AA Prova del 19 Novembre 2010 Compito A

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1 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta (10 cfu), I parte; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 (5 cfu); AA Prova del 19 Novembre 2010 Compito A 1). Un circolo velico deve organizzarsi per trasferire delle barche (9 Optimist e 6 Laser) per partecipare a delle regate. Per assistere i ragazzi mentre fanno la regata, servono anche due gommoni. Il circolo possiede due carrelli per il trasporto, e ognuno può essere caricato in 4 modi diversi, e precisamente per trasportare: a) un gommone e 6 Optimist; b) un gommone, 4 Optimist, e 1 Laser; c) un gommone, 3 Optimist, e 2 Laser; oppure d) un gommone e 3 Laser. Chiaramente i due carrelli non sono sufficienti per trasportare tutte le barche. Ognuna delle rimanenti deve essere trasportata con una (normale) automobile. Gli Optimist sono barche più piccole dei Laser, quindi è più agevole caricarle. Valutando che la facilità di trasporto di un Optimist sia doppia rispetto alla facilità di trasporto di un Laser, e sapendo che ci sono disponibili solo 7 automobili, tutte adatte a trasportare un Optimist ma solo 3 adatte a trasportare un Laser, scrivere una formulazione per determinare in che modo caricare i due carrelli assicurandosi, al contempo, che le barche che non vengono caricate sui carrelli possano essere trasportate sulle automobili disponibili, e nell ottica di rendere massima la facilità complessiva di trasporto. 2). Si consideri una istanza di tsp definita su un grafo G = (V, E) completo e non orientato con V = 7 nodi e in cui le lunghezze degli archi sono sintetizzate nella seguente matrice L il cui generico elemento l i,j rappresenta la lunghezza dell arco (i, j) E Scrivere la formulazione a numeri interi del problema. Definire tutto ciò che serve per poter applicare un algoritmo di Ricerca Locale al problema dato. Effettuare una iterazione dell algoritmo spiegando bene tutti i passaggi, e fermarsi. L algoritmo andrebbe avanti o si fermerebbe dove vi siete fermati voi? Perché? Giustificare la risposta. Quanti elementi fanno parte dell intorno di S? Tale numero dipende da S o è costante? Perché? Giustificare la risposta. 3). Dobbiamo risolvere un problema P definito su un grafo con n nodi. A tale scopo abbiamo a disposizione un algoritmo esatto A che ci fornisce una soluzione ottima al problema dopo avere effettuato O(n 3 ) operazioni elementari. Sapendo che il calcolatore che possiamo utilizzare impiega secondi per una operazione elementare, quale é il massimo numero di nodi che può avere il grafo per poter ottenere una soluzione entro 1 minuto e 48 secondi?

2 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta (10 cfu), I parte; Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 (5 cfu); AA Prova del 19 Novembre 2010 Compito B 1). Un circolo velico deve formare delle squadre (=equipaggio+riserve) per 7 barche scegliendo alcuni velisti tra i 40 che ha a disposizione. In particolare, 3 barche devono avere un equipaggio da 2 persone ciascuna, 2 barche devono avere un equipaggio da 3 ciascuna, e 2 da 5 ciascuna. Le riserve servono per fronteggiare gli imprevisti: si prevede 1 atleta di riserva per le barche con equipaggi da 2 o 3 persone, e 2 atleti di riserva per le barche con equipaggio da 5 persone. La bravura di ogni velista su ciascuna barca è una quantità nota (dare un nome opportuno a questi dati!). Scrivere una formulazione che permetta di stabilire le squadre assegnate a ogni barca, nell ottica di massimizzare la bravura totale degli equipaggi (e non delle squadre..., attenzione!), e in modo tale che ogni atleta venga assegnato ad al più un equipaggio o, in alternativa, sia riserva in al più 2 squadre. 2). Si consideri una istanza di tsp definita su un grafo G = (V, E) completo e non orientato con V = 7 nodi e in cui le lunghezze degli archi sono sintetizzate nella seguente matrice L il cui generico elemento l i,j rappresenta la lunghezza dell arco (i, j) E Applicare l algoritmo di Christofides al grafo dato, a partire, però, da un albero ricoprente qualsiasi, e sia S la soluzione determinata. Possiamo affermare che S è una soluzione approssimata? Perchè?. Il valore S della soluzione ci permette di definire un Lower Bound al valore di una soluzione ottima del problema? E un Upper Bound? Commentare. Chiamiamo S la soluzione che si otterrebbe applicando l algoritmo di Christofides a partire da un albero ricoprente di lunghezza minima. Rispondere alle 2 domande precedenti considerando S al posto di S. Giustificare le risposte. 3). Vogliamo risolvere un problema di Knapsack definito su n oggetti, in cui lo zaino può sopportare al massimo un peso di b, utilizzando l algoritmo di programmazione dinamica. Ricordando che la funzione f(r, λ) va valutata volte, e sapendo che il calcolatore che abbiamo a disposizione impiega secondi per determinare il valore di f(r, λ) in corrispondenza di una coppia (r, λ), otteniamo una soluzione in più breve tempo per un problema P 1 con n 1 = 100 oggetti e b 1 = 45kg, oppure per il problema P 2 definito come P 1 ma con la capacità espressa in grammi? Giustificare la risposta.

