Cercare il percorso minimo Ant Colony Optimization

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1 Cercare il percorso minimo Ant Colony Optimization Author: Luca Albergante 1 Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Milano 4 Aprile 2011 L. Albergante (Univ. of Milan) PSO 4 Aprile / 12

2 Sommario Sommario 1 Il commesso viaggiatore (TSP) L. Albergante (Univ. of Milan) PSO 4 Aprile / 12

3 Il problema Supponiamo di essere un commesso viaggiatore che deve visitare n città ritornando poi a quella iniziale. Quale ordine di visita scegliamo? Naturalmente lo scopo è quello di minimizzare la distanza percorsa (e quindi il costo). Questo problema è noto in letteratura come Travelling Salesman Problem (TSP), e come (forse) vedrete a lezione è un problema piuttosto complesso. L. Albergante (Univ. of Milan) PSO 4 Aprile / 12

4 Quanti percorsi? Una analisi formale del problema richiederebbe alcune basi di teoria della complessità, quindi vediamo il tempo richiesto per affrontare il problema in maniera naïve. Supponiamo di dover visitare n città, come possiamo definire un percorso? Un idea è quella di elencare l ordine di visita delle città. Ad esempio per visitare Londra, Parigi e Milano ho le possibilità: Londra Parigi Milano Londra Milano Parigi Parigi Milano Londra Parigi Londra Milano Milano Parigi Londra Milano Londra Parigi L. Albergante (Univ. of Milan) PSO 4 Aprile / 12

5 Quanti percorsi? Un percorso su n città è quindi una permutazione delle n città. Se volessi valutare il costo di ogni percorso per trovare il migliore quanti percorsi dovrei controllare? L. Albergante (Univ. of Milan) PSO 4 Aprile / 12

6 Quanti percorsi? Un percorso su n città è quindi una permutazione delle n città. Se volessi valutare il costo di ogni percorso per trovare il migliore quanti percorsi dovrei controllare? Dovrei controllare n! percorsi (decisamente troppi!!) L. Albergante (Univ. of Milan) PSO 4 Aprile / 12

7 Le formiche Le formiche sono piuttosto abili nel costruire percorsi utilizzando solo informazioni locali (anche se alcune specie conoscono la geografia del luogo...). Per costruire questi percorsi una formica rilascia un particolare marcatore chimico (feromoni) che attira le altre. Quando una formica esplora una zona in cerca di cibo, lascia una traccia. Se trova il cibo e torna indietro rinforza la traccia. I feromoni evaporano, quindi, tracce corte avranno più feromoni di tracce lunghe. L. Albergante (Univ. of Milan) PSO 4 Aprile / 12

8 Le formiche Le altre formiche saranno attratte dalla traccia seguendola e rinforzandola. Quindi dopo un certo tempo un grande numero di formiche utilizzeranno quel percorso. Dato che una formica sceglie in maniera probabilistica il percorso da seguire (ci sono molte tracce ed ogni formica è solo attratta), se ci sono molte formiche, dopo un po il percorso scelto tenderà ad essere molto buono (idealmente ottimo). L algoritmo Ant Colony Optimization (ACO) è stato sviluppato da Dorigo ed è utilizzato per trovare cammini quasi-ottimi (non ho naturalmente la garanzia di avere l ottimo). L. Albergante (Univ. of Milan) PSO 4 Aprile / 12

9 Le formiche Supponiamo che una formica k si trovi nel nodo i al tempo t e che possa dirigersi in uno dei nodi dell insieme N k i, questa formica si dirigerà al nodo j con la probabilità seguente: P k i,j (t) = ( τi,j (t) ) α ( ηi,j (t) ) β ( τi,j (t) ) α ( ηi,j (t) ) (1) β j N k i dove τ i,j è la quantità di feromone nell arco (i, j), η i,j (t) è dell informazione euristica conosciuta a priori, α è un parametro che controlla l effetto dei feromoni e β è un parametro che controlla l effetto dell informazione euristica. Nel TSP si pone { 1/d i,j se i j η i,j = 0 altrimenti dove d i,j è il costo per muoversi da i a j L. Albergante (Univ. of Milan) PSO 4 Aprile / 12

10 Le formiche La traccia di feromoni sull arco (i, j) viene aggiornata come segue dove τ i,j (t) = ρ τ i,j (t 1) + n k=1 k i,j (t) (2) { Q k i,j (t) = L k (t) se l arco (i, j) è scelto dalla formica k 0 altrimenti dove ρ è il coefficiente di evaporazione del feromone (0 < ρ < 1), n è il numero di formiche, Q è la costante di aggiornamento per il feromone e L k (t) un costo associato con la distanza percorsa dalla formica k al tempo t (in genere conviene normalizzare il valore in maniera tale che per la formica che ha fatto il percorso minore L k (t) sia vicino allo 0). L. Albergante (Univ. of Milan) PSO 4 Aprile / 12

11 Le formiche Fatte queste premesse l algoritmo procede come segue: ACO Inizializza i parametri e le n formiche while condizione do t t + 1 for i = 1 to n do Posiziona la formica i in un nodo iniziale a caso for j = 2 to numero città do muovi la formica i di un nodo utilizzando la formula 1 tieni traccia della mossa effettuata end for end for Aggiorna i feromoni utilizzando la formula 2 Tieni traccia della soluzione migliore trovata end while L. Albergante (Univ. of Milan) PSO 4 Aprile / 12

12 Esercizio Scrivere un programma in MATLAB che utilizzi il sistema sopra descritto per trovare il percorso minimo fra 20 punti con coordinate (x, y) generate a caso tra 0 e 100. Utilizzate la distanza euclidea come costo. Plottate il costo medio dei percorsi col passare del tempo e l evoluzione dei percorsi (per ogni iterazione plottate solo il percorso migliore trovato). Nota: dato che il programma è piuttosto lungo sarebbe opportuno definire diverse funzioni per le varie parti (Inizializzazione, movimento delle formiche, calcolo dei costi, aggiornamento della traccia di feromoni). L. Albergante (Univ. of Milan) PSO 4 Aprile / 12

13 Esercizio Il posizionamento delle formiche è piuttosto semplice: mi basterà per ogni formica scegliere un nodo iniziale a caso. Si noto che ogni formica deve percorrere tutti i nodi, quindi mi servirà una matrice (numero dei nodi) (numero delle formiche). Le formiche verranno mosse una alla volta, ed ogni formica completerà tutto il percorso. Conviene fare una copia locale della matrice dei feromoni e settare di volta in volta le degli 0 per le posizioni che ho già visitato. Dopo che tutte le formiche si sono mosse calcolo la lunghezza del percorso, e tengo traccia del minimo. La lunghezza del percorso calcolato verrà poi usata per aggiornare la traccia del feromone L. Albergante (Univ. of Milan) PSO 4 Aprile / 12