Algoritmi e Strutture Dati

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1 Algoritmi e Strutture Dati Capitolo 5 - Alberi Alberto Montresor Università di Trento This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License. To view a copy of this license, visit or send a letter to Creative Commons, 543 Howard Street, 5th Floor, San Francisco, California, 94105, USA. 1

2 Alberi radicati Albero: definizione informale E' un insieme dinamico i cui elementi hanno relazioni di tipo gerarchico Albero: definizione ricorsiva Insieme vuoto di nodi, oppure Una radice T e 0 o più sottoalberi, con la radice di ogni sottoalbero collegata a T da un arco (orientato) T es.: radice T con n sottoalberi T 1 T 2 T n 2

3 Alberi ordinati Figlio (child) di T T Radice (root) Figlio di T Radice del proprio sottoalbero Nodi interni = Nodi - Foglie Padre (parent) dei nodi j e k Sottoalbero a j k... Nodi fratelli Foglie (leaf) (figli di a) 3

4 Alberi: definizioni In un albero Profondità di un nodo: la lunghezza del percorso dalla radice al nodo (i.e., numero archi attraversati) Livello: l'insieme dei nodi alla stessa profondità Altezza dell'albero: massimo livello delle sue foglie p=0 p=1 p=2 p=3 Livello 3 Altezza albero: 3 4

5 Alberi? 5

6 Alberi? DAG Radice Foresta 5

7 Alberi: una possibile specifica TREE % Costruisce un nuovo albero, costituito da un solo nodo e contenente v Tree(ITEM v) % Legge il valore ITEM read() % Scrive v nel nodo write(item v) % Restituisce il padre; nil se questo nodo è radice TREE parent() % Restituisce il primo figlio; nil se questo nodo è foglia TREE leftmostchild() % Restituisce il prossimo fratello del nodo a cui è applicato; nil se assente TREE rightsibling() % Inserisce il sottoalbero t come primo figlio di questo nodo insertchild(tree t) precondition: t.parent() = nil % Inserisce il sottoalbero t come successivo fratello di questo nodo insertsibling(tree t) precondition: t.parent() = nil % Distrugge il sottoalbero radicato nel primo figlio di questo nodo deletechild() % Distrugge il sottoalbero radicato nel prossimo fratello di questo nodo deletesibling() 6

8 Algoritmi di visita degli alberi Visita (o attraversamento) di un albero: Algoritmo per visitare tutti i nodi di un albero In profondità (depth-first search, a scandaglio): DFS Vengono visitati i rami, uno dopo l altro Tre varianti In ampiezza (breadth-first search, a ventaglio): BFS A livelli, partendo dalla radice 7

9 Visita alberi: in profondità in ordine anticipato (previsita) visitaprofondità(tree t) precondition: t = nil (1) esame anticipato del nodo radice di t TREE u t.leftmostchild() while u = nil do visitaprofondità(u) u u.rightsibling() (2) esame posticipato del nodo radice di t T a b e c d f g Sequenza: a b c d e f g 8

10 Visita alberi: in profondità in ordine posticipato (postvisita) visitaprofondità(tree t) precondition: t = nil (1) esame anticipato del nodo radice di t TREE u t.leftmostchild() while u = nil do visitaprofondità(u) u u.rightsibling() (2) esame posticipato del nodo radice di t T a b e c d f g Sequenza: c d b f g e a 9

11 Visita alberi: in profondità in ordine simmetrico (invisita) invisita(tree t) precondition: t = nil TREE u t.leftmostchild() integer k 0 while u = nil and k<ido k k +1 invisita(u) u u.rightsibling() esame simmetrico del nodo t while u = nil do invisita(u) u u.rightsibling() T a b e c d f g Sequenza (i=1): c b d a f e g 10

12 Visita alberi: in ampiezza visitaampiezza(tree t) precondition: t = nil QUEUE Q Queue() Q.enqueue(t) while not Q.isEmpty() do TREE u Q.dequeue() esame per livelli del nodo u u u.leftmostchild() while u = nil do Q.enqueue(u) u u.rightsibling() T a b e c d f g Sequenza: a b e c d f g 11

13 Realizzazione con vettore dei figli / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Padre Rischio di sprecare memoria se molti nodi hanno grado minore del grado massimo k. Nodo Array di Figli 12

14 Realizzazione con puntatori padre/primo-figlio/fratello / / / / / / / / / / / / / / / / Padre Soluzione: usare una lista di figli (fratelli). Nodo Primo Figlio Fratello 13

