Istituzioni di Matematiche prima parte
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1 Istituzioni di Matematiche prima parte anno acc. 2011/2012 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 1 / 33
2 index Generalità sugli insiemi 1 Generalità sugli insiemi 2 Matrici e operazioni tra matrici 3 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 2 / 33
3 Generalità sugli insiemi Le nozioni di insieme e di elemento di un insieme sono da considerarsi intuitive. Abitualmente gli insiemi vengono denotati con lettere maiuscole e gli elementi con lettere minuscole. Se x è un elemento di un insieme A si scrive x A (oppure A x e si dice che x appartiene ad A. Tra gli insiemi consideriamo l insieme vuoto, cioè privo di elementi. Un insieme Y si dice sottoinsieme di un insieme X, e si scrive Y X (oppure X Y, se ogni elemento di Y è anche elemento di X. In simboli Y X y Y si ha y X. Se Y è un sottoinsieme di X si dice anche che Y è contenuto in X ovvero che X contiene Y. Supporremo sempre di lavorare con insiemi che sono sottoinsiemi di un insieme fissato U, che chiamiamo insieme universo. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 3 / 33
4 Generalità sugli insiemi Esempi: U = R, insieme dei numeri reali, N, insieme dei numeri naturali, Z, insieme dei interi relativi, Q, insieme dei numeri razionali. Si ha N Z Q ( U. Per ogni insieme A si ha A e A A. Un insieme può essere definito per elencazione, ad esempio X = {1, 2, 3, 4, 5}, oppure assegnandone una condizione definitoria (ovvero proprietà caratteristica. Ad esempio l insieme X di sopra è anche oppure anche X = {a Z 1 a 5} X = {a N 1 a < 6}. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 4 / 33
5 Generalità sugli insiemi ESERCIZIO - Descrivere per elencazione i seguenti insiemi W = {x Z 4 x < 10}, V = {a W 2a W}, T = {b b = 2a, a V}. ESERCIZIO - Trovare una proprietà definitoria per ciascuno dei seguenti insiemi L = {4, 9, 16}, M = {2/7, 3/7, 4/7}, N = { 2, 2, 3, 3}. Due insiemi A e B sono uguali (A = B se ogni elemento di A è anche un elemento di B e viceversa, cioè A = B A B e B A. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 5 / 33
6 Generalità sugli insiemi Dati due insiemi A, B U si definisce intersezione A B di A e B l insieme degli elementi comuni ad A e B. Si ha cioè A B = {x U x A e x B}. Si definisce invece unione A B di A e B l insieme degli elementi che appartengono ad A o a B (o, ovviamente, anche ad entrambe Si ha cioè A B = {x U x A oppure x B}. ESEMPIO A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 2, 3}, C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}, D = {1, 3, 5} A B = {2}, A C = A, A D =, A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}, A C = C, A D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}. OSSERVAZIONE - Dati comunque due insiemi A e B, l intersezione A B è un sottoinsieme di A e di B inoltre A e B sono sottoinsiemi dell unione A B. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 6 / 33
7 Generalità sugli insiemi Dato un insieme A U si definisce complementare A c di A in U l insieme degli elementi di U che non appartengono ad A. Si ha cioè A c = {x U x / A}. ESEMPIO - U = Z, A = {x Z x 50}, A c = {x Z x 51} OSSERVAZIONE - Dati A, B U, si ha (A B c = A c B c. Dati due insiemi A e B si definisce prodotto cartesiano di A per B l insieme A B delle coppie ordinate (a, b con a A e b B. Ad esempio, se A = {a, b, c} e {1, 2}, allora A B = {(a, 1, (a, 2, (b, 1, (b, 2, (c, 1, (c, 2}. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 7 / 33
8 index Matrici e operazioni tra matrici 1 Generalità sugli insiemi 2 Matrici e operazioni tra matrici 3 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 8 / 33
