Grafi: ordinamento topologico

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1 .. Grafi: ordinamento topologico Che cosa e e come si calcola

2 Che cosa e un ordinamento topologico F. Damiani - Alg. & Lab. 04/05

3 Una definizione di ordinamento topologico Definizione. Funzione σ: V {1, n} tale che σ(u)< σ(v) se esiste un cammino da u a v in G Proprietà. Esiste se e solo se G è aciclico F. Damiani - Alg. & Lab. 04/05 (da C. Demetrescu et al - McGraw-Hill)

4 Un altra definizione di ordinamento topologico (equivalente alla precedente) Proprietà. Dato un grafo orientato aciclico ( dag ), è sempre possibile ordinare i suoi vertici in modo che, per ogni arco <u, v> del grafo, u preceda v nell ordinamento. Definizione. Un ordinamento topologico di un dag è un ordinamento lineare dei suoi vertici che soddisfa la condizione precedente, cioè, per ogni arco <u, v> del grafo, u precede v nell ordinamento.

5 Un algoritmo per il calcolo di un ordinamento topologico F. Damiani - Alg. & Lab. 04/05

6 Un algoritmo per il calcolo di un ordinamento topologico Tempo di esecuzione: O(n+m)? F. Damiani - Alg. & Lab. 04/05 (da C. Demetrescu et al - McGraw-Hill)

7 Un altro algoritmo per il calcolo di un ordinamento topologico F. Damiani - Alg. & Lab. 04/05

8 Esempio (1/2) Dato il grafo: A C F E B L ordinamento: F C E D A B D È un ordinamento topologico Infatti disegnando gli archi del grafo essi risultano tutti orientati nella stessa direzione (da sinistra verso destra): F C E D A B

9 Esempio (2/2) A C F E B D Ma non è l unico, anche i seguenti sono ordinamenti topologici A B C F D E C D A F E B

10 Riprendiamo l esempio (1/5) E possibile usare una visita del grafo per scoprire un suo ordinamento topologico? Visitando il grafo in profondità considerando i vertici in ordine alfabetico: A B C D E F Si ottengono i seguenti tempi di inizio e fine visita: 1/4 2/3 A B 5/10 C F 11/12 E 8/9 6/7 D

11 Riprendiamo l esempio (2/5) Riportiamo i tempi sui vertici nel primo ordinamento preso in esame F C E D A B 11/12 5/10 8/9 6/7 1/4 2/3 Anche per gli altri due ordinamenti si possono trovare degli ordini, in cui considerare i vertici per effettuare una visita in profondità, che permettono di intuire quale informazione ottenuta con la visita stessa è utile per scoprire un ordinamento topologico.

12 Riprendiamo l esempio (3/5) Per il secondo ordinamento, se visitiamo i vertici nell ordine: E D F C A B, si ottiene: 9/12 10/11 A B 7/8 C F 5/6 E 1/2 3/4 D A B C F D E 9/12 10/11 7/8 5/6 3/4 1/2

13 Riprendiamo l esempio (4/5) Ed infine, visitando i vertici nell ordine B E F A C B, si ottiene, per il terzo ordinamento: 7/8 1/2 A B 9/12 C F 5/6 E 3/4 D 10/11 C D A F E B 9/12 10/11 7/8 5/6 3/4 1/2

14 Riprendiamo l esempio (5/5) Che cosa hanno in comune i tre ordinamenti, rispetto alle visite? F C E D A B 11/12 5/10 8/9 6/7 1/4 2/3 A B C F D E 9/12 10/11 7/8 5/6 3/4 1/2 C D A F E B 9/12 10/11 7/8 5/6 3/4 1/2 I vertici sono sempre in ordine decrescente dei tempi di fine visita

15 Un algoritmo per calcolare un ordinamento topologico Adattiamo la struttura standard dell algoritmo di visita al problema dell ordinamento topologico. Basta creare una lista dei vertici in ordine decrescente dei tempi di fine visita.

16 Topological_Sort (G, L ) INIZIALIZZA (G) for ogni u V do if color [u] =white then DFS-topologica (G, u, L ) DFS-topologica (G, u, LISTA) color [u] gray d[u] time time + 1 for ogni v ADJ [u] do if color [v] = white then π[v] u DFS-topologica (G, v, LISTA ) color [u] black f[u] time time + 1 InserimentoInTesta (u, LISTA)

17 omplessità dell algoritmo per calcolare un ordinamento topologico Complessità: O(V+E)

18 orrettezza dell algoritmo per calcolare un ordinamento topologico Lemma. Una (qualunque) DFS di un grafo orientato aciclico associa ai vertici tempi di fine visita tali che: f[v] < f[u] per ogni arco <u, v> del grafo. Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che per almeno un arco <u, v> si abbia f[v] > f[u]. 1) d[u] f[u] d[v] f[v] Impossibile perche u non puo diventare nero prima che v diventi grigio, ossia prima che tutti i suoi adiacenti siano stati scoperti. 2) d[v] d[u] f[u] f[v] Impossibile perche u sarebbe discendente di v in un albero della foresta e l arco <u, v> sarebbe un arco all indietro, ma G e un grafo aciclico.

19 In conclusione { G grafo orientato aciclico } Topological_Sort (G, L) INIZIALIZZA (G) for ogni u V do if color [u] =white then DFS-topologica (G, u, L) { L contiene i vertici di G in ordine topologico }

20 Riepilogo Due definizioni equivalenti di ordinamento topologico di un grafo orientato aciclico (il che cosa ) Due algoritmi specifici (il come ) Un algoritmo ingenuo Un algoritmo efficiente (basato sulla visita in profondità)