min 7y 1 y 2 + 3y 3 + 5y 4 2y 1 + y 2 + y 3 + 2y 4 = 4 y 1 y 2 y 4 = α y 1, y 2, y 3, y 4 0 (D)

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1 o Appello // RICERCA OPERATIVA (a.a. 6/) Nome: Cognome: Matricola: ) Utilizzando il Teorema degli scarti complementari, si verifichi per quali valori reali del parametro α la soluzione x = [, è ottima per il problema di PL dato. Per ciascuno di tali valori si individui l insieme delle soluzioni duali ottime. Giustificare le risposte. Considerando la coppia asimmetrica di problemi duali (P) max{cx : Ax b} (D) min{yb : ya = c, y } possiamo enunciare il Teorema degli scarti complementari come segue: max x + αx x + x x x x x x Teorema. Date due soluzioni x e ȳ ammissibili rispettivamente per (P) e (D), esse sono ottime se e solo se verificano la condizione degli scarti complementari ȳ(b A x) =. Per l ammissibilità delle soluzioni x e ȳ, la condizione degli scarti complementari è equivalente al sistema di equazioni Per il problema in esame si ha: ȳ i (b i A i x) = i =,...,m. (P) max x + αx x + x x x x x x (D) min y y + y + y y + y + y + y = y y y = α y, y, y, y È immediato verificare che la soluzione x = [, è ammissibile per (P). L insieme degli indici dei vincoli attivi in x è I( x) = {i {,...,m} : b i A i x = } = {,}. Segue che una soluzione duale ȳ, tale che ȳa = c, che formi con x una coppia di soluzioni complementari deve soddisfare la condizione ȳ = ȳ =. Affinché ȳ sia ammissibile per (D), essa deve soddisfare il sistema y + y = y y = α y, y Per ogni fissato valore di α, tale sistema ammette come unica soluzione [y,y = [( +α)/,( α)/; pertanto, y(α) = [( + α)/,( α)/,, è la sola soluzione complementare a x. Pertanto, x è ottima, per ogni dato valore di α, se e solo se y(α) è ammissibile. Quindi questo avviene per i valori di α tali per cui ( +α)/ = α, ( α)/ = α. Poichétali condizioni sono contraddittorie, non esiste alcun valore di α per cui sia y che y siano non-negative; quindi, per nessun valore di α l unica soluzione duale complementare a x è ammissibile, e pertanto per nessun valore di α la soluzione x è ottima per (P).

2 o Appello // ) Si risolva il problema di PL parametrico dato per il valore α = applicando l algoritmo del Simplesso Primale, per via algebrica, a partire dalla base B = {,}. Per ogni iterazione si indichino: la base, la matrice di base e la sua inversa, la coppia di soluzioni di base, l indice uscente, la direzione di crescita, il passo di spostamento e l indice entrante, giustificando le risposte. Considerando solamente la base ottenuta all ultima iterazione, si discuta per quali valori reali di α le conclusioni ottenute non cambierebbero. [ ) B = {,}, A B = ȳ B = ca B = [ [, A B =, x = A B b B = = [, ȳ N =, ȳ = [ max x + x x α x + x x + x x [ = h = min{i B : y i < } = min{,} = [regola anticiclo di Bland, B(h) = [ [ [ ξ = A B u B(h) = =, A N ξ = = J = {i N : A i ξ > } = {,}, λ i = (b i A i x i )/A i ξ, λ =, λ = λ = min{λ,λ } =, k = min{i J : λ i = λ} = min{,} = [regola anticiclo di Bland [ [ ) B = {,}, A B =, A B =, x = = ȳ B = [ [ = [, ȳ = [, h =, B(h) = [ [ ξ =, A N ξ = =, J = {} ) B = {,}, A B = [ ȳ B = [ [ / / / [ / ξ = λ = λ = [cambio di base degenere, k =, A / / B = / / /, x = / [ = = [ / /, ȳ = [ / /, h =, B(h) =, A N ξ = [ [ / = /, STOP. Poiché A N ξ, il problema primale dato, per il valore α =, è superiormente illimitato. Infatti, x = [, è una soluzione ammissibile, cξ = / > è una direzione di crescita, e tutti i punti sulla semiretta x(λ) = x+λξ = [λ/, sono ammissibili per il problema per qualsiasi valore di λ, mentre il corrispondente valore della funzione obiettivo cresce con λ. Per il Teorema Debole della dualità, quindi, il problema duale è vuoto. Il fatto che A N ξ non dipende dal valore di α, così come il fatto che cξ > ; pertanto, ξ continua in linea di principio ad essere una direzione di crescita illimitata per ogni valore di α. Per poter concludere che il problema primale è superiormente illimitato, però, occorre anche assicurarsi che non sia vuoto. Ciò è sicuramente vero finchè la soluzione di base x rimane ammissibile, ossia finchè α ; per i valori α < la base B non è più primale ammissibile, e pertanto non si può più concludere immediatamente che il problema rimanga inferiormente illimitato.

