Esercizi per il corso di Algoritmi

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1 1 Esercizi per il corso di Algoritmi Esercizi sulla Tecnica Programmazione Dinamica 1. Esercizio: Si consideri la seguente variante del problema dello Zaino 0/1. L input é costituito da n oggetti a 1...,a n di peso w 1,w 2,...,w n, e di valore v 1,v 2,...,v n, rispettivamente. Per ogni possibile v = 1,...,nV, dove V = max{v 1,...,v n }, e possibile indice i = 1,...,n, si intende calcolare la quantitá w(i,v) pari al minimo peso di un sottoinsieme di {a 1,...,a i } di profitto esattamente uguale a v (si puó assumere, per convenzione, che se non esiste un sottoinsieme di {a 1,...,a i } di profitto uguale a v, allora w(i,v) = ). Si determini una equazione di ricorrenza per i valori w(i,v), e si presenti un algoritmo di Programmazione Dinamica per il loro calcolo. 2. Esercizio: Siano dati un intero positivo T ed un insieme di interi positivi A = {a 1,...,a k }. Progettare un algoritmo di Programmazione Dinamica che ritorni il valore True se esiste o meno un sottoinsieme B A tale che T = b Bb, il valore False nel caso contrario. 3. Esercizio: Dati interi i, j, con 0 i j, i numeri Z(i, j) sono definiti dalla equazione di ricorrenza ZZ(i,j) = (i+5)z(i,j 1)+(j i+1)z(i 1,j 1), per j > 0 e i 0,j e dalle condizioni iniziali Z(0,j) = 1, per j 0, Z(i,0) = 1 per i 0, Z(j,j) = 0, per ogni j > 0. Si scriva un algoritmo di Programazione Dinamica che, prendendo in input interi A,B, con 0 A B, restituisca in output il corrispondente numero Z(A,B). Si analizzi la complessitá dell algoritmo proposto. 4. Esercizio: Si consideri la seguente variante del problema dello Zaino 0/1. L input é costituito da oggetti di peso w 1,w 2,...,w n, di valore v 1,v 2,...,v n, e da una capacitá di carico totale W. Si chiede di determinare il massimo valore di una collezione di oggetti, di peso totale al piú W, sotto la condizione che di ciascun oggetto ne possiamo prendere anche piú di una copia (nella variante studiata a lezione di ciascun oggetto si poteva prendere al piú una copia). Il seguente esempio illustra la differenza tra i problemi. Abbiamo 4 oggetti, di peso 6,3,4,2 e valore $30,$14,$16,$9, rispettivamente, e capacitá di carico W = 10. Se possiamo prendere di ciascun oggetto piú di una copia, allora una possibile soluzione potrebbe consistere nel prendere una copia del primo oggetto, e due copie del quarto oggetto (valore totale $48). Se possiamo prendere solo una copia di ogni oggetto, allora la migliore soluzione consiste nel prendere il primo oggetto ed il terzo oggetto (valore totale $46).

2 2 5. Esercizio: Siano dati un intero positivo t ed un insieme di interi positivi A = {a 1,...,a k }. Progettare un algoritmo di Programmazione Dinamica che ritorni il valore True se esistono o meno elementi a i1,...,a il (non necessariamente distinti) in A tali che l j=1 a i j = t, ritorni il valore False, nel caso contrario. 6. Esercizio: Dati interi k,n, con 0 k n, i numeri di Stirling del secondo tipo sono denotati con il simbolo { n k}, definiti dalla equazione di ricorrenza { { } { } n n 1 n 1 = k + k} k k 1 e dalle condizioni iniziali { } 0 = 1, 0 { n = 0 per n > 1, e 0} { n = 1, n. n} Si scriva un algoritmo di Programazione Dinamica che, prendendo in input interi k, n, con 0 k n, restituisca in output il corrispondente numero di Stirling { n k}. Si analizzi la complessitá dell algoritmo. 7. Esercizio: Dati interi k,n, con 0 k n, i numeri di Eulero sono denotati con il simbolo n k, definiti dalla equazione di ricorrenza n n 1 = (k +1) k k +(n k) n 1, n > 0 k 1 e dalle condizioni iniziali n n = 1, n 0, = 0, n > 0. 0 n Si scriva un algoritmo di Programazione Dinamica che, prendendo in input interi k,n, con 0 k n, restituisca in output il corrispondente numero di Eulero n k. Si analizzi la complessitá dell algoritmo. 8. Esercizio: Dati due vettori di interi A[1...n] e B[1...m], si vuole determinare il piú grande intero k per cui esistono indici 1 i 1 <... < i k min{n,m} per cui A[i 1 ] B[i 1 ],...,A[i k ] B[i k ]. Scrivere un algoritmo basato sulla Programmazione Dinamica per il calcolo di un tale k. 9. Esercizio: Scrivere un algoritmo basato sull tecnica della memoization per il calcolo della LCS di due sequenze. 10. Esercizio: Date n matrici M 1,...,M n, da moltiplicare nel prodotto M 1 M 2... M n, derivare l algoritmo di Programmazione Dinamica che calcola il minimo numero totale di moltiplicazioni scalari per effettuare il prodotto M 1 M 2... M n. 11. Esercizio: Descrivere il problema del Cambio delle Monete studiato a lezione, e derivare per esso un algoritmo di Programmazione Dinamica.

