Università del Piemonte Orientale

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1 Compito di Algebra del 13 Gennaio ) Trovare l ordine di [11] 112 in Z 112. Si dica poi per quali valori di k si ha [11] k 112 [34] 112 = [31] 112. Soluzione. L ordine di [11] 112 è 12. k ) Dire per quali valori del parametro a Z il sistema { n + a 72 3 n ammette soluzioni. Si trovino tutte le soluzioni per a = 20. Soluzione. Il sistema è equivalente all equazione diofantea 3 a + 72x = y, cioè 72x 120y = 4 + a. L equazione è risolubile quando 4 + a è un multiplo di 24 = MCD(72, 120), cioè [a] 24 = [ 4] 24 = [20] 24. Per a = 20 la soluzione è n ) Calcolare, se esistono, le radici quadrate di [10] 533. Descrivere in dettaglio il procedimento seguito. Soluzione. Le radici sono ±[98] 533 e ±[189] ) Dato che nel compito scorso si parlava di Linux, per non essere accusato di parzialità l esercizio di oggi riguarda un altro sistema operativo. Un mio amico usa tutti i giorni un computer su cui è installato Windows Vista TM Ultra Professional. Oggi (13 Gennaio) il computer si è bloccato a causa della scheda di rete e questo inconveniente si verifica regolarmente ogni 34 giorni. Il 3 Gennaio il computer si era bloccato a causa della scheda audio e questo inconveniente si verifica regolarmente ogni 26 giorni. Dire quanti sono i giorni nel corso del 2009 in cui il computer non si blocca. Descrivere in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. 341.

2 Compito di Algebra del 15 Dicembre 2008 (file pari) 1) Risolvere l equazione [29] 84 x [7] 84 = [20] 84 [10] 84 x. Soluzione. L equazione è equivalente a [39] 84 [x] 84 = [27] 84, le cui soluzioni sono [x] 84 = [5] 84, [x] 84 = [33] 84 e [x] 84 = [61] 84. 2) Risolvere il sistema { n n Soluzione. La prima equazione è equivalente a 14 n , la cui soluzione è n La seconda equazione è equivalente a n Dato che MCD(25, 10) non divide 15 4 = 11 il sistema non ha soluzioni. 3) Il Presidente Hush ha iniziato a studiare i numeri in base 16. Il suo insegnante gli ha chiesto di calcolare le ultime tre cifre decimali dell espressione in base 16: FBI CIA. Aiuta il Presidente a trovare il risultato descrivendo in dettaglio il procedimento di calcolo da seguire. Soluzione. Le ultime tre cifre sono ) Io accendo il computer tutti i giorni esattamente una volta al giorno. Oggi il sistema operativo ha eseguito il controllo della partizione /dev/hda1 e tale controllo avviene ogni 28 accensioni (quindi ogni 28 giorni). Tre giorni fa era stato eseguito il controllo della partizione /dev/hda2 e tale controllo avviene ogni 35 accensioni. Dodici giorni fa era stato eseguito il controllo della partizione /dev/hda3 e tale controllo avviene ogni 36 accensioni. Tra quanti giorni verranno controllate contemporaneamente due partizioni? Tra quanti giorni verranno controllate contemporaneamente tutte e tre le partizioni? Descrivere in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. Tra 168 giorni saranno controllate contemporaneamente le partizioni /dev/hda1 e /dev/hda3. Tutte e tre le partizioni lo stesso giorno non saranno mai controllate.