15 Realizzazione con puntatori padre/primo-figlio/fratello TREE NODE parent NODE child NODE sibling ITEM value Tree(ITEM v) TREE t new TREE t.value v t.parent t.child t.sibling nil return t insertchild(tree t) t.parent() this t.rightsibling() child child t insertsibling(tree t) t.parent() this t.rightsibling() sibling sibling t % Puntatore al padre % Puntatore al primo figlio % Puntatore al successivo fratello % Valore del nodo % Crea un nuovo nodo % Inserisce t prima dell attuale primo figlio % Inserisce t prima dell attuale fratello 14

16 Realizzazione con puntatori padre/primo-figlio/fratello deletechild() NODE newchild child.rightsibling() delete(child) child newchild deletesibling() NODE newbrother sibling.rightsibling() delete(sibling) sibling newbrother delete(tree t) NODE u t.leftmostchild() while u = nil do TREE next u.rightsibling() delete(u) u next delete t 15

17 Realizzazione con vettore dei padri L'albero è rappresentato da un vettore i cui elementi contengono l'indice del padre Esempio: 0 a 1 b 1 e 2 c 2 d 3 f 3 g T a b e c d f g 16

18 Realizzazione con vettore dei padri TREE integer[]p % Vettore dei padri % Costruisce una foresta con n nodi isolati Tree(integer n) p new integer[1...n] for i 1 to n do p[i] 0 % Restituisce il padre del nodo i; restituisce 0 se i è radice integer parent(integer i) return p[i] % Rende il nodo i un figlio del nodo j setparent(integer i, integer j) p[i] j 17

19 Alberi binari Definizione Un albero binario è un albero ordinato in cui ogni nodo ha al più due figli e si fa distinzione tra il figlio sinistro ed il figlio destro di un nodo. Nota: due alberi T e U aventi gli stessi nodi, gli stessi figli per ogni nodo e la stessa radice, sono distinti qualora un nodo u sia designato come figlio sinistro di un nodo v in T e come figlio destro del medesimo nodo in U livello T 1 T 2 T 3 18

20 Alberi binari Figlio sinistro Radice del sottoalbero sinistro Sottoalbero sinistro Radice j.parent() Padre del nodo j (e k) a Figlio destro Radice del sottoalbero destro Sottoalbero destro j k a.left() a.right() 19

21 Alberi binari: specifica TREE % Restituisce il figlio sinistro (destro) di questo nodo; restituisce nil se assente TREE left() TREE right() % Inserisce il sottoalbero t come figlio sinistro (destro) di questo nodo insertleft(tree t) precondition: t.parent = nil insertright(tree t) precondition: t.parent = nil % Distrugge il sottoalbero sinistro (destro) di questo nodo deleteleft() deleteright() 20

22 Alberi binari: realizzazione / / / / / / Padre / / / / Figlio Sinistro Figlio Destro Nodo 21

23 Alberi binari: realizzazione TREE Tree(ITEM v) TREE t = new TREE t.parent nil t.left t.right nil t.value v return t insertleft(tree T ) T.parent this left T insertright(tree T ) T.parent this right T TREE deleteleft() if left = nil then left.deleteleft() left.deleteright() delete left left nil deleteright() if right = nil then right.deleteleft() right.deleteright() delete right right nil Per motivi di spazio, le operazioni parent(), left(), right(), read() e write() non sono mostrate; semplicemente, restituiscono il valore della variabile corrispondente. 22

24 Alberi binari: visite in profondità visitaprofondità(tree t) if t = nil then (1) esame anticipato del nodo radice di t visitaprofondità(t.left()) (2) esame simmetrico del nodo radice di t visitaprofondità(t.right()) (3) esame posticipato del nodo radice di t 23

25 Limite inferiore complessità ordinamento Albero delle scelte in algoritmi di ordinamento Sequenze di confronti (a due alternative) rappresentabile come albero binario Nodi interni confronti, foglie soluzioni del problema Percorso radice-foglia: insieme di confronti per individuare una soluzione Limite inferiore ordinamento Sia n la dimensione del vettore Numero di possibili soluzioni: n! Altezza minima albero: log2 n! n/2 log2 n/2 Da cui deriva che qualunque algoritmo di ordinamento richiede Ω(n log n) confronti si a < b no b < c c < b si no si no a,b,c a < c c,b,a a < c si no si no a,c,b c,a,b b,a,c b,c,a Figura 5.8: Albero delle scelte per l ordinamento di tre numeri. 24

26 Semplici esercizi basati su visite Es Dato un albero radicato T, calcolare la sua altezza Dato un albero radicato T, calcolare il numero totale di nodi Dato un albero radicato T, stampare tutti i nodi a profondità h 25