9 Matrici e operazioni tra matrici Vettori e matrici Un vettore ad n componenti è una n upla ordinata di numeri reali a 1, a 2,..., a n, che possono essere elencati in colonna (vettore colonna a 1 a 2... a n o in riga (vettore riga (a 1, a 2,..., a n. Una matrice a m righe ed n colonne (detta anche matrice m n è una tabella di numeri reali della forma a 11 a a 1n a 21 a a 2n = (a ij i=1,...,m,j=1,...,n, a m1 a m2... a mn (i indice di riga, j indice di colonna. OSSERVAZIONE - Un vettore riga ad n componenti è identificabile con una matrice 1 n, un vettore colonna ad n componenti è identificabile con una matrice n 1. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 9 / 33
10 Matrici e operazioni tra matrici Somma di matrici e prodotto di una matrice per un numero reale Due matrici con lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne possono essere sommate: (a ij i=1,...,m,j=1,...,n + (b ij i=1,...,m,j=1,...,n, = (a ij + b ij i=1,...,m,j=1,...,n, ad esempio ( ( = ( Una matrice può essere moltiplicata per un numero reale ad esempio λ(a ij i=1,...,m,j=1,...,n = (λa ij i=1,...,m,j=1,...,n, 2 ( /2 = ( Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 10 / 33
11 Matrici e operazioni tra matrici Prodotto di matrici Date due matrici A = (a ij ad m righe e n colonne e B = (b hk ad n righe e p colonne (tali cioè che il numero delle colonne di A sia uguale al numero delle righe di B si può definire una matrice C = A B con m righe e p colonne, detta prodotto riga per colonna di A per B: la matrice C ha come elemento della riga r e colonna s il numero reale c rs = a r1 b 1s + a r2 b 2s + + a rn b ns. A = a 11 a a 1n a r1 a r2... a rn a m1 a m2... a mn, B = b b 1s... b 1p b b 2s... b 2p b n1... b ns... b np ( ( Ad esempio, se A = e B = , si ha ( ( = Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 11 / 33
12 Matrici e operazioni tra matrici ESEMPIO A = tabella dei prezzi in euro degli articoli H, K e L per bambini (b, donne (f e uomini (m, B = tabella della composizione delle famiglie F1 e F2 in termini di bambini (b, donne (f e uomini (m. A = * b f m H K L , B = * F1 F2 b 1 3 f 1 1 m 2 1 C = A B = tabella della spesa in euro delle famiglie F1 e F2 per gli articoli H, K e L. C = * F1 F2 H K L Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 12 / 33
13 Matrici e operazioni tra matrici ESEMPIO (catena alimentare A = tabella delle quantità (rispetto un opportuna unità di misura di sostanze inquinanti I1, I2 presenti negli alimenti A1, A2 e A3. B = tabella delle quantità di alimenti A1, A2 e A3 ingerite dagli animali delle specie S1 e S2. A = * A1 A2 A3 I1 I , B = * S1 S2 A1 1 2 A2 1 2 A3 2 1 C = A B = tabella delle quantità di inquinanti I1 e I2 ingerite dagli animali di specie S1 e S2. C = * S1 S2 I1 I2 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 13 / 33
14 index 1 Generalità sugli insiemi 2 Matrici e operazioni tra matrici 3 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 14 / 33
15 Sistema lineare, matrice dei coefficienti e matrice completa Sistema di m equazioni lineari nelle n incognite x 1, x 2,..., x n (a ij, b h R a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Una soluzione del sistema: n upla di numeri reali (x 1, x 2,..., x n tali che a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 15 / 33
16 Matrice completa del sistema: [A b] = a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m A = matrice dei coefficienti del sistema, b = colonna dei termini noti a 11 a a 1n b 1 A = a 21 a a 2n b = b 2... a m1 a m2... a mn b m Esempio: m = 3, n = 4, (x 1, x 2,..., x n = (x, y, z, w 3x + 2y z + w = 0 ( x + 3y + 2z = 1 [A b] = x + z + 3w = Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 16 / 33
17 Utilizzando la notazione del prodotto riga per colonna il sistema a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m può anche essere scritto come Ax = b ove A è la matrice dei coefficienti del sistema, b è la colonna dei termini noti e x 1 x = x 2... è il vettore colonna delle incognita. x n Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 17 / 33