3 Compito di Algebra dell 8 Gennaio ) Dire per quali valori del parametro a Z l equazione diofantea 49x 21y + a = 4a + 1 ammette soluzioni. Si trovino poi tutte le soluzioni per a = 5. Soluzione. Deve essere 3a , da cui a 7 2. Per a = 5 l equazione è equivalente a 7x 3y = 2 la cui soluzione generale è x = 1 + 3k, y = 3 + 7k per ogni k Z. 2) Trovare l ordine di [7] 90 in Z 90. Si dica poi per quali valori di k si ha [7] k [60] 90 = [1] 90. Soluzione. L ordine di [7] 90 è 12. k ) Calcolare le radici quadrate di [3] 73, descrivendo in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. ±[21] 73. 4) Non tutti sanno che nel 2009 potremo osservare il passaggio della cometa Galois che è visibile dalla Terra ogni 39 anni. Nel 1997 invece si è verificato il passaggio della cometa Abel, fenomeno che avviene ogni 27 anni. Entrambe le comete sono visibili tra Febbraio e Maggio. In quale anno sarà possibile osservare entrambe le comete nella notte del 29 Febbraio? Descrivere in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. Nel 2672 e successivamente ogni 1404 anni. Gli anni bisestili nei quali si possono osservare entrambe le comete sono infatti dati dalla soluzione del sistema { n n n 4 0.

4 Compito di Algebra del 20 Dicembre 2007 (file dispari) 1) Dire per quali valori del parametro a Z l equazione diofantea 156x + 182y + 3 = 6a + 7 ammette soluzioni. Si trovino poi tutte le soluzioni per a = 5. Soluzione. L equazione 156x + 182y = 6a + 4 ha soluzione quando MCD(156, 182) = 26 divide 6a + 4, quindi deve essere 6a 22 mod 26, da cui 3a 11 mod 13 e quindi a 8 mod 13. Per a = 5 l equazione è equivalente a 6x + 7y = 1 la cui soluzione generale è x = 1 + 7k, y = 1 6k per ogni k Z. 2) Si dica per quali valori di k si ha 7 888k Soluzione. Dato che ϕ(33) = 20, [7] = [7] 8 33 = [ 2] 33. L equazione è quindi equivalente a [ 2] k 33 = [25] 33 la cui soluzione è k ) Sappiamo che il numero è il prodotto di due numeri primi, uno dei quali ha la forma 7X7, cioè non conosciamo solo la cifra delle decine. Calcolare, se esistono, le radici quadrate di [108565] Descrivere in dettaglio il procedimento seguito. Soluzione. Le radici sono ±[1024] e ±[122566] ) Costruire uno schema di condivisione di segreti basato sul teorema cinese del resto, che permetta a quattro partecipanti A, B, C, D di condividere un segreto. Lo schema deve essere tale che il segreto deve poter essere ricostruito solamente da B e C oppure da A, C, e D. Qualsiasi altro gruppo di partecipanti non deve essere in grado di ricostruire il segreto. Il modulo assegnato ad ogni partecipante deve essere maggiore di 50. Giustificare la risposta. Soluzione. È sufficiente scegliere 3 numeri primi tra loro maggiori di 50. Possiamo prendere 51, 52, e 53. Il segreto è identificato da una chiave k compresa fra 0 e = Ai partecipanti A, B, C, D vengono assegnati rispettivamente i valore k mod 51, k mod 51 52, k mod 53, e k mod 52.

5 Compito di Algebra del 20 Dicembre 2007 (file pari) 1) Risolvere l equazione [36] [22] 105 [x] 105 = [10] 105 [x] [30] 105. Soluzione. L equazione è equivalente a [12] 105 [x] 105 = [99] 105 che ha come soluzioni [x] 105 = {[17] 105, [52] 105, [87] 105 }. 2) Risolvere il sistema { 4 n n Soluzione. La prima equazione è equivalente a n 9 6, la seconda a n La soluzione è quindi n ) Calcolare, se esistono, le radici quadrate di [111] 1247 e [112] Descrivere in dettaglio il procedimento seguito. Soluzione. [112] 1247 non ha radici quadrate. Le radici di [111] 1247 sono ±[683] 1247 e ±[306] ) In un sistema di crittografia RSA, la chiave pubblica consiste nel modulo n = e dell esponente di codifica e = Inoltre scoprite che uno dei due primi che costituiscono il modulo è un numero della forma 187X (quindi non conoscete solamente la cifra delle unità). Calcolare l esponente di decodifica d, descrivendo in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. I primi della forma 187X sono 1871, 1873, e 1877, ma solo l ultimo di questi divide n. Di conseguenza abbiamo p = 1877, q = Ne segue che φ(n) = , e l esponente di decodifica si ottiene applicando l algoritmo di euclide esteso alla coppia ( , 2053) che fornisce il risultato d =

