z = + ).

29 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 29/31 Risulta utile, a volte, poter disporre di definizioni più deboli di ottimalità, quale ad esempio: DEFINIZIONE. Sia x F. Se esiste ε > 0 tale che f(x) f(y), per ogni y F con x y ε, allora x prende il nome di ottimo locale. A volte, per non creare confusione, l ottimo definito più in generale è detto ottimo globale. Naturalmente un ottimo globale è anche un ottimo locale, ma in generale non è vero il viceversa. L equivalenza si ha solo F e f hanno proprietà di convessità.

30 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 30/31 Programmazione convessa DEFINIZIONE. Un insieme X R n si dice convesso se x 1,x 2 X e λ [0, 1] si ha λx 1 + (1 λ)x 2 X. Risulta che un insieme è convesso se il segmento che unisce una coppia arbitraria di punti nell insieme è tutto contenuto nell insieme. PROPOSIZIONE. L intersezione di due insiemi convessi è ancora un insieme convesso. DEFINIZIONE. Sia X convesso. Una funzione f : X R si dice convessa se x 1,x 2 X e λ [0, 1] si ha. f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ).

31 Introduzione alla Ricerca Operativa p. 31/31 Un problema di programmazione convessa è un problema di programmazione matematica in cui l insieme ammissibile F è un insieme convesso e la funzione obiettivo f è una funzione convessa. TEOREMA. In un problema di programmazione convessa ogni ottimo locale è anche ottimo globale.