Matematica Computazionale(6cfu) Ottimizzazione(8cfu) (a.a , lez.7)

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1 Docente: Marco Gaviano Corso di Larea in Infomatica Corso di Larea in Matematica Matematica Comptazionale(6cf) Ottimizzazione(8cf) (a.a. -4, lez.7)

2 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 Il metodo del simplesso rivisto Un programma di base ammissibile e' conoscito Il problema PL iniziale è scritto come sistema (m+)(n+) amentando i vincoli con la fnzione obiettivo. Si ha minimizza A d, z c minimizza z - c A d z

3 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 La matrice agginta  del sistema dei vincoli estesi diventa 7. La base agginta corrispondente ad na data base del problema PL, ha la forma {}. N N j, ] [a ] a a a a [ A c A j n {}. N N j ], [a c j

4 4 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 per l'inversa della base si ha 7. Se si pone allora mediante 7., 7., 4. e 4.5 si ottiene. c - - d d z n n n y y y c z c z c z [A,d]

5 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 Qindi nel metodo rivisto del gradiente le qantità z j -c j sono ottente moltiplicando la prima riga di per â j, ed il valore y k della variabile k che entra nella base è ottento moltiplicando le ltime m rige di per â k. La fnzione obiettivo z è considerata come na variabile speciale che non è soggetta al vincolo di non negatività e non lascerà mai la base (vale a dire il criterio di scita non si applica a z) 5

6 6 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 Esempio(vedi esempio lezione 5, a iterazione a fase) E si prenda come base.,,,,, z minimizza / 4 / / / con, / 6 / - 5

7 7 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 Il problema agginto è Il calcolo di pò essere fatto con l'aito di z - z minimizza / 4 / / / 7 / 5/

8 8 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 Poiché Qindi è la variabile entrante, con z -c =. 4 5 A / 4 / / / 7/ 5/ A

9 La tabella è Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 c y z y y y y 4 y 5 y 6 s /y sk z 6/ 5/ -7/ / - -/ / / - -4/ -/ c y z y y y y 4 y 5 y 6 z -7/ -/ -/ -/ 5/ 5/ / -7/ program / / -/ ottimale 65/ / / -/ 9

10 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 La base di partenza e' artificiale Per semplicità si assme di sare n insieme completo di variabili artificiali,,, m. Con a i si indica la riga i-ma di A. Il sistema agginto dei vincoli inclderà sia la fnzione obiettivo sia la fnzione delle variabili artificiali; qindi esso consisterà di (m+)(n+m+) variabili,, n,,, m, z e

11 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 z m m c a a m a d d d m Si pò facilmente costrire na base gale alla matrice identità di ordine m+ aggingendo la somma delle ltime m eqazioni alla seconda eqazione

12 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 Si ha il segente problema di PL minimizza z z c (PL) ξ a a γ d d d con m a m d m 7. d m i m i a i d i ( j m i a j ij [ ], j,, n) j N

13 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 LP Al problema (m+)(n+m+) corrisponde la matrice agginta 7.4 A I c A c A m Le variabili z e saranno sempre mantente nella base, pertanto le prime de colonne della base agginta sono le prime de colonne di  c

14 4 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 Per la formla di inversione di matrici partizionate abbiamo Ponendo c d d d

15 5 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 mediante 7., 7.4, 4. e 4.5 si ottiene n n n n n ξ z d y y y γ ξ γ ξ γ ξ γ c z c z c z c A

16 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 Drante la fase -Calcola j - j, jn R, moltiplicando la seconda riga di per le colonne secondaria di Â; - Determina k mediante il criterio di entrata - -Calcola y k moltiplicando colonna di  k k ma ( j R j jn - ) per la corrispondente 6

17 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 - applica il criterio di scita per ttte le variabili di base eccetto z e ; -esegi il cambio di variabili come precedetemente. Drante la fase -Calcola z j -c j, jn R, moltiplicando la prima riga di le colonne secondaria di Â; - determina k mediante il criterio di entrata - per z k c k ma jn R ( z j c k ) 7

