Convergenza del Simplesso e regole anti-ciclaggio

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1 Convergenza del Simplesso e regole anti-ciclaggio degenerazione e ciclaggio un esempio di ciclaggio regole anti-ciclaggio rif. Fi 3.2.6, BT 3.4 (Esempio 3.6), BT 3.7;

2 Sulla convergenza del metodo del simplesso in una iterazione in cui entra in base x h ed esce x B(t) il valore della funzione obiettivo diminuisce della quantità θ c h, con θ = b t /ā th = min{ b i /ā ih : i = 1,..., m, ā ih > 0} il numero di basi ammissibili è al più ( n m ) = n! m!(n m)! se θ > 0 ad ogni iterazione, il valore di f.o. diminuisce in modo strettamente monotono in questo caso, il metodo del simplesso visita ciascuna base al più una volta, cioè converge in un numero finito di passi

3 Degenerazione e ciclaggio sfortunatamente, in presenza di basi degeneri, cioè di valori bi = 0 si ha θ = 0 = al cambiamento di base NON corrisponde un cambiamento di vertice può accadere che, dopo un certo numero di scambi degeneri, si riottenga una base già visitata (cioè un tableau già ottenuto) in questo caso il metodo visita ciclicamente e indefinitamente una sequenza di basi degeneri

4 Esempio di ciclaggio -3/4 20-1/ / x 5 1/ / x x 7 Applicare la seguente regola di pivoting: variabile entrante: la più negativa variabile uscente: fra tutte le righe t per cui b t /ā th = θ scegliere quella con il minimo B(t)

5 Regola di Bland Scegliere la variabile entrante x h e quella uscente x B(t) preferendo, fra le opzioni possibili, quelle di indice minimo: h = arg min{j : c j < 0} fra tutte le righe t per cui b t /ā th = θ scegliere quella con il minimo B(t)

6 Esempio x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x z x x x x 7 La variabile fuori base con costo ridotto negativo e indice minimo è x h = x 2. Per la variabile entrante si hanno tre opzioni: t = 1 = esce x B(1) = x 5 t = 2 = esce x B(2) = x 2 regola di Bland sceglie t = 2 t = 4 = esce x B(4) = x 7

7 Teorema di convergenza Utilizzando la regola ) di Bland il metodo del simplesso converge dopo al più iterazioni ( n m Dimostrazione Per assurdo, supponiamo che esistano istanze di PL per cui si verifichi un ciclaggio, cioè la visita di una sequenza di basi B 1, B 2,..., B k = B 1 fra queste, ne consideriamo una minimale: tutte le righe e colonne del tableau sono state coperte da un qualche elemento di pivot durante la sequenza, altrimenti potremmo eliminarle, riducendo il problema quindi, tutte le variabili entrano ed escono a turno dalla base corrente infine, deve essere b i = 0, i = 1,..., m: altrimenti, nel pivot associato ad una riga i con b i > 0 si avrebbe θ > 0 rompendo il ciclaggio

8 Dimostrazione Consideriamo il tableau T in cui x n = x B(t) esce dalla base corrente per far entrare una certa var. x h fuori base entra esce x B(i) x h x n 0 < 0 0 z x B(i) > x B(t)

9 Dimostrazione x B(i) x h x n 0 < 0 0 z x B(i) > x B(t) bi = 0, i = 1,..., m ā ih 0, i t: se esistesse i t, con ā ih > 0 la regola di Bland avrebbe scelto x B(i) e non x n come var. uscente

10 Dimostrazione Consideriamo adesso il tableau T in cui x n rientra in base x B(i) x h x n < 0 c n < 0 c j 0, j n per ottenere T da T mediante una sequenza di pivot, devono esistere moltiplicatori µ 1,..., µ m tali che: [riga 0 di T m ] = [riga 0 di T ] + µ i [riga i di T ] i=1

11 Dimostrazione Allora: c B(t) = c n = c B(t) + µ t = µ t, quindi c n < 0 = µ t < 0 c B(i) = c B(i) + µ i = µ i quindi c B(i) 0 (regola di Bland) = µ i 0, i t torniamo a considerare la variabile h nel nuovo tabeau. Deve essere c h 0, ma essendo: c h = c h + i t ā ih µ i + ā th µ t con c h < 0 ā ih 0, µ i 0 ā th > 0, µ t < 0 risulta c h < 0 contraddizione

12 Efficienza del metodo del simplesso Consideriamo il numero di operazioni aritmetiche delle operazioni su vettori e matrici: calcolo B 1, soluzione Bx = b O(m 3 ) prodotto Bb O(m 2 ) prodotto u T b O(m) Il costo computazionale di un iterazione è quindi: implementazione matriciale implementazione tableau calcolo B 1 O(m 3 ) pivot O(nm) calcolo c O(m 2 + nm) = O(nm) totale O(m 3 + nm) O(nm)

13 Sulle regole di pivoting La regola di Bland evita il ciclaggio, ma non tiene conto della rapidità di convergenza del metodo scelte ragionevoli per la variabile entrante: fra le variabili j tali che c j < 0 sceglie x h tale che variabile più negativa : ha il massimo valore ch max diminuzione della f.o.: ha il massimo valore θ c h quest ultimo criterio è spesso computazionalmente troppo oneroso, sebbene riduca il numero di iterazioni.

14 Sul numero di iterazioni consideriamo un problema nel cubo unitario: 0 x i 1, i = 1,..., n che ha 2 n vertici. Una regola di pivoting che corrisponde ad un cammino che tocca tutti i vertici risulta in un numero esponenziale di iterazioni x 2 x 3 B A x 1

15 Sul numero di iterazioni tuttavia il primo vertice A e l ultimo vertice B sono adiacenti: una diversa regola di pivoting terminerebbe in una iterazione!! x 2 x 3 B A x 1 per molte regole di pivoting ragionevoli esistono esempi per cui la regola risulta in un numero esponenziale di iterazioni questi NON escludono la possibilità che un altra regola possa fare meglio

16 Diametro di un poliedro possiamo stimare il numero di iterazioni in modo indipendente dalla regola di pivoting? Definizione Dati due vertici x, y definiamo distanza fra x e y il minimo numero d(x, y) di salti fra vertici adiacenti necessari per passare da x a y Definizione Definiamo diametro D(P ) di un poliedro P la massima distanza d(x, y) fra tutte le coppie (x, y) di vertici di P. Sia inoltre (n, m) il massimo D(P ) se P è un politopo in R n definito da m disuguaglianze

17 La congettura di Hirsch se il simplesso inizia da un vertice x e l unica soluzione ottima è y, allora servono almeno d(x, y) iterazioni quindi, se (n, m) cresce esponenzialmente con n ed m, allora il simplesso richiederebbe un numero esponenziale di iterazioni indipendentemente dalla regola di pivoting quindi, è possibile sviluppare regole di pivoting efficienti solo se (n, m) cresce polinomialmente con n ed m Congettura di Hirsch: (n, m) m n sebbene la congettura non sia dimostrata, l esperienza pratica mostra che il simplesso richiede tipicamente O(m) iterazioni