Cammini Minimi. Algoritmo di Dijkstra

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1 Cammini Minimi Algoritmo di Dijkstra

2 Cammino in un grafo Dato un grafo G=(V,E), un Cammino (Percorso) in G è un insieme di vertici v 1, v 2,.., v k tali che (v i, v i+1 ) E v 1 v 2 v 3 v k In un grafo orientato si farà riferimento a cammini diretti Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 2

3 Connettività in grafi non orientati Due vertici u,v sono connessi in un grafo non orientato se esiste un cammino che collega u e v Un grafo è connesso se per ogni coppia di vertici u e v, u e v sono connessi Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 3

4 Connettività in grafi orientati Due vertici u e v sono connessi in un grafo orientato se esiste un cammino diretto che collega u a v Un grafo diretto è fortemente connesso se per ogni coppia (u,v), esiste un cammino da u a v e da v ad u Un grafo è debolmente connesso se per ogni coppia (u,v), esiste un cammino da u a v (o viceversa) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 4

5 Costo di un cammino Sia G = (V,E) un grafo orientato ai cui archi è associato un costo W(u,v). Il costo di un cammino p = (v 0,v 1,...,v k ) è la somma dei costi degli archi che lo costituiscono W( p) = k W i = ( v v 1 i 1, i ) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 5

6 Costo di un cammino minimo Il costo minimo del cammino da un vertice u ad un vertice v è definito nel seguente modo: min {W(p)} se esistono cammini p da u a v δ(u,v) = altrimenti Un cammino minimo da u a v è un cammino p da u a v di costo W(p) = δ(u,v) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 6

7 Varie versioni del problema 1 Nel problema dei cammini minimi viene richiesto di calcolare i cammini minimi in un grafo orientato Vi sono quattro versioni del problema: Cammini minimi da un'unica sorgente a tutti gli altri vertici (Single Source Shortest Paths) Cammini minimi da ogni vertice ad un'unica destinazione (Single Destination Shortest Paths) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 7

8 Varie versioni del problema 2 Cammini minimi da un'unica sorgente ad un unica destinazione (Single-Pair Shortest Path) Cammini minimi da ogni vertice ad ogni altro vertice (All Pairs Shortest Paths) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 8

9 Risoluzione dei vari problemi Noi risolveremo la prima istanza La seconda istanza si risolve simmetricamente La terza si può risolvere usando la soluzione della prima Non si conosce ancora un algoritmo che risolva la terza istanza in tempo asintoticamente migliore della prima La quarta istanza si può risolvere usando la soluzione della prima per ogni vertice del grafo In genere si può fare di meglio Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 9

10 Esempio di applicazione Si supponga di voler determinare il percorso più breve (in termini di chilometri) che collega due luoghi A e B Se si modella la carta stradale su cui compaiono A e B come un grafo in cui: I vertici sono gli incroci Gli archi sono i tratti di strada tra incroci successivi I pesi degli archi sono le distanze in chilometri di ciascun arco Il problema si riconduce a quello dell'identificazione del cammino minimo dal vertice corrispondente ad A al vertice corrispondente a B Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 10

11 Esempio di cammino minimo 12 v 1 v 2 s t 13 v 3 9 v 4 14 cammino minimo Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 11

12 Note Nel caso di grafi non pesati, l'identificazione dell'albero dei cammini minimi può essere eseguita tramite la procedura di visita in ampiezza Non vogliamo calcolare solo il costo dei cammini minimi, ma anche i cammini minimi stessi Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 12

13 Archi di costo negativo Nel grafo orientato ci potrebbero essere anche archi di costo negativo Questi archi potrebbero creare dei problemi nell individuazione dei cammini minimi Vi potrebbero essere dei cicli di costo negativo raggiungibili da s Se un vertice u è raggiungibile da s tramite un cammino p che passa per un vertice appartenente ad un ciclo di costo negativo, allora esisteranno cammini da s a u di costo sempre minore costo minimo di cammino δ(s,u) non è definito Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 13

