Stage di preparazione olimpica - Lucca

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1 Stage di preparazione olimpica - Lucca Esercizi di Aritmetica - docente Luca Ghidelli - luca.ghidelli@sns.it 18 gennaio Diofantea risolubile Trovare tutti gli interi (relativi) x e y tali che xy = x + y Eliminazione di cifre Un numero naturale scritto in base dieci è tale che dopo la soppressione di una qualunque delle sue cifre, si ottiene un multiplo di 7; dimostrare che nella sua scrittura non contiene cifre 4 oppure contiene solo cifre 4. 3 Contare i soldati Prima di una battaglia per la conquista della Dacia, l imperatore Traiano ordinò che i soldati del suo esercito si schierassero in modo da creare gruppi in formazione quadrata. Provò a suddividere i suoi uomini in quadrati 2 per 2, 3 per 3, 4 per 4, 5 per 5 e 6 per 6, ma restava fuori sempre esattamente un legionario. Alla fine però riuscì ad organizzarli in quadrati di 49 unità. Sapendo che sicuramente l esercito era formato da meno di soldati, sapresti contare quanti erano? 4 IMO 1959,1 Dimostrare che la frazione 21n+4 14n+3 5 I numeri primi sono rari è irriducibile per ogni numero naturale n. Dimostrare che esistono 1000 numeri consecutivi che non sono primi. 6 Diofantea irrisolubile Provare che non esistono numeri interi (relativi) tali che x 3 + y = z 3. 1

2 Soluzione esercizio 1 Idea 1: tentare di scomporre l espressione. Portando allo stesso membro i termini con le x e le y ottenamo la seguente equazione xy x y = 36 che deve essere risolta negli interi. Cerchiamo di rendere scomponibile il membro di sinistra, in modo da poter far intervenire argomenti di divisibilità. Ci si accorge facilmente che aggiungendo 1 da entrambi i lati otteniamo: xy x y + 1 = ()(y 1) = 37 Ma 37 è un numero primo e quindi ci sono ben pochi modi di scriverlo come prodotto di numeri interi: 37 = 1 37 = 37 1 = ( 1) ( 37) = ( 37) ( 1) A seconda dei casi, otteniamo le soluzioni (x, y) di eguito elencate: (2, 38) (38, 2) (0, 36) ( 36, 0) Idea 2: quando x e y sono grandi, il loro prodotto è più grande della loro somma. In particolare è ragionevole pensare che per x e y di valore assoluto abbastanza grande (almeno 8, per esempio, potrà bastare), allora il membro di sinistra dell equazione sarà più grosso dell altro. In particolare, non potranno essere uguali! Vediamo come si può formalizzare questa intuizione. Supponiamo, che, ad esempio, y x 8. Allora di sicuro xy 8 y Inoltre, essendo x y e y, otteniamo che x + y + 36 x + y + 36 y + y + 5 y = 7 y Ma, aspetta... xy 8 y e x + y y... allora xy x + y + 36 perché sono uno più grande dell altro. Questo significa che se abbiamo una soluzione, allora uno fra x e y deve essere compreso fra 7 e 7. Beh, cosa aspettiamo? Rimbocchiamoci le maniche, sostituiamo nell equazione i valori di x e risolviamo in y. Il nostro obiettivo è avere y intera. L espressione di y in funzione di x è facile: Si scopre che questo numero è intero solo quando sostituiamo x = 0 e x = 2, trovando le soluzioni di cui sopra. Idea 3: risolviamo normalmente e facciamo la divisione fra polinomi. Cominciamo esplicitando y: 2

3 Noi vogliamo trovare dei valori interi di x tali per cui anche l espressione di y dia un numero intero. A scuola si impara a fare la divisione fra due polinomi, con quoziente e resto. Noi abbiamo una frazione con numeratore e denominatore che sono dei polinomi... possiamo quindi trovare un senso a quello che viene insegnato a lezione! La divisione fra x + 36 e produce quoziente 1 e resto 37. Infatti Riscriviamo il valore di y x + 36 = 1 () + 37 = 1 () + 37 = + 37 = Appare evidente che y Z se e solo se 37 x 1 è intero, ovvero se e solo se x 1 è un divisore di 37. Ovvero quando x assume uno dei seguenti valori Soluzione esercizio 2 x = 36, 0, 2, 38 Sia α = a n 10 n a 0 il nostro numero scritto in base 10. Supponiamo che una delle sue cifre (ad esempio, a k ) sia uguale a 4. Mostriamo che allora anche le cifre vicine devono essere uguali a 4! In tal modo è chiaro che allora si possono presentare solo due casi: o α non contiene la cifra 4, o comprende solamente cifre 4. Scriviamo i numeri ottenuti dalla soppressione delle cifre a k+1, a k, a k 1, con a k = 4. Essi sono congrui a 0 modulo 7 in quanto sono multipli di 7 per ipotesi. Scriviamolo. a n 10 n 1 + blablabla k + a k 1 10 k blablabla2 0 (mod 7) a n 10 n 1 + blablabla a k+1 10 k + a k 1 10 k blablabla2 0 (mod 7) a n 10 n 1 + blablabla a k+1 10 k k blablabla2 0 (mod 7) In particolare saranno multipli di 7 i numeri ottenuti sottraendo fra loro quei numeroni e dividendo per 10 k 1. Notiamo che si verificano delle rincuoranti cancellazioni. Otteniamo infatti, ad esempio: ( a k 1 ) (a k a k 1 ) 0 (mod 7) (a k a k 1 ) (a k ) 0 (mod 7) e si vede che quindi a k 1 a k+1 4 (mod 7). Tuttavia le cifre possono essere solo 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e tra queste l unica congrua a 4 modulo 7 è proprio 4. Ergo a k 1 = a k+1 = 4. Soluzione esercizio 3 Dal testo ricaviamo le seguenti equazioni n 1 (mod 4) n 1 (mod 9) n 1 (mod 16) n 1 (mod 25) n 1 (mod 36) n 0 (mod 49) 3