6 Compito di Algebra del 2 Luglio ) Risolvere l equazione [18] 41 [x] 41 + [21] 41 = [7] 41 + [23] 41 [x] 41. Soluzione. L equazione è equivalente a [36] 41 [x] 41 = [13] 41. Abbiamo [36] 1 41 = [8] 41 quindi [x] 41 = [8] 41 [13] 41 = [22] 41. 2) Risolvere il sistema { 7 n 22 9 n Soluzione. La prima equazione è equivalente a n La soluzione è quindi n ) Sia n = Si dica quali sono le ultime due cifre decimali di n e si calcoli n mod 99. Soluzione. Le ultime due cifre decimali di n sono date da n mod 100. Dato che ϕ(100) = 40 abbiamo che n mod 100 = 61 3 mod 100 = 81. Per calcolare n mod 99 osserviamo che = Dato che 100 i mod 99 = 1 abbiamo che [ ] 99 = [ ] 99 = [34] 99. Essendo ϕ(99) = 60 abbiamo [n] 99 = [34] 3 99 = [1] 99. 4) In un sistema di crittografia RSA, la chiave pubblica consiste nel modulo n = e dell esponente di codifica e = Inoltre scoprite che uno dei due primi che dividono il modulo termina per 13. Calcolare l esponente di decodifica d, descrivendo in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. Tra i numeri che terminano per 13 l unico che divide n è Di conseguenza abbiamo p = 1213, q = 787. Ne segue che φ(n) = , e l esponente di decodifica si ottiene applicando l algoritmo di euclide esteso alla coppia (952632, 1049) che fornisce il risultato d =

7 Compito di Algebra del 24 Gennaio ) Trovare l ordine di [3] 106 in Z 106. Si dica poi per quali valori di k si ha [3] k 106 [56] 106 = [81] 106. Soluzione. L ordine di [3] 106 è 52. k ) Risolvere il sistema { ( 3) n n n Soluzione. La prima equazione è equivalente a 4 n 31 2, e quindi a n 5 3. La seconda equazione è equivalente a n 9 0. Il sistema iniziale ha quindi soluzione n ) Calcolare, se esistono, le radici quadrate di [803] 899. Descrivere in dettaglio il procedimento seguito. Soluzione. Le radici sono ±[51] 899 e ±[268] ) In un sistema di crittografia RSA, la chiave pubblica consiste nel modulo n = e dell esponente di codifica e = Inoltre scoprite che i due primi che costituiscono la fattorizzazione del modulo sono entrambi compresi fra 1000 e e uno di essi scritto in binario contiene solamente la cifra 1. Calcolare l esponente di decodifica d, descrivendo in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. I numeri che scritti in binario contengono solamente la cifra 1 sono quelli della forma 2 k 1. La condizione che i numeri siano compresi tra 1000 e implica che k deve essere compreso fra 10 e 13. L unico numero primo di questo tipo è Di conseguenza abbiamo p = 8191, q = Ne segue che φ(n) = , e l esponente di decodifica si ottiene applicando l algoritmo di euclide esteso alla coppia ( , 1147) che fornisce il risultato d =

