Progettazione di algoritmi. Classe 3 (matricole congrue 2 modulo 3) Prof.ssa Anselmo. Appello del 15 Novembre Attenzione:

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1 COGNOME: Nome: Progettazione di algoritmi Classe 3 (matricole congrue 2 modulo 3) Prof.ssa Anselmo Appello del 15 Novembre 2016 Attenzione: Inserire i propri dati nell apposito spazio soprastante e sottostante. Non voltare la pagina finché non sarà dato il via. Dal via avrete 2 ore di tempo per rispondere alle domande. La prova consta di 8 domande a risposta multipla e 3 domande aperte. Per le domande a risposta multipla occorre rispondere inserendo la lettera scelta nell apposito quadratino accanto al numero della domanda. In caso di ripensamento, cancellare la risposta data e disegnare accanto un nuovo quadratino con la lettera scelta. Inoltre: ogni risposta esatta vale 4 punti; ogni risposta errata vale 1 punto; ogni domanda lasciata in bianco vale 0 punti. Le domande a risposta multipla valgono in tutto 32 punti, quelle aperte 68 punti, per un totale di 100 punti. Si è ammessi all orale se si totalizzano almeno 40/100 punti di cui almeno 10/32 nelle domande a risposta multipla. Potete (non è necessario) scrivere qui di seguito 1 data in cui avete seri motivi per non poter sostenere l orale: COGNOME:... Nome:... Numero di matricola:... multiple/32 quesito 1/24 quesito 2/22 quesito 3/22 Totale/100

2 1) 1 Qual è il tempo di esecuzione del seguente frammento di pseudocodice? i=1 while (i<=n) A. O(n) A[i]=A[i]*2 B. Ɵ (n log n) i=i+1 C. Ɵ (2 n ) return A[n] 2) 2 Quali sono lo spazio di memoria utilizzato e il tempo di esecuzione di un algoritmo efficiente di programmazione dinamica che calcola OPT(n,n), con OPT(i,j) definito per i, j=1,2,, n, come segue? OPT(1,j)=1 per j=1,2,,n A. S(n) = (n), T(n)= (n) OPT(i,1)=i per i=1,2,,n B. S(n) = (n), T(n) = (n 2 ) OPT(i,j)= max{ OPT(i-1,j), OPT(i,j-1) }, altrimenti C. S(n) = (n 2 ), T(n) = (n 2 ) 3) 3 Si consideri il problema dello scheduling di attività (non pesato). Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. Ogni soluzione ottimale contiene l intervallo che inizia per primo B. Ogni soluzione ottimale contiene l intervallo che finisce per primo C. Esiste una soluzione ottimale che contiene l intervallo che finisce per primo 4) 4 Un minimo albero di copertura (MST) per un grafo pesato G=(V,E) è: A. Un sottografo di peso totale minimo B. Un insieme T E, tale che (T,E) è connesso ed aciclico e il peso totale di T è minimo C. Un albero col minimo numero di archi il cui insieme di vertici è V 5) 5 In un grafo connesso con n vertici ed m archi, il numero minimo e il numero massimo di archi sono rispettivamente: A. (m 1) e m(m 1) 2 B. (n 1) e n(n 1) 2 C. n 1 e n(n+1) 2 6) 6 La rappresentazione di un grafo G=(V,E) con una lista di adiacenza richiede spazio A. O (n) C. O(m+n) B. O (m) 7) 7 Si supponga di avere un insieme di 8 oggetti U={1,2,..,8} e che per ogni coppia di oggetti i e j in U, la distanza sia d(i,j) = i+j (per esempio: d(5,7)=12). Lo spacing del 3-clustering C 1={1,2,3}, C 2={4,5,6} e C 3={7,8} è: A. 1 B. 3 C. 7 8) 8 Un ordinamento topologico per il grafo diretto G=(V,E) con V={u, v, x, y, z}, E={(u,x), (v,x), (v,y), (v,u), (x,y), (y,z)} è: A. z, y, x, u, v C. G non ha un ordinamento topologico B. v, u, x, y, z

3 Quesito 1 (24 punti) (Cassiere) Si consideri il problema di un cassiere che, avendo a disposizione quante si voglia monete del valore di v1, v2,, vk centesimi, deve dare il resto di N centesimi utilizzando il minimo numero di monete. Esempio: se k=3 e i valori delle monete in centesimi sono v1=1, v2=5 e v3=10, il resto di N=27 centesimi può essere dato, per esempio, con 2 monete da 10, 1 moneta da 5 e 2 monete da 1; oppure con 4 monete da 5 e 7 monete da 1. Nel primo caso il cassiere darà 2+1+2=5 monete; nel secondo 4+7=11 monete. a) Si consideri l algoritmo greedy che calcola il numero di monete scegliendo di fornire via via la più grande moneta possibile. Mostrare un esempio di valori delle monete e di un resto N, per cui tale algoritmo non fornisce una soluzione ottimale. b) Descrivere ed analizzare un algoritmo di programmazione dinamica che risolve il problema per qualsiasi scelta dei valori v1, v2,, vk. Può essere utile definire la funzione OPT(x) come il minimo numero di monete necessarie per dare il resto di x centesimi.

4 Quesito 2 (22 punti) (Zaino) a) Definire formalmente il problema dello zaino 0-1. b) Descrivere un algoritmo greedy che risolva il problema dello zaino 0-1, nelle ipotesi che tutti gli oggetti abbiamo lo stesso valore. Fornirne un esempio. c) Dimostrare che l algoritmo descritto risolve correttamente il problema.

5 Quesito 3 (22 punti) (Algoritmo di Kruskal) a) Descrivere brevemente l algoritmo di Kruskal, indicando la tecnica di programmazione che esso utilizza e la relativa complessità di tempo. b) Mostrare l esecuzione dell algoritmo di Kruskal sul seguente grafo, mettendo in evidenza gli aggiornamenti effettuati e il risultato finale ottenuto.

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