Dati e Algoritmi 1: A. Pietracaprina. Grafi (II parte)

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1 Dati e Algoritmi 1: A. Pietracaprina Grafi (II parte) 1

2 Breath-First Search (algoritmo iterativo) Si assume una rappresentazione tramite liste di adiacenza. L ordine con cui si visitano i vicini di un nodo è determinato dall ordine nella lista di adiacenza. vertice di partenza s (livello L 0 ) i 0: visita i vertici del livello L i e genera il livello L i+1 : L i+1 = { vicini non ancora visitati del livello L i } DISCOVERY EDGE (u,v): u al livello L i, v al livello L i+1 scoperto a partire da u CROSS EDGE: gli altri archi 2

3 Algoritmo Iterativo BFS(G, s) Input: grafo G = (V, E) non diretto, vertice s V Output: visita di tutti i vertici e tutti gli archi nella componente connessa di s marcando gli archi ancora non marcati come DISCOVERY/CROSS EDGE /* Considera ogni vertice/arco NON VISITATO/NON MARCATO */ 3

4 Algoritmo Iterativo BFS(G, s) (continua) visita s e marcalo VISITATO; crea una collezione L 0 contenente s; i 0; while (!L i.isempty()) do crea una collezione di vertici L i+1 vuota; forall v L i do forall e G.incidentEdges(v) do if (e = NON MARCATO) then w G.opposite(v,e); if (w è NON VISITATO) then marca e come DISCOVERY EDGE; visita w e marcalo VISITATO; inserisci w in L i+1 ; else marca e come CROSS EDGE; return; i i + 1; 4

5 Esempio 2" 4" 1" 6" 3" 5" 7" s"=" 1" Liste"di"adiacenza" "(ordine"crescente)" 1:" 2" 3" 2:" 1" 4" 3:" 1" 5" 4:" 2" 5" 6" 5:" 3" 4" 6" 7" 6:" 4" 5" 7:" 5" D"="DISCOVERY"EDGE" C"="CROSS"EDGE"" L 0! 1" D" D" L 1! 2" 3" L 2! D" 4" D" C" C" 5" D" D" L 3! 6" 7" 5

6 Analisi di BFS G = (V, E) grafo non diretto, s V C s G: componente connessa di G contenente s. Proposizione ( Prop [GTG14]) Dopo l esecuzione di BFS(G, s) si ha: (a) tutti i vertici di C s sono visitati; (b) i DISCOVERY EDGE formano uno spanning tree T di C s, chiamato BFS tree (c) v L i il cammino in T da s a v ha i archi e qualsiasi altro. cammino in G da s a v ha i archi ( i = distanza(s, v)) (d) se (u, v) E e (u, v) T ( (u, v) è un CROSS EDGE) gli indici dei livelli a cui u e v appartengono differiscono al più di 1 6

7 Dimostrazione (Esercizi C-14.46, C [GTG14]) (a) come per la DFS (b) come per la DFS (c) Si consideri il cammino P : s = u 0 u 1 u i = v, dove u j L j viene scoperto da u j 1, j : 1 j i. Quindi (u j 1, u j ) è un DISCOVERY EDGE, e, di conseguenza, P è un cammino in T. Per assurdo, se esistesse in G un cammino con t < i, si avrebbe P : s = z 0 z 1 z t = v, 7

8 Dimostrazione (continua) s = z 0 L 0 z 1 L 1 z 2 L 1 o L 2 z t = v. L 1 o... o L t v L i : assurdo (d) Per assurdo, se u L i e v L i+k con k > 1 v sarebbe scoperto a partire da u e quindi si avrebbe v L i+1 e non v L i+k (assurdo). 8

9 Complessità di BFS Hp: rappresentazione di G tramite liste di adiacenza n s = num. vertici in C s m s = num. archi in C s L i : rappresentati tramite liste v vertice in C s viene eseguita esattamente 1 iterazione del primo ciclo forall ed esattamente degree(v) iterazioni del secondo ciclo forall ciascuna iterazione del secondo ciclo forall richiede tempo Θ (1) tutti gli accessi alle L i richiedono tempo Θ (1) complessità di BFS(G,s) Θ (m s ) Corollario Se G = (V, E) è connesso, la complessità di BFS(G,s) è Θ ( E ) s V. 9

10 Proposizione 10 Dato G = (V, E) con V = n e E = m i seguenti problemi possono essere risolti in tempo O (m + n) tramite BFS: 1 testare se G è connesso 2 identificare le componenti connesse di G 3 identificare uno spanning tree di G, se G è connesso 4 identificare un cammino minimo tra due vertici s e t, se esiste 5 identificare un ciclo in G, se esiste, o affermare che G non ha cicli

11 Dimostrazione 11 1 Simile al caso della DFS 2 Simile al caso della DFS 3 Simile al caso della DFS 4 Cammino minimo da s a t. Modifichiamo BFS(G,s) in modo che quando marca un arco (v, w) come DISCOVERY EDGE imposti v come padre di w Eseguiamo BFS(G,s). Alla fine, se t non è stato mai marcato come visitato si dice in output che non esiste un cammino da s a t, altrimenti, partendo da t e risalendo di padre in padre si costruisce il cammino, che risulta minimo in virtù della proposizione precedente. Complessità: O (n + m), dato che si invoca la BFS una sola volta. Esercizio: scrittura di uno pseudocodice più dettagliato

12 Dimostrazione di (5) 12 Osservazione un ciclo se e solo se una componente connessa sulla quale BFS marca almeno un arco come CROSS EDGE. Supponiamo che (v, w) sia marcato come CROSS EDGE da BFS(G,s): Esistono due cammini da v a s e da w a s fatti solo di DISCOVERY EDGE i livelli di v e w differiscono al più di 1

