Alberi di copertura. Mauro Passacantando. Dipartimento di Informatica Largo B. Pontecorvo 3, Pisa

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1 Alberi di copertura Mauro Passacantando Dipartimento di Informatica Largo B. Pontecorvo, Pisa M. Passacantando TFA 0/ - Corso di Ricerca Operativa Università di Pisa / 9

2 Definizioni Albero In un grafo (N,A) non orientato e connesso, un albero è un insieme di archi connesso e privo di cicli. Albero di copertura In un grafo (N,A) non orientato e connesso, un albero di copertura è un albero che connette tutti i nodi del grafo. Esercizio Quanti archi ha un albero di copertura? Perché? M. Passacantando TFA 0/ - Corso di Ricerca Operativa Università di Pisa / 9

3 Albero di copertura di costo minimo Problema Dato un grafo (N,A) non orientato e connesso, trovare un albero di copertura di costo minimo. Algoritmo di Kruskal. Disponi gli archi a,...,a m in ordine crescente di costo. T :=, j :=.. se T {a j } non contiene un ciclo allora inserisci a j in T. se T = n allora STOP altrimenti j := j + e torna al passo vedi anche: M. Passacantando TFA 0/ - Corso di Ricerca Operativa Università di Pisa / 9

4 Correttezza dell algoritmo di Kruskal Teorema L algoritmo di Kruskal trova un albero di copertura di costo minimo. Dimostrazione T è un albero (perché non contiene cicli) di copertura (perché ha n archi). Per dimostrare che T è ottimo, dimostriamo che per ogni k = 0,...,n vale questa proprietà: durante l esecuzione dell algoritmo, se T ha k archi allora esiste un albero ottimo T che contiene T. (P) Dimostrazione per induzione su k. Per k = 0 (P) è ovviamente vera. Supponiamo che (P) sia vera per un certo k < n e dimostriamo che (P) è vera anche per k +. Supponiamo che il prossimo arco che viene inserito in T sia {i,j}. Se {i,j} T, allora T contiene T {i,j}, quindi (P) è vera anche per k +. M. Passacantando TFA 0/ - Corso di Ricerca Operativa Università di Pisa / 9

5 Correttezza dell algoritmo di Kruskal Dimostrazione (segue) Se {i,j} / T, allora T {i,j} contiene un ciclo C. In C esiste un arco {p,q} / T. Dimostriamo ora che c pq c ij. Infatti, se c pq < c ij e {i,j} è il prossimo arco che viene inserito in T, allora l arco {p,q} dovrebbe formare un ciclo con gli archi di T, ma T T e quindi {p,q} T formerebbe un ciclo con gli archi di T, che è impossibile perché T è un albero. L insieme T = T \{p,q} {i,j} è un albero di copertura e costo(t ) = costo(t ) c pq +c ij costo(t ), quindi T è ottimo e contiene T {i,j}, quindi (P) è vera anche per k +. T p i T p i C q j q j T T M. Passacantando TFA 0/ - Corso di Ricerca Operativa Università di Pisa / 9

6 Implementazione dell algoritmo di Kruskal Per controllare l esistenza di un ciclo usiamo delle etichette d sui nodi in modo che: i nodi di una componente connessa di T abbiano la stessa etichetta i nodi di due componenti connesse diverse di T abbiano etichette diverse Algoritmo di Kruskal. Disponi gli archi a,...,a m in ordine crescente di costo. T :=, j :=, d i := i per ogni i =,...,n. Sia a j = {p,q} con d p d q. se d p < d q allora T := T {a j } per ogni i =,...,n: se d i = d q allora d i := d p. se T = n allora STOP altrimenti j := j + e torna al passo M. Passacantando TFA 0/ - Corso di Ricerca Operativa Università di Pisa / 9

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25 Algoritmo di Prim Soluzione alternativa: costruisco l albero mantenendo una sola componente connessa C. Ad ogni iterazione aggiungo l arco di costo minimo che collega C ai nodi non ancora connessi.. Scegli un nodo k. Poni C = {k} e T =.. se C = N allora STOP. Calcola min c ij = c pq, i C, j/ C inserisci l arco (p,q) in T, inserisci il nodo q in C e torna al passo. M. Passacantando TFA 0/ - Corso di Ricerca Operativa Università di Pisa 8 / 9

26 Implementazione dell algoritmo di Prim Per trovare il prossimo nodo da aggiungere a C e il prossimo arco da aggiungere a T, utilizzo per ogni nodo i due etichette d i e p i : - d i è il minimo costo per collegare i a C - p i è il predecessore di i, serve per memorizzare qual è il modo migliore per collegare i a C.. Scegli un nodo k. Poni C = {k}, T =, d k = 0, d i = per ogni i k, p i = per ogni i.. se C = N allora STOP. Chiama u l ultimo nodo inserito in C. Per ogni arco (u,j) con j / C: se d j > c uj allora poni d j := c uj e p j = u. Calcola min j/ C d j = d q, inserisci il nodo q in C, inserisci l arco (p q,q) in T e torna al passo. vedi anche: M. Passacantando TFA 0/ - Corso di Ricerca Operativa Università di Pisa 9 / 9