18 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 -calcola y k moltiplicando - per la corrispondente colonna di Â; -applica il criterio di scita per ttte le variabili di base ad eccezione di z e ; - esegi il cambio di variabili come precedentemente. Drante la prima fase non è necessario esegire le operazioni con la prima riga di, drante la seconda fase - con la seconda riga di -. 8

19 9 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 Esempio Il problema agginto è,,,, 4 5 (/4) z minimizza ,,,, 4 5 ξ (/4) z - z, minimizza PL

20 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 o in modo eqivalente.,,,, ξ (/4) z - z, minimizza

21 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 La tabella è: fase c y z y y y y y 4 y 5 z /4 sk/y sk / c y z y 4 5 sk/y sk z 9/ -5/4 9/4 -/4 5/4 9/ 9/4 / -/4

22 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.7 La tabella è: fase c y z y y y y y 4 y 5 s /y sk z 4-4/ -4/ / 5/9 8/5 -/9 c y z y y y y y 4 5 s /y sk z 7/ -5/4 -/ program 5 8/5 ottimale 7/5

23 Docente: Marco Gaviano Corso di Larea in Infomatica Corso di Larea in Matematica Matematica Comptazionale(6cf) Ottimizzazione(8cf) (a.a. -4, lez.8)

24 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Dalità Definizione di problema dale di n problema PL minimizza jn jn j j a a ij ij, problema PL I j j d d z, qalsiasi i i jn c j i M i M j N j N j i i im im minimizza,, qalsiasi - a - a ij ij problema dale II i i w c c j j im M M - d j N j N i i M M M, N N N ;, vettore riga 4

25 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Il problema II è anch esso n problema PL. Il passaggio dal problema I (primale) al problema II (dale) avviene secondo le segenti regole; ad ogni vincolo di disegaglianza () corrisponde na variabile dale ( i ) soggetta a vincolo di non negatività (); ad ogni vincolo di gaglianza(=) corrisponde na variabile dale ( i ) non soggetta ad alcn vincolo. le matrici dei coefficienti dei vincoli veri nei de problemi sono na la trasposta dell altra. i valori a secondo membro dei vincoli veri di ciascn problema sono gli opposti dei coefficienti della fnzione obbiettivo da minimizzare nell altro problema. 5

26 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Si hanno la segente proprietà: Se si definisce il dale del problema II si ritrova il problema I. Utilizzando la forma standard per il passaggio da n problema Pl al so dale si ha in forma compatta problema PL I minimizza z c problema dale II massimizza w d A d A c qalsiasi 6

27 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Utilizzando la cosiddetta forma canonica di n problema PL si ha problema PL I problema dale II minimizza z c massimizza w d A d A c I vincoli a i d i e i oppre a j c j e j sono chiamati vincoli dali. Inoltre si dice che i è la variabile dale del vincolo di indice j. 7

28 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Risltati teorici slla dalità Lemma. Se e ū costitiscono na coppia di solzioni ammissibili di de problemi dali (solzioni dali) si ha Dim. Per definizione si ha c c d. A d. 8

29 Corollario. Se Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 e ū sono delle solzioni dali per i qali c d. Allora essi sono delle solzioni ottimali per i de problemi. Dim. Infatti se tale che non è ottimale allora esiste na solzione ' c' c Ciò contraddice il lemma. d. 9

30 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Teorema(esistenza). Data na coppia di problemi dali na ed na sola delle tre proposizioni è vera. nessno dei de problemi ha na solzione ammissibile;. n problema non ammette na solzione, l altro ha almeno na solzione ma non ha solzioni ottimali;. I de problemi hanno solzioni ottimali.

31 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Teorema(dalità). Data na coppia di problemi dali na condizione necessaria e sfficiente affinché na solzione (o ū) di no dei de problemi sia ottimale è che esista n ū (o ) dell altro problema tale che c d. La solzione ū è essa stessa na solzione ottimale e la relazione è verificata per ogni coppia di solzioni ottimali.

