Processi di cost management - Programmazione multiperiodale

Transcript

1 Processi di cost management - Programmazione multiperiodale Queste slide (scrte da Carlo Mannino) riguardano il problema di gestione delle attivà di un progetto allorché i costi di esecuzione sono legati all istante di inizio delle attivà. Non siamo cioè nel caso in cui I costi sono legati alla durata: le durate delle attivà saranno considerate fisse e note a priori. Inoltre, non supporremo presenti vincoli di risorsa. Supporremo invece che tra le attivà possono sussistere relazioni di precedenza geenralizzate. In queste slide è presentata una formulazione del problema, e la sua riduzione a un problema di minimo taglio (o sezione) su un grafo orientato, problema notoriamente semplice, risolubile ad esempio trame l algormo di Ford-Fulkerson.

2 Piani con costi dipendenti da start-time Trattiamo ora il caso in cui il costo di un attivà dipende dall istante iniziale Questo è il caso, per esempio, quando le attivà comportano dei flussi di cassa. Assunzioni: le attivà sono rappresentate da un AoN con precedenze generalizzate G = (V,A) Le relazioni di precedenza generalizzate sono normalizzate (s i + l ij s j ij A ) L orizzonte temporale è 0,,,T. Per ogni attivà i e ogni istante t {0,,,T}, si indica con w il costo di iniziare l attivà i all istante t. L obiettivo è determinare un piano che minimizzi la somma dei costi. Il problema può essere formulato come problema di programmazione lineare 0,

3 Formulazione multiperiodale Il problema della scelta del piano in presenza di costi dipendenti dall istante di attivazione può essere formulato come problema di programmazione 0, Variabili i V e t {0,, T} definiamo una variabile binaria se l attivà i comincia nel periodo t (s i = t) = 0 altrimenti Vincoli - L attivà i comincia in un singolo istante di tempo T t 0 i [5.] - Per ogni attivà i si può calcolare un EST i e un LST i 0 i, t EST i 0 i, t LST i - Se esiste l arco (i,j) di peso l ij e l attivà i comincia all istante t, l attivà j non può cominciare prima di t + l ij. t l ij q 0 jq i ij E, t T [5.] l ij 6 j

4 min n Riassumendo la formulazione T i t 0 w T t 0 t l ij q 0 jq i [5.] ij E, t T [5.] 0 i, t EST 0 i, t LST i i { 0,} i, t 0,..., T OSS. Le variabili fissate a 0 possono essere direttamente eliminate dai vincoli in cui sono presenti e dalla f.o. Quindi, non serve introdurle. Questa formulazione può essere rafforzata con semplici considerazioni. 8

5 Esempio 5 FS min (0) SF min (0) FS min (0) FS min () j durata EST LST Fissiamo la deadline T = 6 l ji = -SS ma ij l ij = SF min ij - d j l ij = d j -SF ma ij l ij = d i + FS min ij l ji = -d i -FS ij ma l ij = d i -d i + FF ij min l ji = d j -d i -FF ij ma

6 Esempio Deadline T = 6 j durata EST LST Soluzione ammissibile 0 = = 0 = 0 = 5 = Costi w j\t Costo soluzione: = 6 OSS. Il problema di programmazione 0, è difficile Tuttavia il nostro problema può essere risolto efficientemente mediante opportuna rappresentazione

7 Tagli nel grafo Dato un grafo orientato H=(W,A) due nodi speciali a,b W Def. Taglio a-b: partizione dell insieme W in due insiemi Q e R con a Q e b Q Def. Capacà dell arco uv A: reale non negativo c uv Def. Capacà del taglio a-b c(q, R): somma delle capacà degli archi uscenti da nodi in Q ed entranti in nodi in R. c( Q, R) c uv u Q, v R 5

8 Esempio di Taglio a b Q = {a,, 7} R = {b,,, 5, 6} c(q,r) = c a + c a + c 76 + c 7b = PROBLEMA del minimo taglio a-b: trovare un taglio a-b (Q, R) di capacà minima Equivalente al problema del massimo flusso inviabile da a a b. 6

