Matematica Computazionale(6cfu) Ottimizzazione(8cfu) (a.a , lez.3)

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1 Docente: Marco Gaviano Corso di Laurea in Infomatica Corso di Laurea in Matematica Matematica Computazionale(6cfu) Ottimizzazione(8cfu) (a.a. -4 lez.)

2 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Problema generale della programmazione lineare (PL) Il problema più generale della programmazione lineare consiste nella ricerca dell'ottimo (minimo o massimo) di una funzione lineare di variabili soggette a vincoli lineari (equazioni o disequazioni) chiamate vincoli. La funzione da ottimizzare si chiama funzione obbiettivo.

3 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Un problema di LP ha dunque la seguente formulazione Problema PL (forma canonica) N M M i d a M i d a a soggetta c z minimizza (massimizza) n i i n i i n

4 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. In cui si è usata la notazione M={...m}: insieme degli indici dei vincoli; N={...n}: insieme degli indici delle variabili; M sottoinsieme di M; N sottoinsieme di N; A= (a i ) im N: matrice m n di numeri reali; a : la -ma colonna di A; a i : l'i-ma riga di A [ n ] T vettore colonna con n componenti; c[ n ] vettore riga con n componenti; d[ m ] T vettore colonna con m componenti; 4

5 5 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. M M i d a M i d a a soggetta c z minimizza (massimizza) i i i i In forma compatta il problema si scrive Problema PL (forma canonica)

6 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Nel risolvere un problema di PL si considera in generale la formulazione standard. Questa la si ottiene sfruttando le seguenti proprietà minimo di f() = - massimo di -f() Ciò permette di considerare solo problemi di minimo. Inoltre le disequazioni possono supporsi tutte dello stesso tipo (). Infatti se ciò non si verificasse è sufficiente moltiplicare per - le disequazioni col segno (). 6

7 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Le diseguaglianze a i d i e a i d i possono essere sostituite dalle relazioni a a i i s i s i d d i i s i s i s Le variabili i sono chiamate variabili di scarto (slack variable). Ovviamente esse non devono influenzare la funzione da ottimizzare. Pertanto ad esse si assegna nella z=c un coefficiente nullo. 7

8 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Problema PL(forma standard) minimizza z c A d (Si farà riferimento a questa formulazione) 8

9 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Definizioni programma (o soluzione ammissibile feasible solution): una n-pla di valori che soddisfa tutti i vincoli compresi quelli di non-negatività. soluzione non ammissibile: una n-pla di valori che soddisfa tutti i vincoli eccetto quelli di non negatività. programma ottimale: un programma finito (tutte le variabili sono finite) che minimizza la funzione obiettivo z. 9

10 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. base B: ogni insieme di m vettori colonna a linearmente indipendenti. variabili di base: m variabili associate con le colonne di una base B costituiscono un sottovettore B di. variabili secondarie: sottovettore R complementare a B su ([ B R ] riordinando le variabili). Il sistema di equazioni A = d è supposto composto di equazioni linearmente indipendenti (m<n rango di A uguale ad m) ed avente più di una soluzione.

11 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. La matrice A può considerarsi formata da matrici B ed R con R le colonne di A non contenute in B (A [ BR] riordinando le variabili). Il sistema dei vincoli A=d può scriversi come [ B R] [ B R ] T =d. Se B è una base e le n-m variabili secondarie (relative a R) sono poste uguali a zero si ottiene un sistema di m equazioni in m incognite B B = d

12 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. che possiede una unica soluzione B = B - d. Il vettore [ B R ] con B = B - d e R = è chiamato soluzione di base associata a B. Una soluzione di è chiamata soluzione degenere se qualche sua componente è nulla.

13 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Esempio: considera il problema PL ma z equivalente a min z' S 4 S 4

14 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Le soluzioni di base sono riportate nella seguente tabella 4 z() feasible feasible -5 infeasible 4-4 infeasible 5 8 feasible optimal 4

15 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Il teorema fondamentale della PL Dato un problema PL in forma standard (i) se esiste almeno un programma finito esso ha almeno un programma di base; (ii) se esso ha almeno un programma ottimale finito esso ha almeno un programma ottimale di base. Dim.(vedi appendice) 5

16 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Grazie a questo teorema il problema PL è risolto da un punto di vista teorico il numero di basi e corrispondentemente il numero di programmi di base è finito ed è dato da n! m!( n m)! Le valutazioni di z nei programmi di base sono sufficienti ad individuare il programma di base ottimale 6