14 Esempio u s c 7 a b Nel caso di cicli negativi si pone δ(s,u)= Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 14

15 Archi di costo positivo Supporremo che il grafo orientato avrà solo archi di costo positivo In questo caso il cammino di lunghezza minima non contiene cicli Dimostrazione? Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 15

16 Teorema: Sottostruttura ottimale Se p è un cammino minimo da u a v, allora ogni sotto-cammino di p èanche un cammino minimo In altre parole: Se il cammino p = (v 0,v 1,...,v k ) è minimo allora sono minimi anche tutti i sottocammini p ij = (v i,...,v j ). Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 16

17 Dimostrazione Se esistesse un cammino q da v i a v j di costo minore di p ij allora sostituendo nel cammino p il sottocammino p ij con il cammino q si otterrebbe un cammino da v 0 a v k di costo minore di p Impossibile se p è minimo v 0 v i X v j v k q Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 17

18 Scomposizione dei costi di un cammino minimo Se p è un cammino minimo da s ad un vertice v ed u è il vertice che precede v nel cammino allora δ(s,v) = δ(s,u) + W(u,v) Dimostrazione: Dipende dalla sottostruttura ottima: δ(s,v) = W(p) = δ(s,u) + W(u,v) s p' Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 18 u v

19 Limite superiore per i costi di cammino minimo Per ogni arco (u,v) vale la disuguaglianza: δ(s,v) δ(s,u) + W(u,v) Dimostrazione Se u non è raggiungibile da s allora δ(s,u) = e δ(s,v) + W(u,v) banalmente Se u è raggiungibile da s allora δ(s,u) + W(u,v) è il costo di un cammino da s a v ed è quindi maggiore o uguale di δ(s,v) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 19

20 Rappresentazione dei cammini minimi 1 In genere ci interessa calcolare non solo i costi dei cammini minimi dalla sorgente s ad ogni vertice del grafo ma anche i cammini minimi stessi Dato un vertice u con π[u] indichiamo il predecessore di u nel cammino da s a u Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 20

21 Rappresentazione dei cammini minimi 2 G=(V,E) s V s = sorgente Definiamo G π =(V π,e π ) il sottografo predecessore di G con V π ={v V: π[v] NIL} {s} E π ={(π[v],v) E : v V π -{s}} Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 21

22 Sottografo predecessore Un sottografo predecessore G π è uno shortestpaths tree per G se V π è costituito da tutti i vertici di G raggiungibili da s G π forma un albero con radice s il cammino semplice da s a v in G π coincide con il cammino minimo da s a v in G Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 22

23 Tecnica del rilassamento L algoritmo che studieremo per risolvere il problema dei cammini minimi usa la tecnica del rilassamento Dettagli a breve Ad ogni vertice v del grafo associamo un campo d[v] che rappresenta una stima di δ(s,v) Durante l esecuzione dell algoritmo è un limite superiore per δ(s,v) [d[v] δ(s,v)]; mentre alla fine sarà uguale a δ(s,v) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 23

24 Idea dell algoritmo 1 I valori d[v] e π[v] vengono aggiornati mediante la cosiddetta tecnica del rilassamento degli archi quando viene rilassato l arco (u,v) si verifica se è possibile ottenere un cammino più breve di quello di costo d[v] attraversando l arco (u,v) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 24

25 Rilassamento di un arco Il rilassamento rispetto ad un arco (u,v) consiste nel controllare se è possibile migliorare il cammino finora trovato per v aggiungendo al cammino trovato per u l arco (u,v). Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 25

26 Idea dell algoritmo 2 Rilassamento di un arco RELAX(u, v, w) if d[u] + w(u, v) < d[v] then d[v] d[u] + w(u, v) π[v] u //predecessore di u sul cammino di costo d[v] Inizializzazione INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s) for each vertex v V[G] d[v] π[v] nil d[s] 0 Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 26