9 Trasformazione in min-cut In primo luogo si costruisce un grafo orientato H = (W, A) con capacà c a per a A. - Per ogni i V, sia W i = {v : EST i t LST i + } ovvero, per ogni attivà i c è un nodo per ogni possibile istante iniziale + un nodo finale. Insieme dei nodi W = i W i {a, b}, ovvero tutti i nodi associati alle attivà, più due nodi ftizi che saranno sorgente e pozzo del grafo. -ArchiA: unione di tre insiemi di archi archi di assegnamento: {(v, v + ): i, v,v + W i }: quindi ogni attivà definisce un cammino (v i,est(i), v i,est(i)+ ),, (v i,lst(i), v i,lst(i)+ ) archi di temporali: {(v, v jt+l(i,j) ): v W i v jt+l(i,j) W j } sono gli archi che rappresentano le relazioni temporali fra attivà archi ftizi: {(a,v i,est(i) ): i V} un arco dalla sorgente a al primo nodo del cammino associato all attivà i {(v i,lst(i)+, b): i V} un arco dall ultimo nodo del cammino associato all attivà i al pozzo b - Capacà: capacà degli archi assegnamento (v, v + ) pari a w. Tutte le altre capacà pari a +. 7

10 Esempio di grafo orientato j durata EST LST v 0 v v v v w j\t a 5 v v v v v 5 v 0 v v v v v 0 v v v v 5 v 5 v 55 v 56 OSS. Possono essere omessi gli archi temporali entranti nel primo nodo e uscenti dall ultimo nodo di ogni attivà. + b 8

11 Equivalenza piani/tagli Lemma. Ogni soluzione ammissibile di costo pari a (Q,R) nel grafo H di capacà pari a c(q,r) = w T. w T corrisponde a un taglio Dim. Per ogni attivà i esiste un solo t(i) T per cui ( i) ( si t( i)) Poni Q = {v : i, t s i }, R = W-Q. Quali archi attraversano il taglio da Q a R? Gli i archi (di assegnamento) da v (i) a v (i)+ di capacà pari a w (i). La capacà T complessiva di questi archi è proprio pari a w w w... w Nessun altro arco. T t 0 s Da[5.], per ogni attivà un solo arco di assegnamento attraversa il taglio. Per assurdo, se un arco temporale (v iq v jp ) attraversa il taglio: a. Poiché c è un arco (v iq v jp ), esiste un vincolo s j - s i l ij = p q. b. Poiché (v iq v jp ) attraversa da Q a R, v iq Q, e v jp R c. v iq Q, implica s i q. v jp R implica s j < p s j - s i < p q. contrad. Grazie a [5.], per ogni attivà i esiste v Q con EST(i) t LST(i) mentre si ha sempre v i,lst(i)+ R. s i ns n [5.] 9

12 Esempio di grafo orientato 5 v 0 v v v v a Q 5 v v v v v 5 v 0 v v v v v 0 v v v R v 5 v 5 v 55 v 56 + b Soluzione ammissibile 0 = = = 0 = 5 = s = s = s = 0, s =, s 5 = 0

13 Equivalenza tagli/piani Lemma. Sia (Q,R) un taglio di capacà fina nel grafo H. Allora esiste una soluzione di costo w T c(q,r). La dimostrazione costruttiva viene omessa. La costruzione consiste nel definire una soluzione associata al taglio ponendo = se v è l ultimo nodo associato ad i in Q (ovvero se esiste v ir v in Q, allora sarà r < t). Dai due lemmi precedenti si ricava: Teorema. Sia (Q*,R*) un taglio di capacà minima nel grafo H e sia * una soluzione ottima di P. Allora w T * = c(q*,r*). P può essere risolto utilizzando un algormo che calcola un taglio a capacà minima fra a e b in H. Il taglio a capacà minima può essere calcolato utilizzando l algormo di Ford e Fulkerson per il flusso massimo da a a b. (capacà del taglio minimo = valore del flusso massimo).