Il teorema di Kuhn-Tucker e applicazioni

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1 Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Tesi di Laurea triennale in Matematica Il teorema di Kuhn-Tucker e applicazioni Relatrice Flavia Lanzara Candidata Arianna Gatta ANNO ACCADEMICO 2007/2008

2 Introduzione In questa tesi è centrale il ruolo delle condizioni di ottimalità di Kuhn- Tucker, che caratterizzano i punti di ottimo di funzioni, in generale non lineari, in spazi di n dimensioni, soggette a vincoli di uguaglianza e disuguaglianza. Il professor Harold W. Kuhn e il suo collega di Princeton, Albert W. Tucker, con il loro teorema diedero un grande contributo alla matematica sia teorica che applicata, trovando applicazione in numerosi campi di ricerca (economico, tecnologico, scientico...). Studieremo i comportamenti di un individuo che desidera investire una certa somma di denaro in titoli rischiosi e non rischiosi solamente su mercati a termine. Vedremo come il teorema di Kuhn-Tucker applicato ad un particolare problema di ottimizzazione convessa possa aiutare l'investitore a trovare le condizioni anchè il suo portafoglio sia ottimo, cioè un portafoglio che sia in grado di massimizzare l'utilità attesa della ricchezza investita, e a costruire una copertura perfetta su un mercato a termine. Nel primo capitolo, dopo aver richiamato alcune denizioni di analisi, viene introdotto un problema di ottimizzazione convessa in cui si vuole massimizzare una funzione f, che si suppone concava e dierenziabile su un insieme aperto convesso C, sotto dei vincoli di uguaglianza e disuguaglianza. I vincoli di uguaglianza sono funzioni ani g i per i E, mentre quelli di disuguaglianza sono funzioni convesse g i per i I e dierenziabili su C (E ed I sono due insiemi niti di indici). 2

3 INDICE 3 Sotto queste ipotesi enunciamo il teorema di Kuhn-Tucker, che assegna le condizioni necessarie e sucienti anchè un elemento x C sia soluzione del problema. Come esempio, sceglieremo per vincoli i limiti inferiori e superiori di certe variabili, così da poter facilmente trovare la soluzione vericante le condizioni del teorema. Al termine del capitolo si accenna anche al caso di problemi di ottimizzazione non convessa e di conseguenza, nel teorema di Kuhn-Tucker, si fa riferimento a nuove condizioni, le condizioni di Mangasarian-Fromowitz. Nel secondo capitolo vengono analizzati i comportamenti dell'investitore, caratterizzati dal principio di razionalità (vedi pag. 17), e vengono sviluppate due teorie sulle quali si basano le scelte future dell'investitore: la teoria dell'utilità e il criterio media-varianza. La teoria dell'utilità, secondo la quale l'individuo eettua la scelta preferendo l'alternativa con utilità maggiore, ci permette di dire quando l'investitore è avverso al rischio, cioè quando non è disposto a subire grosse perdite in prospettiva di alti guadagni, e di introdurre alcune quantità, il premio di rischio e l'equivalente certo, essenziali per il criterio media-varianza. Come si intuisce dal nome, il criterio media-varianza utilizza due operatori, il valore atteso e la varianza, indicatori, rispettivamente, della speranza derivante dalla scelta eettuata dall'individuo e della rischiosità di tale scelta. In questo contesto considereremo soltanto mercati a termine, cioè mercati in cui ci si impegna a comprare (o vendere) un bene in una data futura prestabilita, rappresentati dalla terna (E, p, a), dove E è l'insieme degli stati di natura, p è il vettore dei prezzi delle azioni e a = (a(e)) e E è il vettore dei pagamenti delle azioni per ciascuno stato e. Dunque, deniamo i mercati completi e l'opportunità di arbitraggio, cioè la possibilità di un guadagno sicuro senza alcun rischio, e analizziamo due applicazioni, la gestione e la copertura di un portafoglio nanziario. In entrambe le applicazioni utilizzeremo il teorema di Kuhn-Tucker per massimizzare una specica funzione caratterizzata da certe condizioni, ad esempio, sul portafoglio (vendita allo scoperto) o sul livello di produzione.

4 INDICE 4 Nella prima applicazione massimizziamo l'utilità attesa della ricchezza investita in un portafoglio x sotto i vincoli m i x i, i I e x i M i, i I + e tramite il teorema di Kuhn-Tucker troviamo le condizioni per un portafoglio ottimo per l'investitore senza opportunità di arbitraggio, facendo, inne, anche i seguenti esempi: attraverso l'approssimazione al secondo ordine con la formula di Taylor otteniamo le condizioni di ottimalità approssimate e data una funzione d'utilità quadratica scriviamo il portafoglio ottimale. Nella seconda applicazione troviamo le condizioni di ottimalità anchè un portafoglio garantisca all'investitore una copertura, tenendo conto anche del suo bisogno di speculazione. Con il termine copertura si intende un portafoglio costruito in modo tale che a ne periodo si possano tranquillamente rispettare tutti gli accordi presi evitando, così, ogni rischio di insolvenza.

5 Capitolo 1 Richiami di ottimizzazione Inizieremo questo studio dando alcune denizioni e alcuni teoremi che utilizzeremo in seguito per introdurre il teorema di Kuhn-Tucker, strumento essenziale in questa tesi. 1.1 Preliminari Denizione 1.1 (Insieme convesso). Sia C un insieme di R N, C. C si dice convesso se x, y C si ha: λx + (1 λ)y C, λ [0, 1] Denizione 1.2 (Funzione concava, funzione convessa). Una funzione f, denita su un insieme convesso C di R N e a valori in R è concava se: f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) λ (0, 1), x, y C f è strettamente concava se la disuguaglianza è vericata strettamente. Una funzione f si dice convessa se f è concava. Si verica, inoltre, che una funzione è concava se e solo se f( λ i x i ) λ i f(x i ) λ i 0 tali che λ i = 1, x i C. 1