27 Effetto del rilassamento Dopo aver eseguito RELAX(u, v, w) vale la disuguaglianza d[v] d[u] + W(u,v) Se d[v] > d[u] + W(u,v) prima del rilassamento, allora viene posto d[v] = d[u] + W(u,v) Se d[v] d[u] + W(u,v) prima del rilassamento, allora non viene fatto nulla Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 27

28 Idea dell algoritmo 3 Si esegue INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s) Ogni arco (u,v) viene rilassato eseguendo RELAX(u, v, w) L algoritmo termina quando i valori di d coincidono con i pesi dei cammini minimi Si noti che se ad un certo punto d[u]=δ(s,u), allora nessuna successiva invocazione di RELAX può modificare d[u] Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 28

29 Come scegliamo gli archi? L ordine in cui gli archi vengono rilassati dipende dal tipo di algoritmo Alcuni algoritmi rilassano ciascun arco più volte Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 29

30 Nota Si può provare che qualsiasi algoritmo che esegua l inizializzazione ed una sequenza di rilassamenti per cui alla fine d[v] = δ(s,v) per ogni vertice v calcola correttamente i cammini minimi Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 30

31 Algoritmi per SSSP Vi sono due algoritmi classici di questo tipo, uno dovuto a Dijkstra ed uno dovuto a Bellman-Ford L algoritmo di Dijkstra richiede che i pesi degli archi non siano negativi mentre quello di Bellman-Ford funziona anche nel caso generale Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 31

32 Algoritmo di Dijkstra 1 Input: grafo direzionato G=(V,E) con archi di peso maggiore o uguale a 0 un vertice s che rappresenta la sorgente L algoritmo mantiene Per ogni u V, i valori d[u] e π[u] S: insieme di vertici per cui è stato già determinato un cammino minimo Per ogni u S si ha d[u]=δ(s,u) Q: coda a priorità che contiene i vertici che non sono in S Per ogni u Q, la chiave che determina la priorità di u è d[u] Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 32

33 Algoritmo di Dijkstra 2 I vertici adiacenti a quelli in S formano una frontiera tra i vertici per cui si conosce un cammino minimo e tutti gli altri vertici Ogni volta viene inserito in S il vertice della frontiera che ha il valore di d più piccolo (scelta greedy) e vengono rilassati tutti gli archi uscenti da esso Ogni arco è rilassato esattamente una volta Output: π: sottografo predecessore, d: pesi dei cammini minimi da s a tutti gli altri vertici Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 33

34 Algoritmo di Dijkstra 3 Per ogni vertice u di S è già noto il cammino minimo da s ad u S s Resto del grafo frontiera Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 34

35 Pseudocodice dell algoritmo di Dijkstra DIJKSTRA(G,w,s) 1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s) 2 S 3 Q V[G] 4 while Q 5 do u Extract-Min(Q) 6 S S {u} 7 for each v Adj[u] 8 do RELAX(u,v,w) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 35

36 Passo dell algoritmo di Dijkstra I valori nei vertici indicano i valori di d S s min(4+5, ) = min(4+8, ) = 12 Per ogni nodo u della frontiera, d[u] contiene la lunghezza di un percorso passante solo per vertici in S Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 36

37 Passo dell algoritmo di Dijkstra I valori nei vertici indicano i valori di d S s Per ogni nodo u della frontiera, d[u] contiene la lunghezza di un percorso passante solo per vertici in S Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 37

38 Passo dell algoritmo di Dijkstra I valori nei vertici indicano i valori di d S s min(9, 6+1) = min(12, 6+3) = 9 Per ogni nodo u della frontiera, d[u] contiene la lunghezza di un percorso passante solo per vertici in S Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 38

39 Passo dell algoritmo di Dijkstra I valori nei vertici indicano i valori di d S s Per ogni nodo u della frontiera, d[u] contiene la lunghezza di un percorso passante solo per vertici in S Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 39

40 Correttezza dell algoritmo S u s Sia u il vertice della frontiera con il più piccolo valore di d. Un qualsiasi cammino minimo da s ad u attraversa solo vertici in S Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 40