3 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 AA Appello del 7 Febbraio 2011 Compito A { 2x2 se x 1. Scrivere una formulazione per minimizzare la funzione f(x 1, x 2 ) = 1 > 4 su una regione 2x se x 1 4 ammissibile R = conv(s) B, dove S è l insieme dei punti {(4, 4), (1, 7), (4, 10)} e B = {(x 1, x 2 ) : 4 x e 3 x 2 7}. 2. Sia dato un problema di tsp definito su un grafo con 10 nodi, completo e non orientato, in cui la lunghezza l i,j del generico arco (i, j) è riportata nella seguente matrice (da completare) Descrivere i metodi che si possono utilizzare per determinare una soluzione ammissibile, e applicare quello che sembra più adatto. 2.2 Definire con precisione tutto quello che serve per poter applicare un algoritmo di Ricerca Locale, e effettuarne 2 iterazioni (a meno che l algoritmo non si arresti prima) 2.3 La soluzione determinata è ammissibile? È ottima? 2.4 Il valore della soluzione appena determinata ci permette di derivare Upper e/o Lower Bound al valore di una soluzione ottima dell istanza data, o di sapere se l istanza data ammette una sola soluzione ottima o più soluzioni ottime? 2.5 Mostrare che l uso del Calcolo Incrementale dei costi rende la complessità computazionale dell algoritmo inferiore a quando tale Calcolo non viene usato. 3. La casa di campagna di Elena spesso resta senza corrente non appena arriva un temporale. Elena, per la sua tesi, deve mandare in esecuzione, due algoritmi, sul suo PC che effettua operazioni elementari al secondo, uno di complessità computazionale O(n 4 ) e l altro di complessità O(2 n ), dove n è il numero di nodi di un grafo. Le previsioni meteo per gli agricoltori locali di solito molto precise hanno appena detto che tra 3 ore si scatenerà sulla zona un violento temporale. Elena ha 4 grafi a disposizione, uno con 40 nodi, uno con 500, uno con 1000, e uno con Quale algoritmo può mandare in esecuzione, e su quale grafo, per avere i risultati prima che vada via la corrente? Elencare tutte le alternative algoritmo/grafo possibili 3.2 Con quanto anticipo ottiene i risultati rispetto al previsto arrivo del temporale?

4 Metodi e Modelli di Ottimizzazione Discreta 1 AA Appello del 7 Febbraio 2011 Compito B { 5x3 + x 1. Scrivere una formulazione per minimizzare la funzione f(x 1, x 2 ) = 4 se x 1 = 1 5x 3 + x se x 1 = 0, con (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) {0, 1} 5 F dove F è la famiglia dei sottoinsiemi di {a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 } che contegono o 2 o 3 elementi, e tali che se contengono a 2 non contengono né a 5 né a Ogni elemento l i,j della matrice che segue rappresenta la lunghezza dell arco (i, j) di un grafo con 10 nodi, completo e non orientato, Scrivere per esteso la formulazione del tsp per il grafo dato. 2.2 È possibile definire una problema P che sia una rilassamento combinatorio per il tsp dato? Se sı, scrivere per esteso una formulazione di P, e definire il problema P nel formato Dato... Trovare... Tale che È possibile definire Lower e Upper Bound per il tsp utilizzando P? 2.4 Quali delle seguenti affermazioni sono vere: i) tutte le soluzioni ammissibili per tsp sono ammissibli anche per P; ii) tutte le soluzioni ammissibilii e ottime per tsp sono ammissibili e ottime anche per P; iii) tutte le soluzioni ammissibili per P sono ammissibli anche per tsp; iv) tutte le soluzioni ammissibilii e ottime per P sono ammissibili e ottime anche per tsp? Mostrare degli esempi che convalidino le affermazioni non vere. 3. Sia dato il seguente problema di Knapsack: max z = 5x 1 + 7x 2 + 3x 3 + 6x 4 + 3x 5 4x 1 + 5x 2 + 3x 3 + x 4 + 2x x 1 e intero 3.1 Determinare la soluzione ottima e il suo valore con l algoritmo di Programmazione Dinamica. 3.2 Determinare la soluzione ottima e il suo valore nel caso in cui il problema sia limitato alle prime 4 variabili e la capacità dello zaino sia Quale è la complessità computazionale dell algoritmo? Mostrare la dipendenza dalla lunghezza dell input dei valori che compaiono nella formula della complessità. 3.4 Calcolare la lunghezza dell input dell istanza data.

