Grafi (orientati): cammini minimi

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1 Grafi (orientati): cammini minimi Una breve presentazione

2 Definizioni Sia G=(V,E) un grafo orientato con costi w sugli archi. Il costo di un cammino π=<v 0,v 1,v 2,,v k > è dato da: Un cammino minimo tra una coppia di vertici x e y è un cammino di costo minore o uguale a quello di ogni altro cammino tra gli stessi vertici.

3 Proprietà dei cammini minimi Sottostruttura ottima: ogni sottocammino di un cammino minimo è anch esso minimo Grafi con cicli negativi: se due vertici x e y appartengono a un ciclo di costo negativo, non esiste nessun cammino minimo finito tra di essi Se G non contiene cicli negativi, tra ogni coppia di vertici connessi in G esiste sempre un cammino minimo semplice, in cui cioè tutti i vertici sono distinti

4 Distanza fra vertici La distanza d xy tra due vertici x e y è il costo di un cammino minimo tra da x a y, o + se i due vertici non sono connessi Disuguaglianza triangolare: per ogni x, y e z Condizione di Bellman: per ogni arco (u,v) e per ogni vertice s

5 Alberi di cammini minimi Un arco (u,v) appartiene a un cammino minimo a partire da un vertice s se e solo se u è raggiungibile da s e d su +w(u,v)=d sv I cammini minimi da un vertice s a tutti gli altri vertici del grafo possono essere rappresentati tramite un albero radicato in s, detto albero dei cammini minimi

6 Calcolare cammini minimi dalle distanze

7 Tecnica del rilassamento Partendo da stime per eccesso delle distanze D xy d xy aggiornare le stime, decrementandole progressivamente fino a renderle esatte. Aggiornamento delle stime basato sul seguente passo di rilassamento:

8 Algoritmo generico per il calcolo delle distanze rilassamento

9 Algoritmo di Bellman e Ford (per cammini minimi a sorgente singola)

10 Ordine di rilassamento Sia π =< s,v 1,v 2,,v k > un cammino minimo. Se fossimo in grado di eseguire i passi di rilassamento nell ordine seguente: in k passi avremmo la soluzione. Purtroppo non conosciamo l ordine giusto, essendo π ignoto

11 Approccio di Bellman e Ford Esegue n passate In ciascuna passata rilassa tutti gli archi Dopo la j-esima passata, i primi j rilassamenti. corretti sono stati certamente eseguiti Esegue però molti rilassamenti inutili!

12 Pseudocodice Tempo di esecuzione: O(nm)

13 Algoritmo per grafi diretti aciclici (per cammini minimi a sorgente singola)

14 ammini minimi in grafi aciclici Eseguire i rilassamenti in ordine topologico Tempo di esecuzione: O(n+m)

15 Algoritmo di Dijkstra (per cammini minimi a sorgente singola in grafi con costi non negativi)

16 stendere l albero dei cammini minimi Se T è un albero dei cammini minimi radicato in s che non include tutti i vertici raggiungibili da s, l arco (u,v) tale che u T e v T che minimizza la quantità d su +w(u,v) appartiene a un cammino minimo da s a v

17 Approccio di Dijkstra Scegli un arco (u,v) con u T e v T che minimizza la quantità D su +w(u,v), effettua il passo di rilassamento D sv D su +w(u,v), ed aggiungilo a T Archi incidenti a T mantenuti in una coda con priorità, prestando attenzione ad avere un solo arco per ogni nodo v T: se (u,v) è in coda quando analizziamo (z,v) e risulta D sz +w(z,v) < D su +w(u,v), rimpiazziamo (u,v) con (z,v)

18 Tempo di esecuzione Al più n insert, n deletemin e m decreasekey O(m log n) utilizzando heap O(m+n log n) utilizzando heap di Fibonacci

19 Pseudocodice

20 sempio (1/2)

21 Esempio (2/2)

22 Riepilogo Algoritmi classici per il calcolo di distanze (e quindi di cammini minimi), basati sulla tecnica del rilassamento: Bellman e Ford: cammini minimi a sorgente singola, grafi diretti senza cicli negativi, tempo O(nm) Grafi diretti aciclici: cammini minimi a sorgente singola in tempo O(n+m) Dijkstra: cammini minimi a sorgente singola, grafi diretti senza pesi negativi, tempo O(m+n log n)