18 Un sistema lineare si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione, determinato se ammette una ed una sola soluzione, indeterminato se ha più di una soluzione (ed in tal caso ne ha infinite. Ad esempio il sistema è impossibile; il sistema { x +y = 0 x +y = 1 { x +y = 0 x = 1 è determinato ed ha come unica soluzione (x, y = (1, 1 ; il sistema { x +y = 0 2x +2y = 0 è indeterminato ed ha le infinite soluzioni (x, y = (k, k, al variare di k. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 18 / 33
19 Il metodo di Gauss STRATEGIA: passare dalla matrice [A b] ad un altra matrice [A b ] che rappresenti un sistema equivalente (cioè che ammette le stesse soluzioni, ma molto più semplice da risolversi. OPERAZIONI SULLE RIGHE (lecite, ovvero che fanno passare da un sistema ad un altro equivalente: 1 scambiare due righe tra loro; 2 moltiplicare una riga per una costante diversa da zero; 3 sommare ad una riga il multiplo di un altra. N.B. Le operazioni vanno fatte sulla matrice completa [A b], non solo sulla matrice A dei coefficienti. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 19 / 33
20 Operazioni lecite sulle righe Esempio di operazione di tipo 1 (scambio R 1, R 3 ( ( R 1 R Esempio di operazione di tipo 2 (3R 2 ( ( 3R Esempio di operazione di tipo 3 (R 1 + 3R 2 ( ( R 1 +3R Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 20 / 33
21 Esempi di matrici "semplici" ESEMPIO 1. corrisponde al sistema ( x + 2y z = 2 y + 3z + w = 0 z 3w = 4 (dall ultima equazione si ricava z = 3w + 4, che si può sostituire nella seconda trovando y = 3z w = 3(3w + 4 w = 10w 12, e alla fine, sostituendo la z e la y nella prima si ricava anche x = 2y + z + 2 = 2( 10w 12 + (3w = 23w Quindi le soluzioni del sistema sono della forma (x, y, z, w = (23w + 30, 10w 12, 3w + 4, w. Si sono trovate infinite soluzioni quindi il sistema è indeterminato. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 21 / 33
22 ESEMPIO 2. corrisponde al sistema che è evidentemente impossibile. ( x + 2y z = 2 y + 3z + w = 0 0 = 4 Si noti che negli esempi 1 e 2 le matrici sono a gradini con un 1 come coefficiente dell incognita di ogni "gradino". Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 22 / 33
23 SCOPO DEL METODO: Ridurre la matrice [A b] in una forma a gradini del tipo: in cui in ogni riga compaiono meno incognite della riga precedente. STRUMENTO UTILIZZATO: le operazioni lecite sulle righe viste sopra. Si tratta di un algoritmo: dopo un numero finito di passi si ottiene una matrice dalla quale risulta evidente se il sistema ammette soluzioni oppure no e che, in caso affermativo, permette di trovare le soluzioni ricavando via via le incognite a partire dall ultima equazione e procedendo a ritroso. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 23 / 33
24 Illustrazione del metodo Come "creare" i gradini? Salvo effettuare scambi di righe, si parte da una matrice in cui la prima incognita compaia nella prima equazione. Moltiplicando la prima riga per una costante si ottiene una matrice in cui il primo elemento della prima riga è 1 R 2 ar 1 R 3 br 1,...,... 1 a a 1n b 1 a a a 2n b 2 b a a 3n b a a 1n b 1 0 a a 2n b 2 0 a a 3n b Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 24 / 33
25 A questo punto nel sistema dalla seconda equazione in poi non compare più la prima incognita, quindi compaiono al più n 1 incognite. Su questo sistema con una equazione in meno e con meno incognite si opera analogamente a quanto visto sopra. Se nel corso della procedura, una riga della matrice si annulla interamente (cioè diventa ( , tale riga può essere cancellata (corrisponde all equazione 0 = 0. Se nel corso della procedura, una riga della matrice si annulla in tutte le entrate salvo che nell ultima (cioè diventa ( k, k 0, il sistema è impossibile (tale riga infatti corrisponde all equazione 0 = k. Alla fine della procedura la matrice è ridotta a gradini, e il sistema, se risolubile, può essere risolto a partire dall ultima equazione a ritroso. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 25 / 33