3 3 Esercizi sulla Tecnica Greedy 1. Esercizio: Si determini il codice di Huffman per il seguente insieme di caratteri e relative frequenze, basate sui primi 8 numeri di Fibonacci: a:1 b:1 c:2 d:3 e:5 f:8 g:13 h:21 Si descriva la forma che puó avere l albero che rappresenta il codice di Huffman, per un insieme generico di n caratteri, le cui frequenze siano i primi n numeri di Fibonacci. Si giustifichi la risposta. 2. Esercizio: Si intende riparare un tubo di gomma che ha n fori su di esso. Si rappresenti l iesimo ciascun foro con il numero x i, dove x i é la distanza, in centimetri, del foro i-esimo dalla estremitá sinistra del tubo. La riparazione avviene attaccando pezzi di nastro adesivo al tubo, dove ciascun pezzo di nastro adesivo é lungo k centimetri, k parametro dato. Il problema é quello di riparare il tubo (ovvero coprire tutti i buchi) utilizzando il minor numero di pezzi di nastro adesivo. Si consideri il seguente algoritmo greedy per il problema appena enunciato: si ordinino i numeri x i in modo tale che x 1 x 2... x n, indi si attacchi un pezzo di nastro adesivo al tubo, partendo dal buco x 1 fino a x 1 +k. Si iteri sui buchi rimasti scoperti, fin a quando tutti i buchi sono stati coperti. Si provi che tale algoritmo copre tutti i buchi utilizzando minor numero di pezzi di nastro adesivo. 3. Esercizio: Si supponga di dover effettuare un viaggio dalla localitá A alla localitá B con un auto che ha un autonomia di k chilometri. Lungo il percorso, a partire da A sono presenti n distributori di benzina, ciascuno distante dal precedente meno di k chilometri e l ultimo dista meno di k chilometri da B. Sia d i la distanza che separa il distributore i dal distributore i+1, per i = 1,2,...,n 1 e sia d n la distanza da B dell ultimo distributore. Descrivere un algoritmo greedy che seleziona un numero minimo di distributori in cui far tappa durante il viaggio. Giustificare le affermazioni fatte. 4. Esercizio: Si costruisca un codice di Huffman per il seguente insieme di caratteri e relative frequenze a:5 b:5 c:12 d:9 e:8 f:13 g:14 h:14 5. Esercizio: Si codifichi il testo abracaddabbrra! usando il codice di Huffman, da calcolarsi in via preliminare sulle relative frequenze dei caratteri cosí come essi appaiono nel testo.

4 4 6. Esercizio: Si applichi l algoritmo Greedy Activity Selector sul seguente insieme di attivitá: A = {A 1,A 2,...,A 11 }, con A 1 = [3,14], A 2 = [6,8], A 3 = [6,10], A 4 = [13,15], A 5 = [2,5], A 6 = [9,12], A 7 = [4,6], A 8 = [9,13], A 9 = [7,11], A 10 = [4,9], A 11 = [1,7], illustrandone il comportamento ad ogni passo. 7. Esercizio: Si descriva in dettaglio l algoritmo Greedy-Zaino frazionario per il problema dello zaino frazionario, e si provi che esso produce una soluzione ottima.

5 Esercizi su Code a Prioritá 1. Esercizio: Sia dato un Max-Heap rappresentato da un array A[1...n]. Si scriva un procedura (in pseudocodice, per favore)che, intempoo(logn), avendoininputaedunindicei,1 i n, cancelli l elemento A[i] dallo heap. L array in output dovrá ancora essere un Max-Heap. Si illustri la esecuzione dell algoritmo sul seguente heap, con i = 2 (L algoritmo puó usare, al suo interno, chiamata a procedure note viste a lezione, purché se ne spieghi chiaramente l utilizzo e la funzione) Esercizio: Si dia la rappresentazione mediante albero del Min-Heap: A = [1,4,5,9,8,7,6,10,11,15,12,13]. Si ridisegni sia l albero che il vettore corrispondente dopo l esecuzione delle seguenti operazioni: (a) Heap-Extract-Min(A), seguita da (b) Heap-Insert(A, 0) 3. Esercizio: Si assuma che n numeri diversi tra di loro siano memorizzati in un Min-Heap. Si dia un algoritmo che in tempo O(1) trovi il terzo elemento piú piccolo di A. Sotto l ipotesi che i sia costante, si dica come l i-esimo elemento piú grande di A possa essere trovato in tempo O(1). 4. Esercizio: Dato un array di n numeri A[1...n], si presenti un algoritmo che, avendo in input l array A, ritorni True se A rappresenta un Min-Heap, ritorni il piú piccolo indice i su cui la proprietá dello heap é violata, altrimenti. Si valuti la complessitá dell algoritmo proposto. 5. Esercizio: Si consideri la struttura dati Max-Heap e le seguenti affermazioni. Si indichino con un Si le affermazioni che sono vere, e con un No quelle false (qui n denota il numero di nodi dell albero). (a) La costruzione di un Max-Heap con n nodi richiede Ω(nlogn) nel caso peggiore; (b) (c) É possibile determinare l elemento di valore massimo in un Max-Heap in tempo Θ(1); É possibile determinare l elemento di valore minimo in un Max-Heap in tempo O(logn); (d) L altezza di un Max-Heap é Θ(n) nel caso peggiore; (e) L altezza di un Max-Heap é Θ(log n) nel caso peggiore; 5