17 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Ciò comunque porta ad una notevole mole di calcoli anche per problemi di dimensione modesta. Per un problema di dieci equazioni in venti incognite il calcolo di tutte le soluzioni di base richiede la soluzione di circa. sistemi di dieci equazioni in dieci incognite. Tale numero cresce molto rapidamente con la dimensione del problema di PL. Per evitare tale mole di calcoli si sono create nuove tecniche. 7

18 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Esempio Interpretazione geometrica ma z La figura illustra l'insieme dei punti che soddisfano i vincoli. 8

19 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Esempio 9

20 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Il problema può scriversi in forma standard come segue La soluzione ottimale di base finita e nondegenere è ma z = 8 con = = = 4 4 = 5 = z min z ma

21 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Esempio Interpretazione geometrica ma z In questo caso si ha ridondanza La figura illustra l'insieme dei punti che soddisfano i vincoli

22 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Esempio

23 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Il problema può scriversi in forma standard come segue La soluzione ottimale di base finita e degenere (rispetto al problema standard) è ma z = 8 con = = = 4 = 5 = z min z ma

24 4 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Interpretazione geometrica Esempio La figura illustra l'insieme dei punti che soddisfano i vincoli z ma

25 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Esempio 5

26 6 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Il problema può scriversi in forma standard come segue Qui si hanno due soluzioni ottimali di base ) ma z = = = = 4 4 = 5 =. ) ma z = =/ =7/ 4 = 4/ = 5 =. Entrambe le soluzioni sono nondegeneri. min z ma z

27 7 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Interpretazione geometrica Esempio 4 La figura illustra l'insieme dei punti che soddisfano i vincoli ma z

28 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Esempio 4 8

29 9 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Il problema può scriversi in forma standard come segue Il problema non ammette soluzioni ottimali finite. z min 4 4 z ma

30 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Interpretazione geometrica Esempio 5 La figura illustra l'insieme dei punti che soddisfano i vincoli ma z

31 Esempio 5 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. - + >= X + <= >= X Il problema non ha alcuna soluzione ammissibile.

32 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n. Il problema può scriversi in forma standard come segue Il problema non ha alcuna soluzioni z min ma z

33 Docente: Marco Gaviano Corso di Laurea in Infomatica Corso di Laurea in Matematica Matematica Computazionale(6cfu) Ottimizzazione(8cfu) (a.a. -4 lez.4)

34 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Il metodo del simplesso Il metodo del simplesso proposto da G.B. Dantzig nel 95 per la risoluzione di un problema di PL è una procedura iterativa che genera una successione di programmi di base in cui la funzione obbiettivo decresce. 4

35 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 I principi del metodo del simplesso Si consideri un problema PL in forma standard minimizza z in cui A = [a a... a n ] è una matrice mn m<n. Si supponga che B sia una base del sistema e che l'equazione A=d possa essere riscritta come segue A d c 5

36 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 oppure B B +R R =d da cui si ottiene il sistema esplicito in termini di variabili di base B = B - d B - R R. ovvero 4. B = B - d Y R con Y B [B R] R B - R = Y = [y y...y n-m ] = (y i ). d 6

37 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Nel seguito mediante N B e N R = N-N B si indicheranno i sottoinsiemi di N corrispondenti agli indici delle variabili di base e secondarie rispettivamente. La corrispondente decomposizione della funzione obiettivo è B B R B B R R 4. z c [c c ] c c R Oppure 4. z = c B B - d -(c B Y -c R ) R. 7

38 8 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Per una soluzione di base relativa a B R = 4. e la 4. e 4. possono essere riscritte come o in modo equivalente 4.4 R R B R B B c Y c z z Y ) ( d B c z d B B B ) ( N N B N B B c y c z z y R R R

39 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Indicando 4.5 z B c y N R Si ha 4.6 z z ( z c ) N R 9

40 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Il problema iniziale viene scritto in funzione di una soluzione di base nota min z A d c min z B B z N N R R (z y c ) 4

41 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Teorema Dato un programma ammissibile di base associato a una base B se 4.7 z k -c k > e y k per qualche kn R non esiste alcun programma ottimale. Dimostrazione. Da 4.4 e 4.6 segue che se k allora z -. 4

42 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Teorema Dato un programma di base ammissibile associato ad una base B se 4.8 per kn R z k -c k > e y sk > per almeno un sn B allora un nuovo programma di base ammissibile può essere ottenuto dando a z un nuovo valore z ' z. 4

43 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Dimostrazione Se si dà ad una variabile secondaria k il valore 4.9 k y h hk min ysk y s sk s N B k e si tengono uguali a zero le altre variabili secondarie allora i nuovi valori delle variabili di base dedotti da 4.4 diventano 4. B s s yskk s N k N R 4