26 ESEMPIO A 2x 2y + 4z = 0 x + 2z = 2 z = 1 3x 3y = (1/2R 1 R 4+6R R 2 R 1 R 4 3R 1 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 26 / 33
27 ( x y + 2z = 0 y = 2 (x, y, z = (4, 2, 1 z = 1 Si è trovata una ed una sola soluzione, quindi il sistema è determinato. ESEMPIO B 3x + y = 4 + x 2y = 3 x 3y = 8 ( 1/5R 2 R 1 R 2 ( ( ( / R 2 +3R 1 R 3 +R 1 R 3 +5R 2 ( ( / Il sistema quindi è impossibile. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 27 / 33
28 ESEMPIO C x 2y + z = 0 2x + y = 1 3x 4y + z = 2 ( ( /5 1/ (x, y, z = ( z+2 5, z Il sistema è indeterminato 5, 2z+1 R 2 2R 1 R 3 +3R 1 ( R 4 +10R 2 (1/5R 2 ( /5 1/ Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 28 / 33
29 ESERCIZIO 1 Per ciascuna di queste matrici stabilire se rappresenta un sistema determinato, indeterminato o impossibile. A = C = E = ( ( ( k B = D = al variare dei numeri reali h, k e r. ( F = ( h 1 ( r 2 1 r + 1,, Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 29 / 33
30 ESERCIZIO 2 Stabilire se i seguenti sistemi lineari hanno soluzioni, ed, in caso affermativo, determinarle. 2y 2z = 1 { x y = 1 x +z w = 0 x +y +2z = 0 y +z = 2 2x 2y z = 2 x +2y +z +w = 4 ESERCIZIO 3 Al variare del parametro reale h, stabilire se ciascuno dei seguenti sistemi lineari è determinato, indeterminato o impossibile. { x y = 2 x +2y +2z = 0 y +2z = h + 1 x +z = 0 y +z = 2 y z = 1 x +2y +hz = h + 2 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 30 / 33
31 Se un sistema è indeterminato e le sue soluzioni dipendono da s parametri, si dice che il sistema ha s soluzioni. Se invece il sistema è determinato, si dice anche che ha 0 soluzioni. Ad esempio, il sistema { x +y +z = 0 2x +2y +2z = 0 ha le infinite soluzioni (x, y, z = (h, k, h k, al variare dei parametri h e k. Pertanto si tratta di un sistema indeterminato e che ha 2 soluzioni. Invece il sistema dell esempio C ha 1 soluzioni. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 31 / 33
32 Caratteristica o rango di una matrice Il procedimento di riduzione a gradini che si è applicato alla matrice completa di un sistema lineare per ridurla a forma "semplice", può essere applicato ad una qualsiasi matrice. Il numero delle righe non nulle che si ottengono alla fine del procedimento viene detto caratteristica o rango della matrice (si dimostra che tale numero non dipende dalle operazioni che si sono fatte per ridurre a gradini la matrice. TEOREMA (di Rouché Capelli - Il sistema lineare Ax = b ha soluzioni se e solo se la caratteristica della matrice dei coefficienti A coincide con la caratteristica della matrice completa [A b]. Inoltre, se il sistema è risolubile, le soluzioni del sistema sono n r, ove n è il numero delle incognite e r è la caratteristica di A (e di [A b]. Ad esempio nel sistema dell esempio 2 x + 2y z = 2 y + 3z + w = 0 0 = 4 la matrice dei coefficienti ha caratteristica 2, mentre la matrice completa ha caratteristica 3, e il sistema è impossibile. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 32 / 33
33 x + 2y z = 2 Invece, nel caso del sistema y + 3z + w = 0, tanto la matrice dei z 3w = 4 coefficienti quanto la matrice completa hanno caratteristica 3. Il sistema è risolubile ed ha 4 3 = 1 soluzioni. ESERCIZIO - Calcolare la caratteristica di ciascuna delle seguenti matrici: ( M = ; N = ESERCIZIO - Al variare del parametro reale α, determinare la carratteristica della matrice ( α 2 0 α Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 33 / 33
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