5 AA , appello del 23 Febbraio 2011 Compito A 1). Si consideri la seguente formulazione F, in cui A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 6), (4, 6), (5, 6)}. min t f s.t. t f t t f t t f t t f t t f t t f t t t 2 + M(1 y 1,2 ) t t 4 + M(1 y 3,4 ) t t 1 + My 1,2 t t 3 + My 3,4 t t 3 + M(1 y 1,3 ) t 3 t t t 1 + My 1,3 ) t t 6 + M(1 y 3,6 ) t t 4 + M(1 y 1,4 ) t t 3 + My 3,6 t t 1 + My 1,4 t 4 t t t 5 + M(1 y 1,5 ) t t 6 + M(1 y 4,6 ) t t 1 + M t t 4 + My 4,6 t t 6 t t 6 + M(1 y 5,6 ) t t 3 + M(1 y 2,3 ) t t 5 + My 5,6 t t 2 + My 2,3 t 4 11 t t 4 t 3 = w t t 5 + M(1 y 2,5 ) y 4,5 + y 4,6 y 1,4 y 2,4 y 3,4 = 1 t t 2 + My 5,2 y 5,6 1 y 2,5 t 2 t t i 0 per ogni i = 1,..., 6 t f 0 y i,j {0, 1} per (i, j) A w {0, 1} 1.2) Che significato hanno le variabili y i,j in F? 1.1) Disegnare il grafo G delle precedenze (seguendo la convenzione che un arco orientato da v h a v k indica che il lavoro corrispondente al nodo v h deve essere terminato prima che il lavoro corrispondente al nodo v k incominci). 1.3) Scrivere a parole nel formato Dati..., Trovare..., Tale Che... il testo del problema di scheduling che corrisponde a F. 2). Si considerino il problema del Massimo Matching e il problema del Minimo Node Cover. 2.1) Disegnare un grafo G = (V, E) con almeno 6 nodi, in cui il valore del Massimo Matching sia uguale al valore del Min Node Cover. 2.2) La matrice di incidenza di G è totalmente unimodulare? 3). Si consideri il seguente pli: min z = 3x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 6x 4 s.t. 2x 1 + 8x 2 + 4x 3 + 5x 4 10 x {0, 1} 4 3.1) Scrivere il Rilassamento Lagrangiano e determinare un Lower Bound per z. 3.2) La soluzione (x 1, x 2, x 3, x 4 ) che ha permesso di calcolare il Lower Bound è ammissibile per il problema dato?

6 AA , appello del 23 Febbraio 2011 Compito B 1). Si considerino 6 attività nessuna delle quali può essere svolta in parallelo con altre, e la cui durata è(4, 7, 5, 2, 6, 1). Scrivere una formulazione per determinare l istante di inizio di ogni attività nell ottica di minimizzare l istante di tempo in cui viene completata l ultima attività della sequenza, e sapendo che: 1.1) il grafo delle precedenze ha i seguenti archi orientati (v 1, v 6 ), (v 2, v 4 ), (v 6, v 2 ), (v 5, v 3 ), (v 5, v 4 ) (un arco orientato (v h, v k ) indica che l attività corrispondente al nodo v h deve essere terminata prima che l attività corrispondente al nodo v k incominci); 1.2) l attività j 5 deve essere la terza attività della sequenza; 1.3) l attività j 2 deve incominciare al minuto 10 o al minuto 15; 1.4) se j 2 precede j 5 allora j 6 precede j 5. 2). Si considerino il problema del Massimo Matching e il problema del Minimo Node Cover. 2.1) Disegnare un grafo G = (V, E) con almeno 6 nodi, in cui il valore del Massimo Matching sia diverso dal valore del Min Node Cover. 2.2) La matrice di incidenza di G è totalmente unimodulare? 3). Si consideri il seguente pli: max w = 4x 1 + 9x 2 + 5x 3 + 2x 4 s.t. 3x 1 + 9x 2 + 7x 3 + 2x 4 12 x {0, 1} 4 3.1) Scrivere il Rilassamento Lagrangiano e determinare un Upper Bound per z. 3.2) La soluzione (x 1, x 2, x 3, x 4 ) che ha permesso di calcolare l Upper Bound è ammissibile per il problema dato?