4 Riconosciamo che le prime 5 equazioni significano esattamente che il numero n 1 è divisibile per 4, 9, 16, 25 e 36. Riassumendo, che n 1 è divisibile per mcm(4, 9, 16, 25, 36) = Riscriviamo dunque le prime cinque equazioni e l ultima come segue n = k n = 49h per adeguati interi h e k. Eguagliando le espressioni e trasportando 3600k ricaviamo un equazione che siamo in grado di risolvere Applichiamo l algoritmo di Euclide Ricostruisco le operazioni 49h 3600k = 1 MCD(49, 3600) = = 23 = MCD(49, 23) = = 6 = MCD(6, 23) = = 1 1 = = ( ) = = ( ) 1 = Ecco allora tutte le soluzioni per h e k, al variare di z Z: k = z h = z Quindi n = k = (9 + 49z) L unico modo per avere un numero di soldati compreso fra zero e consiste nel porre z = 0 n = = Soluzione esercizio 4 Una frazione è irriducibile se e solo se il numeratore e il denominatore hanno massimo comun divisore pari a 1. Calcoliamo allora il MCD fra 21n + 4 e 14n + 3, con l algoritmo di Euclide. MCD(21n + 4, 14n + 3) = MCD(7n + 1, 14n + 3) = MCD(7n + 1, 1) = 1 Soluzione esercizio 5 Mah, l esercizio non è difficile, ma richiede un po di fantasia e fiducia o lungimiranza. Un possibile approccio è il seguente: se si riuscissero a trovare dei numeri consecutivi e maggiori di 1000 tali che il primo sia multiplo di 2, il secondo sia multiplo di 3, il terzo sia multiplo di 4 e così via... certamente avremmo tanti numeri che non sono primi, 4

5 giacché avrebbero dei divisori non banali. Si prenda allora N = mcm(2, 3, 4,..., 1001) Si nota che per ogni k {2,..., 1001}, k N e quindi k N + k. In altre parole, i numeri N + 2, N + 3,..., N sono 1000 numeri consecutivi che verificano la nostra speranza e che quindi non sono primi. Soluzione esercizio 6 Servono due idee per risolvere questo esercizio, abbastanza difficile. La prima è che i cubi possono assumere, modulo 9, solo i valori 0, 1, 1. Questa proprietà è facilmente verificabile a mano ed è giustificata da fatti generali che non abbiamo trattato a lezione. Intanto verifichiamola a manina: (mod 9) (mod 9) (mod 9) (mod 9) (mod 9) (mod 9) (mod 9) (mod 9) (mod 9) La seconda idea è che, se esistono dei numeri interi che rendono vera l uguaglianza x 3 + y = z 3, allora esistono anche dei numeri interi (per esempio, loro stessi) che rendono vera la congruenza x 3 + y z 3 (mod 9). Ciò vuol dire che se la seconda è irrisolubile, anche la prima lo deve essere! Ovvero, una speranza che può nascere nel risolvere l esercizio, è la seguente: se per caso esiste un m tale per cui x 3 (e quindi y 3 e z 3 ) può assumere pochi valori modulo m, magari non si riesce a creare una soluzione all equazione, con quei pochi numeri a disposizione... Si scopre, facendo qualche tentativo, che m = 9 calza a pennello con questa speranza. Adesso quindi notiamo che, potendo i cubi valere solo 0, 1, 1 modulo 9, abbiamo che la quantità z 3 x 3 y 3 può assumere, modulo 9, solo i valori 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 4. In altre parole: z 3 x 3 y 3 4 (mod 9), che è equivalente a x 3 + y z 3 (mod 9), è irrisolubile! Quindi lo è anche x 3 + y = z 3, con x, y, z Z. 5