3 o Appello // ) Si risolva il problema del flusso massimo dal nodo al nodo relativamente all istanza in figura, utilizzando l algoritmo di Edmonds&Karp. Ad ogni iterazione indicare il flusso x, il suo valore v, il cammino aumentante utilizzato e la sua capacitàθ. Nella visita degli archidi una stella uscente si utilizzi l ordinamento crescente dei rispettivi nodi testa (ad esempio, (,) è visitato prima di (,)). Al termine indicare il taglio di capacità minima determinato dall algoritmo, giustificando la risposta fornita e discutendone l unicità. 8 9 Le iterazioni sono mostrate in figura, dall alto in basso e da sinistra a destra. Il secondo numero sugli archi è il valore del flusso. Gli archi evidenziati indicano il cammino aumentante selezionato. Nell ultima figura in basso a destra è mostrata la soluzione ottima: la linea tratteggiata indica il taglio (N s,n t ) = ({,},{,,,6,}) ottenuto durante l ultima visita del grafo residuo, quella che non ha raggiunto t = (archi evidenziati). La capacità u(n s,n t ) = u +u +u +u +u = ++++ = del taglio è pari al valore v = del flusso; dal Teorema Max Flow/Min Cut discende quindi che il flusso ottenuto è massimo, e che quello indicato è un taglio di capacità minima. 8, v =, 9, θ =,,,,,,,,, 8, v =, 9, θ =,,,,,,,,, 8, v =, 9, θ =,,,,,,,,, 8, v =, 9, θ =,,,,,,,,, 8, v = 9, 9, θ =,,,,,,,,, 8, v =, 9,,,6,,,,,,, Il taglio di capacità minima determinato dall algoritmo non è unico. Infatti, il taglio (N s,n t ) = ({,,,},{,6,}) ha anch esso capacità (non fanno più parte del taglio (,) e (,), saturi e di capacità rispettivamente e, ma fanno parte del taglio (,) e (,), anch essi saturi e di capacità rispettivamente e ).

4 o Appello // ) Si risolva il problema di flusso di costo minimo relativamente all istanza in figura utilizzando l algoritmo dei cammini minimi successivi. Per ogni iterazione si mostri lo pseudoflusso con i relativi sbilanciamenti, l albero dei cammini minimi con le relative etichette, e la quantità θ di flusso inviata lungo il cammino; si selezioni come destinazione il nodo con etichetta minore, ed a parità di etichetta quello con indice minore. Al termine si discuta la soluzione ottenuta. b i i c ij, u ij b j j -, - -,,,,,,,, -, 6 Lo pseudoflusso iniziale, ottenuto saturando gli archi di costo negativo e vuotando tutti gli altri, è tutto nullo tranne per l arco (,), che ha x =. A partireda tale pseudoflusso, che è sicuramente minimale, le iterazioni sono mostrate in figura, da sinistra a destra. In alto è rappresentato lo pseudoflusso (minimale) ed i corrispondenti sbilanciamenti dei nodi, in basso l albero dei cammini minimi (rappresentato sul grafo originario) con le relative etichette, il cammino selezionato (archi in neretto) e la quantità di flusso θ inviata. All ultima iterazione, lo pseudoflusso ottenuto ha vettore di sbilanciamenti tutto nullo; pertanto è un flusso ammissibile, ed essendo anche minimale è quindi la soluzione ottima del problema., θ = θ = θ = 6