7 AA , appello del 27 Giugno ). Un circolo organizza centri estivi stanziali per 24 tra bambini e bambine. Il circolo vuole utilizzare il minimo numero di tende tra quelle disponibili, rispettando però alcuni vincoli. Ci sono 6 tende in totale, a 4 di queste possono essere assegnati al massimo 6 bambini ciascuna, alle altre 2, invece, al massimo 3 bambini ciascuna. Inoltre, in ogni tenda ci devono essere solo bambini maschi o solo bambine femmine. Formulare il problema commentando bene ogni scelta (se di aiuto, indicare con M l insieme dei bambini e con F l insieme delle bambine). 2). Si consideri problema del tsp su un grafo completo e orientato con n = 8 nodi, e pesi sugli archi definiti a piacere in modo tale che il peso del generico arco (v i, v j ) sia uguale al peso dell arco (v j, v i ). 2.1) Scegliere l algoritmo di Ricerca Locale che si ritiene più adatto, motivando la scelta e descrivendo dettagliatamente tutto quello che serve per poterlo applicare. 2.2) Se i dati del problema lo permettono, effettuare 2-3 iterazioni dell algoritmo scelto. La soluzione ottenuta è ammissiile? E ottima? Commmentare bene ogni passaggio. 2.3) Se non aveste interrotto l algoritmo alle 2-3 iterazioni del punto sopra, quando si sarebbe fermato? E perché? E possibile conoscere a priori il numero di iterazioni dopo le quali l algoritmo sarebbe giunto a termine? Giustificare le risposte. 3). Si consideri un problema di Massimo Matching. 3.1) Scrivere l enunciato del problema in forma decisionale, commentando adeguatamente. 3.2) Si supponga poi di utilizzare un solutore per la versione decisionale del problema. Volendo risolvere il problema su un grafo con 32 archi, stabilire il valore k 0 del parametro k al Passo ) Supponendo che la risposta del solutore per k = k 0 sia si, determinare i valori k 1, k 2, k 3 del parametro k al Passo 1, 2, 3, rispettivamente, sapendo che le successive 2 risposte ottenute, nell ordine, sono si, no e no. 3.4) Quali sono i migliori Upper e Lower Bound determinati fino ad ora per la cardinalità del Massimo Matching?

8 AA , appello del 14 Luglio ). Tempo di vacanze...: Un traghetto deve caricare 24 macchine di piccole dimensioni (P ), 39 di medie dimensioni (M), 14 di grandi dimensioni (G), e 11 SUV (S). I responsabili del garage del traghetto sanno che una area (come loro la chiamano) può essere occupata in diversi modi, che ora elenchiamo: a) 6P, 2M, 2G, 2S; b) 5P, 2M, 3G, 2S; c) 3P, 3M, 3G, 3S; a) 9P, 1S. Sapendo che vi sono 100 aree disponibili, scrivere una formulazione nell ottica di caricare tutte le macchine minimizzando il numero di aree occupate. 2). Si consideri un insieme B = {a 1, a 2,... a n } di n = 12 elementi e con m = 8 sottoinsiemi S 1,..., S m (la riga i-esima della matrice indicata qua sotto indica il vettore di incidenza del sottoinsieme S i ). A = ) Scrivere per esteso la formulazione del problema di Set Covering. 2.2) Scegliere un algoritmo Greedy tra quelli studiati, descrivendo dettagliatamente tutto quello che serve. 2.3) Applicare l algoritmo scelto al problema in esame. 2.4) La soluzione determinata è ammissibile? E ottima? Giustificare la risposta. 3). Descrivere, con precisione e dettaglio, tutte le condizioni che permettono di chiudere un sottoproblema durante l applicazione del Branch&Bound a un problema di minimizzazione. Eventualmente aggiungere dei piccoli esempi numerici.

9 AA , appello del 26 Settembre ). Si consideri un insieme di 6 elementi A = {a 1,..., a 6 } di costo 3,4,2,6,5,1, rispettivamente, e sia F la famiglia dei sottoinsiemi X di A che verificano le seguenti condizioni: i) se a 1 e a 2 appartengono a X allora a 6 non appartiene a X, ii) X non deve contenere più di due elementi di indice dispari; iii) la somma dei costi degli elementi di X non deve essere inferiore a 9. Scrivere una formulazione per determinare il sottoinsieme X F di costo maggiore. 2). Scrivere la formulazione del minimo covering by nodes per il grafo G = (V, E) in cui V = {v 1,..., v 9 } e E = {(v 1, v 2 ), (v 1, v 3 ), (v 1, v 9 ), (v 2, v 4 ), (v 2, v 7 ), (v 3, v 7 ), (v 5, v 6 ), (v 6, v 8 ), (v 6, v 9 ), (v 7, v 9 )}. Elencare almeno 2 tra i sottografi più significativi per il calcolo di un Lower Bound per il problema, e calcolare un (buon) Lower Bound. Determinare una soluzione ammissibile, e verificare se tale soluzione è anche ottima. Commentare adeguatamente. 3). Risolvere all ottimo il seguente problema motivando dettagliatamente le scelte fatte. max 3000x x x x x 5 250x x x x x x 1,..., x 5 {0, 1}.