32 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Teorema(teorema debole degli scarti complementari). Data na coppia di problemi dali na condizione necessaria e sfficiente affinché de solzioni e ū siano ottimali e ché siano verificate le segenti relazioni (A - d) e (c - A).

33 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Teorema(teorema forte degli scarti complementari). Data na coppia di problemi dali aventi entrambi delle solzioni, allora esiste almeno na coppia di programmi ottimali e ū tali che (A - d) e (c - A).

34 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Importanza pratica della dalità Consideriamo na coppia di problemi primale e dale minimizza z c massimizza w d A d A c qalsiasi e sia la solzione di base ottimale del primale. Allora si ha z j -c j che si pò scrivere come c - a j c j. Posto =c -, è n m-vettore riga che soddisfa i vincoli del problema dale è poiché d si ha d c d c 4

35 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Vale a dire ū=c - è il programma ottimale del problema dale: se si risolve il problema primale si risolve anche il so dale. Nel caso che si tilizzi l algoritmo del simplesso rivisto c - lo si pò ricavare dalla prima riga della tabella del simplesso, altrimenti lo si calcola avendo a disposizione -. È vero anche il viceversa ossia la solzione ottimale del problema dale permette di calcolare la solzione del primale. Pertanto poiché in certi sitazioni è più facile risolvere il problema dale, si risolve qesto ottenendo allo stesso tempo la solzione del problema primale 5

36 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Interpretazione economica di n problema PL e del so dale Consideriamo il problema matematico PL minimizza z j n j a ij j d i n j c j i,,m j,,n j 6

37 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Interpretazione Si sppone che n azienda prodca dei beni (prodotti)e che allo stesso tempo tilizzi altri beni (risorse). La trasformazione avviene mediante delle attività che possono operare a vari livelli. A ciascn bene i (i=,,m) si associa na domanda se esso viene prodotto. Si associa na disponibilità se esso è tilizzato per la prodzione. Le attività sono n (j=,,n) ed a ciascna di esse si associa n costo od n profitto. Nel primo caso si cercherà di minimizzare il costo complessivo; nel secondo caso di massimizzare il profitto totale. 7

38 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Posto d i (i=,,m), la domanda del bene i (se d i > indica effettivamente na domanda, se d i < indica na disponibilità del bene i); c j (j=,,n), il costo dell attività j se opera ad n livello nitario (se c j > indica effettivamente n costo, se c j < indica n profitto); a j (j=,,n), vettori colonna, le m componenti a j,,a mj rappresentano le qantità degli m beni prodotti dall attività j. Per a ij > l attività prodce il bene i, altrimenti lo tilizza; j (j=,,n), le incognite, indicano il livello a ci opera 8 l attività j.

39 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 a ij j indica la qantità del bene i prodotta (o tilizzata ) dall attività j qando qesta opera al livello j. n j a ij indica la qantità totale del bene i prodotta j (o tilizzata) da ttte le attività. c j j indica il costo ( o il profitto) associato all attività j qando opera al livello j ; z= c j j indica il costo totale (o profitto) di ttte le attività. La fnzione z è chiamata fnzione economica. Nella formlazione matematica sono messe in evidenza le ipotesi che devono essere necessariamente soddisfatte. 9

40 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 L interpretazione finale del problema primale è Problema primale. Data na domanda (disponibilità) di m beni i ed n costo (profitto) nitario c j per ciascna delle n attività j qale deve essere il livello di fnzionamento di ciascna attività affinché la qantità totale dei beni prodotti (tilizzati) sia maggiore o gale (minore o gale) alla domanda (disponibilità) d i e che il costo (profitto) totale sia minimo (massimo) 4

41 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Consideriamo il problema matematico dale Interpretazione massimizza m i i i a ij c j w j,,n i,,m d i, c j e a ij hanno lo stesso significato del problema primale i (i=,,m), indica il prezzo nitario del bene i. m i d i i 4