41 Correttezza dell algoritmo di Dijkstra 1 S u s x Sia u il vertice della frontiera con il più piccolo valore di d. Qualsiasi cammino da s ad u che attraversa qualche vertice in V-S ha lunghezza maggiore di d[u] in quanto deve passare attraverso qualche altro vertice x della frontiera con d[x] d[u] per poi raggiungere u Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 41

42 Correttezza dell algoritmo di Dijkstra 2 p' Sia s v un percorso minimo da s a v. Se prima della chiamata a RELAX(u,v,w) si ha d[u]= δ(s,u), allora dopo la chiamata si ha d[v]= δ(s,v). Dimostrazione u d[v] d[u]+w(u,v) Per effetto di RELAX(u,v,w) = δ(s,u)+w(u,v) = δ(s,v) Per la sottostruttura ottimale Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 42

43 Correttezza dell algoritmo di Dijkstra 3 Teorema: Quando u viene inserito in S si ha d[u] = δ(s,u). Idea della dimostrazione: Da quanto illustrato nelle due slide precedenti segue che esiste un cammino minimo tra s ed u che attraversa solo vertici di S: S s z u Siccome d[z] = δ(s,z), allora il risultato della slide precedente implica che dopo RELAX(z,u,w) (eseguita quando z viene aggiunto ad S) risulta d[u] = δ(s,u) (e π[u] = z). Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 43

44 Complessità dell algoritmo di Dijkstra Il tempo di esecuzione dipende da come è implementata la coda a priorità Q Per l analisi considereremo tre diverse implementazioni di Q Mediante un array Mediante binary heap Mediante Fibonacci Heap INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s) richiede tempo O(V) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 44

45 Q implementata con array Inizializzazione di Q Tempo O(V) per inserire i vertici nell array Analisi del ciclo di while V operazioni Extract-Min (linea 5) Ciascuna richiede tempo O(V) in quanto occorre cercare il minimo V aggiornamenti di S Ciascuna richiede tempo costante Un totale di O(E) iterazioni del ciclo di for (linee 4-8) in quanto la lista di adiacenza di ciascun vertice u viene scandita esattamente una volta (quando u è inserito in S) RELAX(u,v,w) sulla linea 8 richiede tempo costante Tempo totale: O(V 2 + E )=O(V 2 ) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 45

46 Q implementata con binary heap Inizializzazione di Q effettuata mediante una Build-Heap che costruisce un heap con V elementi in tempo O(V) Analisi del ciclo di while V operazioni Extract-Min - Ciascuna richiede tempo O(log V) V aggiornamenti di S - Ciascuna richiede tempo costante Un totale di O(E) iterazioni del ciclo di for (linee 4-8) in quanto la lista di adiacenza di ciascun vertice u viene scandita esattamente una volta (quando u è inserito in S) RELAX(u,v,w) sulla linea 8 : L aggiornamento di d[v] è effettuata eseguendo DECREASE- KEY(Q,v,d[u]+w(u,v)) che richiede tempo O(log V) L aggiornamento di π[v] richiede tempo costante Tempo totale: O(Vlog V + E log V) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 46

47 Q implementata con Fibonacci heap Inizializzazione di Q effettuata mediante V Make-Heap e V-1 Union in tempo O(V) Analisi del ciclo di while V operazioni Extract-Min - Ciascuna richiede tempo O(log V) V aggiornamenti di S- Ciascuna richiede tempo costante Un totale di O(E) iterazioni del ciclo di for (linee 4-8) in quanto la lista di adiacenza di ciascun vertice u viene scandita esattamente una volta (quando u è inserito in S) RELAX(u,v,w) sulla linea 8 : L aggiornamento di d[v] è effettuata eseguendo DECREASE- KEY(Q,v,d[u]+w(u,v)) che richiede tempo ammortizzato O(1) L aggiornamento di π[v] richiede tempo costante Tempo totale: O(Vlog V + E) Prof. Carlo Blundo Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati 47