6 6 (f) É possibile determinare il successore di un elemento in un Max-Heap in tempo Θ(logn) nel caso peggiore; (g) L inserimento di un nuovo elemento in un Max-Heap richiede tempo Ω(log n) nel caso peggiore; (h) La cancellazione di un elemento in un Max-Heap richiede tempo Θ(log n) nel caso peggiore. (i) Dato un Max-Heap, é possibile ordinare gli elementi che lo costituiscono in accordo ai loro valori chiavi in tempo O(n). (j) La ricerca di un elemento in un Max-Heap richiede tempo O(h), dove h é l altezza del Max-Heap. 6. Esercizio: Descrivere, con sufficiente precisione, una struttura dati che permetta la cancellazione e l inserimento di un elemento in tempo O(logn), e la restituzione sia del minimo che del massimo, e sia del secondo minimo e del secondo massimo, in tempo O(1). La struttura dati deve usare O(n) locazioni di memoria per memorizzare n numeri. 7. Esercizio: Scopo di quest esercizio é di studiare Heap ternari. Si consideri quindi un albero ternario completo di altezza h definito con le seguenti proprietá: (1) per 0 i < h ci sono 3 i nodi al livello i; (2) tutti i nodi interni al livello h 1 sono alla sinistra delle eventuali foglie che stanno a quel livello e hanno tutti 3 figli tranne, eventualmente quello più a destra. (Dati due nodi v e u sullo stesso livello, diciamo che v è alla sinistra di u se lo precede nella visita preorder.) Sia n il numero di nodi dell albero. a). Descrivere un implementazione efficiente dell albero ternario completo tramite un vettore. b). Si supponga di memorizzare n entry distinte nei nodi dellalbero (una entry per nodo) con la proprietà che un nodo ha chiave minore di quelle dei suoi figli. Si ottiene cosí uno heap ternario. Descrivere e analizzare un implementazione efficiente delle operazioni di inserimento di un nodo con chiave k in un tale heap, e di estrazione del minimo da tale heap. 8. Esercizio: Si argomenti su come sia possibile usare un Min-Heap per risolvere il problema di trovare l elemento di rango i in un array A[1...n]. Si valuti la complessitá dell algoritmo proposto in funzione sia di i che di n, si determinino i valori di i per cui l algoritmo abbia una complessitá simile a quella dell algoritmo Select(A,i) visto al corso, ed i valori di i per cui l algoritmo proposto abbia una complessitá peggiore di quella dell algoritmo Select(A, i).

7 7 9. Esercizio: Si esegua l algoritmo Costruisci-Min-Heap(A) sul vettore A = [15, 18, 16, 17, 3, 10, 9, 5, 11, 12], disegnando ad ogni passo l albero corrispondente. 10. Esercizio: Si esegua l algoritmo HeapSort(A) sullo heap descrivendo esplicitamente tutti i passi dell algoritmo. 11. Esercizio: Sia A un MinHeap, usato come una coda con prioritá. Si scriva una procedura che calcoli il massimo incremento tra la priorità di un elemento e la priorità dell elemento immediatamente successivo. Ad esempio se A = [4,5,5,9,10,12,12] gli incrementi sono 1,0,4,1,2,0 e il massimo tra gli incrementi è 4. La procedura può utilizzare solamente le funzioni ExtractMax()(estrae l elemento di priorità massima dalla coda), e CodaVuota() (restituisce 1 se la coda è vuota, 0 altrimenti) e deve segnalare errore se la coda A è vuota o contiene solamente un elemento. 12. Esercizio: Dato un array A di n elementi, tutti distinti tra di loro, rappresentante un Max- Heap. (a) In che posizione di A compare l elemento massimo? (b) In quali posizioni di A puó comparire il secondo massimo? (c) Per k = 3,4, in che posizioni di A puó comparire il k-esmo elemento piú grande di A? (d) In che posizioni di A puó comparire l elemento minimo di A? Giustificare le risposte.