8 Compito di Algebra del 13 Dicembre ) Trovare tutte le soluzioni dell equazione [74] 93 [x] 93 + [41] 93 = [35] 93 + [17] 93 [x] 93. Soluzione. L equazione è equivalente a [57] 93 [x] 93 = [87] 93 le cui soluzioni sono x = {[26] 93, [57] 93, [88] 93 }. 2) Risolvere il sistema { 3 803n n Soluzione. Dato che ϕ(77) = 60 abbiamo che la prima equazione è equivalente a 3 23n 77 38, e quindi a 5 n la cui soluzione è n Dato che ϕ(49) = 42, la seconda equazione è equivalente a 2 n la cui soluzione è n Il sistema iniziale è quindi equivalente al sistema { n n la cui soluzione è n ) Sia n = Si dica quanto vale n mod 162. Soluzione. Essendo ϕ(162) = 54 e MCD(7, 162) = 1, abbiamo [77767] = [7] = [7] = [61] 162. Per quanto riguarda il secondo addendo abbiamo mod 162 = 45 ed essendo MCD(45, 162) = 9 non possiamo applicare il teorema di Eulero. Però è immediato verificare che per ogni k > 1 vale 45 k mod 162 = 81. Abbiamo quindi che [n] 162 = [ ] 162 = [142] ) In un protocollo di Diffie-Hellman i valori pubblici sono p = 2143, g = 24, g a mod p = 921, g b mod p = Inoltre riuscite a scoprire che l esponente a è una potenza di 3 minore di Calcolare la chiave segreta g ab mod p, descrivendo in dettaglio il procedimento di calcolo seguito. Soluzione. Possiamo calcolare il valore a calcolando g 3 mod p, g 32 mod p, g 33 mod p, etc. fino a quando non otteniamo il valore 921. Osserviamo che per calcolare il valore g 3k+1 è sufficiente elevare al cubo g 3k quindi sono richieste solo due moltiplicazioni. Facendo i calcoli in questo modo si ottiene a = 243. Il valore segreto g ab mod p è dato quindi da mod 2143 = 1660.

9 Prova parziale di Algebra del 23 Novembre ) Trovare l ordine di [5] 82 in Z 82. Si dica poi per quali valori di k si ha [5] k 82 + [4] 82 = [13] 82. Soluzione. L ordine di [5] 82 è 20. k ) Risolvere il sistema { n n Soluzione. La prima equazione è equivalente a n 7 6, la seconda è equivalente a n La soluzione è quindi n ) Trovare le soluzioni dell equazione x 2 + x[287] [306] 403 = [0] 403. Descrivere in dettaglio il procedimento seguito. Suggerimento: usare, con le opportune modifiche, la formula per la risoluzione delle equazioni di secondo grado con coefficienti in R. Soluzione. Applicando la formula x = ( b ± b 2 4ac)/2, e osservando che [2] = [202] 403, otteniamo: x = ( [287] 403 ± ) [142] 403 [202] 403. Essendo le radici quadrate di [142] 403 uguali a ±[255] 403 e ±[317] 403 otteniamo x = ( [287] 403 ± [255] 403 ) [202] 403 e x = ( [287] 403 ± [317] 403 ) [202] 403. da cui ricaviamo le 4 soluzioni [101] 403, [15] 403, [132] 403, [387] ) Costruire uno schema di condivisione di segreti basato sul teorema cinese del resto, che permetta a cinque partecipanti A, B, C, D, E di condividere un segreto. Lo schema deve essere tale che il segreto deve poter essere ricostruito solamente da A, B, C oppure da A, B, D, E. Qualsiasi altro gruppo di partecipanti non deve essere in grado di ricostruire il segreto. Il modulo assegnato ad ogni partecipante deve essere maggiore o uguale a 30. Giustificare la risposta. Soluzione. È sufficiente scegliere 4 numeri primi tra loro maggiori o uguali a 30. Possiamo prendere 31, 32, 33, e 35. Il segreto è identificato da una chiave k compresa fra 0 e = Ai partecipanti A, B, D, E viene assegnato rispettivamente il valore k modulo 31, 32, 33, 35. Al partecipante C viene assegnato k mod

