Esame di Ricerca Operativa del 22/01/18
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- Sofia Di Mauro
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1 Esame di Ricerca Operativa del /0/8 (Cognome) (Nome) (Numero di Matricola) Esercizio. Un azienda informatica produce tre tipi di processori P, P, P nelle sedi S, S, S. La capacitá di produzione settimanale delle sedi S, S, S é data da 00, 800 e 00 processori rispettivamente, ed il costo di produzione di un singolo processore di tipo P i nello stabilimento S j e dato da c ij, i =,,, j =,,. Sapendo che la produzione settimanale deve essere di almeno 70 processori per ogni tipo e che la produzione dei processori di tipo P nella sede S deve essere inferiore al 0% della produzione dei processori di tipo P nelle sedi S ed S, si scriva un problema di programmazione lineare per determinare la quantitá di processori da produrre settimanalmente in ciascuna sede in modo da minimizzare il costo complessivo di produzione. variabili decisionali: modello: Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x 7 x x x x x x x +x x + x 7 x +x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante
2 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) - (,7) (,) (,) (,0) (,) (,) - (,7) (,) (7,0) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente
3 Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 0 nodo visitato iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t =
4 Esercizio 7. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max 8 x + x x + x 7 x +7 x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S (P) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v I (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio: Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.
5 SOLUZIONI Esercizio. Variabili decisionali: x ij = quantita di processori di tipo P i prodotti settimanalmente nelle sedi S j, i =,,, j =,,; Modello: min c ij x ij i= j= x +x +x 00 x +x +x 800 x +x +x 00 x +x +x 70 x +x +x 70 x +x +x 70 x 0.(x +x ) x ij 0, x ij Z, i =,,, j =,,, Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x 7 x x x x x x x +x x + x 7 x +x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = (, 0) SI NO {, } y = ( 0,, 7 ), 0, 0, 0 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {, } (, ) iterazione {, } (, ) Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante ( 0, 0, 0, ) 0, 7 0, 0 ( 0, ), 0, 0, 7, 0 SI NO 0, 0, Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) - (,7) (,) (,) (,0) (,) (,) - (,7) (,) (7,0)
6 Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (, 8, 0, 0, 0,,,, 0, ) NO NO (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0,,,, 7, ) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) (,) x (, 0,,, 0, 0, 7, 0,, ) (,, 0,, 0, 0, 7, 0,, ) π (0,,,, 7, ) (0,,,, 7, ) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ, 7, Arco uscente (,) (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 0 iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo + + nodo nodo insieme Q,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson(con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete
7 cammino aumentante δ x v (7, 0, 0, 7, 0, 0, 7, 0, 0) (, 0, 0, 7, 8, 0, 7, 0, 8) (,, 0, 7, 8,, 7, 0, ) (, 8, 0, 7, 8, 8,, 7, ) Taglio di capacità minima: N s = {,} N t = {,,,} Esercizio 7. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max 8 x + x x + x 7 x +7 x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( sol. ottima del rilassamento = 0, ) 7 b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v S (P) = 8 sol. ammissibile = (0,) v I (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x r = x +x Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) v I (P) = 7 b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = 0 c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.
8 7,0 P x = 0 x =,0 P, 7,0 P, x = 0 x = 7,0 P, 7,0 P, x = 0 x = 08,0 P, 7,0 P,
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