44 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 in cui per la 4.9 si ha h Le variabili {s} sh e k formano una nuova soluzione di base ammissibile per la quale dalla 4.6 si ha z k z (z c ) z k k 44

45 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Dato un programma di base ammissibile ed una variabile secondaria k tale che z k -c k > e y sk > per almeno un sn il teorema fornisce il seguente Criterio di uscita h variabile principale che diventa secondaria tale che y h hk min ysk y s sk s N B 45

46 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Teorema Dato un programma di base ammissibile associato con un base B una condizione necessaria e sufficiente perché esso sia ottimale è che z -c per ogni N R. La dimostrazione segue da

47 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Corollario Una condizione necessaria e sufficiente affinché un programma di base ottimale sia unico è che z -c < per ogni N R. Conseguenza Dato un programma di base B e calcolati gli elementi di Y e i valori di z -c i teoremi e permettono di stabilire: 47

48 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 se è necessario calcolare un nuovo programma di base; se è necessario fermare il calcolo o perché un programma ottimale è stato trovato o perché non esiste alcun programma ottimale finito. Il calcolo di una nuovo programma di base è soltanto il passaggio da una vecchia base B ad una nuova base B' imponendo che una variabile secondaria entri nella base e nello stesso tempo una variabile di base venga eliminata dalla base. 48

49 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Cambio della base k sia la variabile che entra nella base e h determinata dal criterio di uscita h s B s N y y hk min ysk sk sia la variabile che lascia la base. Allora 4.9 e 4. danno le formule di trasformazione h ' B 4. k S S ysk k s N k h y hk. 49

50 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Il nuovo valore della funzione obiettivo z è dato da 4. z z ( z c ) k k k La nuova base B' differisce da B per la sostituzione della colonna a h con a k. Il passaggio da B - a (B') - può essere ottenuto mediante una trasformazione lineare(vedi Appendice). Se p è l'indice di colonna di a h in B 4. (B') - = J p B - dove J p [e e...e p- v p e p...e m ] con 5

51 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 posizione i-ma e i [...] T vettore colonna 4.4 v p [ y y k pk - y y k pk... y pk y pk y pk - y pk y pk... y y mk pk ] Invece di usare le formule di trasformazione 4. si può calcolare il nuovo programma con l'aiuto di (B') - 45 B (B ) d 5

52 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Esempio Si abbia il problema PL min 6 z Ponendo e 4 uguali a zero una soluzione di base ammissibile è data da = = =8 4 = 5 =4. Si ha

53 5 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Si ha Calcoliamo B B ] [ R B Y 4 y y

54 54 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 e 4 può entrare nella base allora per il criterio di uscita esce.. h p er 4 min y s4 y s4 s 5) (s 4 min y c y c c z c y c c z B B

55 55 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Essendo l'indice di colonna di a in B uguale a si calcola successivamente / 7/ / J 7 v / 7 / / / 7/ / (B ) / 7 / / d (B ) ˆ B

56 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Selezione della variabile che entra nella base Quando la base viene cambiata la relazione z -c > è generalmente soddisfatta da un sottoinsieme di N R. Quindi è utile scegliere k in modo tale da massimizzare il decremento della z. Poichè questo è uguale a h z ˆ z z ( zk ck ) y si può scegliere k in modo che (criterio di entrata) hk 4.6 z k c k ma N R (z c ). 56

57 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Questa scelta di k non produce la massima variazione della funzione obiettivo z però fornisce un criterio di entrata semplice che funziona bene nelle applicazioni. 57

58 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Convergenza dell algoritmo del Simplesso Il metodo del simplesso garantisce il passaggio da una soluzione di base ad una nuova soluzione di base ' con z ' z (ved. teorema ). Vale il segno < nel caso di soluzioni di base non degeneri ( B > ). Altrimenti potrebbe valere l uguaglianza. Cioè la funzione obbiettivo non è decrementata. Nel primo caso siamo sicuri della convergenza al minimo poiché il numero delle soluzioni di base è finito. Nel secondo caso può avvenire che una variabile di base esca dalla base e poi vi rientri in una iterazione successiva lasciando invariato il valore di z. 58

59 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. -4 Lezione n.4 Si parla allora di ciclo infinito. Si possono costruire esempi per cui tale situazione si verifica Sono state proposte varie tecniche che evitano questo fenomeno; per esempio il metodo leicografico del simplesso. In pratica su problemi reali anche in presenza di soluzioni di base degenere fatto abbastanza comune il ciclo infinito non si è mai verificato. Pertanto nelle implementazioni del simplesso non si introducono le nuove procedure che renderebbero l algoritmo meno efficiente. 59