10 Prova parziale di Algebra del 23 Ottobre 2006 (file pari) 1) Trovare tutte le soluzioni dell equazione [25] 112 [x] [8] 112 = [50] 112 [5] 112 [x] 112. Soluzione. L equazione è equivalente a [30] 112 [x] 112 = [42] 112 le cui soluzioni sono x {[35] 112, [91] 112 }. 2) Dire quali sono i punti della retta 34x+21y = 3 che hanno coordinate (x, y) entrambe intere e tali che x + y = 11. Soluzione. Il problema è equivalente a trovare le soluzioni intere (x, y) dell equazione diofantea 34x + 21y = 3 che soddisfano al vincolo x + y = 11. La soluzione generale dell equazione diofantea è x = k, y = 39 34k. Affinché sia x + y = 11 deve essere 15 13k = 11 da cui k = 2. L unico punto che soddisfa alle condizioni richieste è quindi x = 18, y = 29. 3) Su un foglio trovate scritto: L equazione diofantea 1188t s = XY ammette soluzioni. dove X e Y sono cifre illeggibili. Sapendo che i numeri sono stati scritti in base 10, trovare due cifre X e Y che rendano l affermazione vera. Soluzione. Dato che MCD(1188, 1683) = 99 il numero XY deve essere multiplo di 9 e di 11. Utilizziamo i criteri di divisibilià in base 10. Affinché XY sia multiplo di 9 deve essere X + Y = 5, e affinché XY sia multiplo di 11 deve essere Y X = 1. Una soluzione è quindi X = 2, Y = 3. 4) Da una fontana dovete procurarvi esattamente un litro di acqua, ma avete a disposizione solamente una damigiana da 4.5 litri e una tanica da 13 litri. Come potete fare? Descrivere in dettaglio il procedimento. Soluzione. Vogliamo ottenere 1 litro aggiungendo e togliendo multipli di 4.5 e 13 litri. Osserviamo che moltiplicando per 2 l equazione 4.5s + 13t = 1 si ottiene l equazione diofantea 9s + 26t = 2 la cui soluzione è s = 6 e t = 2. Ne segue quindi che = 1. Per ottenere un litro riempiamo 6 volte la damigiana versando ogni volta il contenuto nella tanica e svuotando quest ultima quando è piena. Quando la tanica è stata svuotata 2 volte abbiamo raccolto 27 litri e ne abbiamo buttati 26, quindi nella damigiana è rimasto esattamente un litro.

11 Prova parziale di Algebra del 23 Ottobre 2006 (file dispari) 1) Trovare tutte le soluzioni dell equazione [74] 112 [x] [51] 112 = [79] [41] 112 [x] 112. Soluzione. L equazione è equivalente a [33] 112 [x] 112 = [28] 112 la cui soluzione è x = [28] ) Dire quali sono i punti della retta 29y = 3+21x che hanno coordinate (x, y) entrambe intere e tali che x + y = 43. Soluzione. Il problema è equivalente a trovare le soluzioni intere (x, y) dell equazione diofantea 21x + 29y = 3 che soddisfano al vincolo x+y = 43. La soluzione generale dell equazione diofantea è x = 33+29k, y = 24+21k. Affinché sia x + y = 43 deve essere k = 43 da cui k = 2. L unico punto che soddisfa alle condizioni richieste è quindi x = 25, y = 18. 3) Su un foglio trovate scritto: L equazione diofantea 1144t 792s = X Y ammette soluzioni. dove X e Y sono cifre illeggibili. Sapendo che i numeri sono stati scritti in base 10, quanto devono valere X e Y affinché l affermazione sia vera? Soluzione. Dato che M CD(1144, 792) = 88 il numero X Y deve essere multiplo di 8 e di 11. Utilizziamo i criteri di divisibilià in base 10. Affinché X Y sia multiplo di 8 deve essere Y = 6, e affinché X sia multiplo di 11 deve essere X = 7. 4) Da una fontana dovete procurarvi esattamente un litro di acqua, ma avete a disposizione solamente una damigiana da 3.5 litri e una tanica da 12 litri. Come potete fare? Descrivere in dettaglio il procedimento. Soluzione. Vogliamo ottenere 1 litro aggiungendo e togliendo multipli di 3.5 e 12 litri. Osserviamo che moltiplicando per 2 l equazione 3.5s + 12t = 1 si ottiene l equazione diofantea 7s + 24t = 2 la cui soluzione è s = 14 e t = 4. Ne segue quindi che = 1. Per ottenere un litro riempiamo 14 volte la damigiana versando ogni volta il contenuto nella tanica e svuotando quest ultima quando è piena. Quando la tanica è stata svuotata 4 volte abbiamo raccolto 49 litri e ne abbiamo buttati 48, quindi nella damigiana è rimasto esattamente un litro.