13 Dimostrazione di (5) (continua) 13 A ogni nodo i V associamo i campi: L V [i].id, L V [i].level e L V [i].parent. Inizialmente, L V [i].id è impostato a 0, mentre L V [i].level e L V [i].parent sono impostati a null. Si definisce BFS(G,s,k) come modifica di BFS(G,s) che: Assegna il valore k al campo ID di ciascun vertice visitato (quindi appartenente alla componente connessa di s) Se w viene scoperto da v, marcando l arco (v, w) come DISCOVERY EDGE, assegna v al campo L V [w].parent (ovvero, v diventa padre di w. Imposta il campo L V [v].level di ciascun vertice v visitato all indice del livello di v.

14 Dimostrazione di (5) (continua) 14 k 1; for i 1 to n do if (L V [i].id= 0) then BFS(G,i,k); k k + 1; forall e E do if (e = (i, j) è marcato come CROSS EDGE) then C collezione di archi vuota; if (L V [i].level = L V [j].level+1) then aggiungi (i, L V [i].parent) a C; i L V [i].parent; if (L V [j].level = L V [j].level+1) then aggiungi (j, L V [j].parent) a C; j L V [j].parent; while (i j) do aggiungi (i, L V [i].parent) (j, L V [j].parent) a C; i L V [i].parent; j L V [j].parent; return C; return NO CYCLE; Complessità: O (n + m) Oss.: le BFS possono essere interrotte appena si marca un arco come CROSS EDGE

15 15 Caso di Studio: 6 gradi di separazione 1929: Nel racconto Catene Krigyes Karinthy ipotizza con due persone arbitrarie sono collegate da una catena di conoscenze che passa per al più 5 intermediari (da qui la teoria dei 6 gradi di separazione) 1967: Stanley Milgram decise di verificare sperimentalmente la teoria chiedendo a un gruppo di persone del Midwest (USA) di mandare un pacco a uno sconosciuto in Massachusetts facendolo arrivare tramite conoscenti, conoscenti di conoscenti, ecc. Effettivamente, in media servirono tra i 5 e i 7 intermediari Verifiche successive: nel 2006 sulla rete di MSN Messenger (6.6 gradi di separazione media), e nel 2011 su Facebook (4.74 gradi di separazione media). Su Faceook risultò che il 92% delle coppie di utenti è separato da al più 4 gradi!

16 Caso di Studio: 6 gradi di separazione (continua) Grafo di Facebook: n ' vertici (utenti), e m ' 95 n archi (amicizie). Calcolo delle distanze esatte per tutte le coppie di utenti: complessit`a Θ (n m) non eseguibile in pratica. Si usano allora stime approssimate 16

17 17 Osservazione DFS(G,s) e BFS(G,s) marcano tutti gli archi di C s (componente comune che contiene s). Infatti sappiamo che visitano tutti i vertici di C s e (by inspection) per ogni vertice considerano tutti gli archi incidenti, marcandoli se non sono già marcati.

18 18 Esercizio C [GTG14] Sia T lo spanning tree generato dai discovery edge di una Depth-First Search (DFS) di un grafo G non diretto e connesso. T è radicato nel vertice di partenza della DFS. Dimostrare che un arco di G marcato come back edge collega un vertice con un suo antenato in T. (Si osservi che questo giustifica la locuzione back edge.) Esercizio C [GTG14] Un grafo G = (V, E) si dice bipartito se l insieme di vertici V può essere partizionato in due sottoinsiemi X e Y tali che ogni arco di E incide su un vertice di X e uno di Y. Progettare e analizzare un algoritmo efficiente che determini se un grafo non diretto G è bipartito.

19 19 Esercizio Sia G = (V, E) un grafo non diretto con k > 1 componenti connesse. Progettare un algoritmo che aggiunga k 1 archi a G per renderlo connesso e analizzarne la complessità. Si assuma di poter aggiungere a E un arco (i, j) E in tempo costante invocando il metodo G.addArc(i,j). Esercizio Sia G un grafo non diretto e connesso in cui ciascun vertice ha grado esattamente c, con c > 2 costante intera. Si consideri l esecuzione di BFS(G, s) a partire da un arbitrario vertice s V. Dimostrare per induzione su i che il livello L i generato da BFS(G, s) contiene c i vertici, per ogni i 0.

20 Esempio domande prima parte 20 Definire rigorosamente le componenti connesse di un grafo non diretto G Dimostrare che in un free tree G con n vertici ed m archi, si ha che m = n 1. Sia G un grafo non diretto con n vertici ed m archi. Indicare tre problemi computazionali che, dato in input G possono essere risolti in tempo O (n + m). Sia G = (V, E) un grafo non diretto e connesso. Dati due vertici s, t V dire brevemente come trovare il cammino più breve da s a t, e quanto tempo è richiesto per trovarlo Sia G = (V, E) un grafo non diretto e connesso. Dimostrare che eseguendo DFS(G, s), per un qualche s V si visitano tutti i vertici.

21 Riepilogo 21 Definizioni e terminologia sui grafi. Equivalenza tra rooted tree e free tree Relazione tra la somma dei degree e il numero di archi in un grafo Relazioni tra numero di vertici e numero di archi in alberi, foreste e grafi connessi Depth-First Search Algoritmo Analisi e proprietà Problemi computazionali risolvibili tramite DFS Breadth-First Search Algoritmo Analisi e proprietà Problemi computazionali risolvibili tramite DFS