42 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Problema dale. Dato n costo nitario c j per ciascna delle m attività j ed na domanda (disponibilità) d i per ciascno degli m beni i, qale deve essere il prezzo nitario di ciascn bene affinché il valore totale dei beni prodotti (tilizzati), a livello, sia inferiore o gale (speriore o gale) al costo (profitto) c j e che il valore totale dei beni prodotti (tilizzati) sia massimo (minimo). Le variabili i sono chiamate prezzi ombra 4

43 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 L interpretazione è sintetizzata nello schema segente Problema primale (livello dell' attività j) (prodzione di j a livello del bene i) (domanda j (livello di j). minimizzare (costo totale) (costo nitario di j) (livello di j) j Problema dale i (prodzione i i. massimizzare w di j al livello del bene i) (costo nitario di j) j (domanda di i) ( i ) di i) 4

44 Esempio: Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 In n azienda sono attivi tre processi prodttivi ( attività ) in ci sono prodotti tre articoli (no per ogni attività) in qantità, e. Ciascn processo tilizza tre tipi di risorse (beni): lavoro ( L ), attrezzatre ( A ) e materie prime ( M ). Il lavoro e misrato in ore, le attrezzatre in ore di tilizzo, le materie prime in kg. La disponibilità di risorse è limitata. Si ha la tabella risorsa tilizzo nell attività tilizzo nell attività tilizzo nell attività vincolo disponibilità L A M

45 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Il significato della prima colonna è: il processo prodttivo per prodrre na qantità nitaria dell articolo tilizza 5 ore lavoro, impegna le attrezzatre per 5 ore e necessita di kg di materie prime. Il significato delle altre colonne è analogo. Il significato della prima riga è: i processi prodttivi, e tilizzano rispettivamente 5, e 4 ore lavoro per prodrre na nità di ciascn articolo. Le ore complessive di ore lavoro non devono sperare 85. Il significato delle altre righe è analogo 45

46 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Si ha inoltre la tabella che indica il costo nitario di ciascna risorsa: risorsa costo nitario L 4 A 4 M Da ci si dedce il costo per la prodzione di na nità di n singolo articolo riportato nella segente tabella in ci è indicato nella terza colonna il prezzo di vendita articolo costo nitario prezzo nitario di vendita

47 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 L azienda vole massimizzare il profitto per ci il problema viene scritto in forma di problema PL. Problema primale ma z Solzione primale: =8.79, =9.7, =; z=

48 Problema dale Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 minimizza w 85 La ci interpretazione è: determinare i prezzi nitari i (i=,,) delle risorse in modo da minimizzare il costo delle risorse mantenendo invariato il profitto Solzione dale: =.5, =, =; w=

49 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Inoltre le variabili,,, e, misrano l incremento del profitto nel problema primale qando si incrementa di na nità la disponibilità delle ore lavoro, delle ore attrezzatre e delle materie prime. Le variabili i sono chiamate prezzi ombra. Ciò si gistifica come sege, Si ha z c c Se si incrementa d passando da d a d e si sppone che ' - ( d d) sia ancora na solzione si ha che l incremento nella fnzione obiettivo calcolata in ' è dato da (z z)- z c c d d d d 49

50 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Esempio (problema Assemblaggio d Ato, lez.6) ma (ore lavoro) (porte disponibili) 5 (domanda n.ato) La ci solzione era =8 ( Vento ), =4 ( Classe ) z=6.64. E 5

51 Matematica Comptazionale, Ottimizzazione, a.a. -4, Lezione, n.8 Il corrispondente problema dale è La ci solzione è min 6.5 =48, =8, =, w=6.64. E = prezzo ombra ora lavoro; = prezzo ombra porte; = prezzo ombra nmero ato da prodrre Si pò valtare che cosa è conveniente incrementare: le ore lavoro, la disponibilità del nmero delle porte oppre il nmero delle ato da prodrre. 5 5