5 o Appello // ) Tommaso, accanito giocatore di RPG, sta giocando il DLC Bloody Pine (Bat) dell RPG The Pitcher, ambientato nel mondo del baseball fantasy-medievale. Dopo la missione del dottor Moreau il protagonista, Geraldo, acquisisce la possibilità di sviluppare mutazioni che gli conferiscono poteri speciali. Sviluppare ogni mutazione m M richiederebbe p m dei P Punti Esperienza (PE) che Tommaso ha accumulato, e se attivata darebbe un bonus b m alla potenza di Geraldo; è però possibile attivare solamente una delle mutazioni acquisite. Alcune mutazioni possono essere acquisite solo quando se ne sono già acquisite una o due altre specifiche in precedenza; Tommaso conosce, per ogni m M, l insieme P(m) M (eventualmente vuoto) delle mutazioni che devono essere acquisite per poter ottenere m. Inoltre, per essere acquisita ogni mutazione m M richiede, oltre ai PE, un numero dato d m c (possibilmente nullo) di mutageni (g)reater per ciascuno dei tre colori c C = { rosso, verde, blu }. Combattendo contro i mostri Geraldo ha ottenuto o t c mutageni di ciascuno dei tre tipi T = { l(esser), n(ormal), g(reater) }. Avendo sbloccato il laboratorio nel seminterrato della sua tenuta di Covo Bianco, Gerardo può però trasmutare tre mutageni l di colore c C in uno n dello stesso colore, a costo fc ln, e similmente tre mutageni n per uno g a costo fc ng. Inoltre per ogni coppia di colori c c è possibile trasmutare mutageni di qualsiasi tipo t dal colore c a quello c al costo fc,c t. Questi costi sono in Oren, una delle tre valute presenti nel gioco oltre ai Floren ed alle Corone; Tommaso ha O, F e C di ciascuna, ma può cambiare Floren e Corone in Oren al rateo di α FO e α CO, rispettivamente. Si scriva come PLI il problema che deve risolvere per stabilire come investire i PE, i mutageni e le valute disponibili in modo da massimizzare il bonus finale alla potenza di Geraldo e quindi riuscire a vincere la ancor più difficile boss fight finale del DLC. Il problema può essere descritto attraverso variabili binarie x m e y m che indicano rispetticamente se si è acquisita e se è attiva la mutazione m M. Sono poi necessarie variabili s ln c ed s ng c per c C che indicano quante conversioni di tipo (a parità di colore) si fanno, e variabili s t c,c per ogni (c,c ) C C con c c e t T che indicano quante conversioni di colore (a parità di tipo) si fanno. Una formulazione del problema è: max m M bm y m () m M y m () y m x m m M () x m x m m M : P(m), m P(m) () m M pm x m P () o l c + c c sl c,c sln c + c c sl c,c c C (6) o n c + c c sn c,c +sln c s ng c + c c s n c,c c C () m M dm c x m o g c +sng c + c c sg c,c c c sg c,c c C (8) ( c C f ln c s ln c +fc ng s ng c + ) c c t T ft c,c st c,c O+αFO F +α CO C (9) x m {,}, y m {,} m M () s ln c N, s ng c N c C () s t c,c N c C, c c, t T () Il vincolo () assicura che al massimo una mutazione sia attivata; in questo modo la funzione obiettivo () massimizza il bonus di potenza per Geraldo. I vincoli () assicurano che sia attivata solo una mutazione che è stata effettivamente acquisita, mentre i vincoli () assicurano che vengano rispettate le relazioni di precedenza, ossia che ogni mutazione (di quelle che lo richiedono) sia acquisita solo se sono state acquisite anche tutte quelle da cui dipende (in altri termini, che la mutazione non possa essere acquisita se anche una sola di quelle da cui dipende non lo è stata). Il vincolo () è quello di budget sui PE. I vincoli (6) assicurano che i mutageni l(esser) di ogni colore c C usati per trasmutazioni (in mutageni n dello stesso colore oppure in mutageni l di colore diverso) siano non più di quelli disponibili, ossia quelli ottenuti nel gioco più quelli ottenuti trasmutando mutageni (l) di colori diversi da c. Similmente, i vincoli () assicurano che i mutageni n(ormal) di ogni colore c C usati per trasmutazioni (in mutageni g dello stesso colore oppure in mutageni n di colore diverso) siano non più di quelli disponibili, ossia quelli ottenuti nel gioco più quelli ottenuti trasmutando mutageni (n) di colori diversi da c più quelli ottenuti trasmutando mutageni l dello stesso colore. I vincoli (8) sono i vincoli di disponibilità dei mutageni g(reater) ai fini delle mutazioni; nel lato destro si contano i mutageni ottenuti nel gioco più quelli ottenuti trasmutando mutageni (g) di colori diversi da c meno quelli ottenuti trasmutando mutageni g in colori diversi da c più quelli ottenuti trasmutando mutageni n dello stesso colore. Infine il vincolo (9) è quello sul budget di Oren (le altre due valute sono staticamente convertite in quella nel lato destro), ed i seguenti quelli di integralità e limiti (inferiori e superiori) sulle variabili.

6 o Appello // 6 6) Si applichi all istanza di TSP in figura un algoritmo di B&B che usa MST come rilassamento, nessuna euristica, ed effettua il branching selezionando il nodo col più piccolo valore r > di lati dell MST in esso incidenti (a parità di tale valore, quello con indice minimo) e creando r(r )/ figli corrispondenti a tutti i modi possibili per fissare a zero la variabile corrispondente a r di tali lati. Si visiti breadth-first l albero delle decisioni, ossia si implementi Q come una fila, e si inseriscano in coda i figli di ogni nodo in ordine lessicografico crescente dell insieme di lati fissati a zero. Si esegua l algoritmo fino al momento in cui si possa certificare di avere ottenuto una soluzione con un errore assoluto pari al massimo ad, sfruttando questa condizione, ove possibile, per velocizzare l algoritmo. Per ogni nodo dell albero si riportino la soluzione ottenuta dal rilassamento con la corrispondente valutazione inferiore; si indichi poi se, e come, viene effettuato branching o se il nodo viene chiuso e perché. Giustificare tutte le risposte. Indichiamo con z la valutazione inferiore ottenuta ad ogni nodo e con z la migliore delle valutazioni superiori determinate (inizialmente z = + ). La coda Q viene inizializzata inserendovi il solo nodo radice dell albero delle decisioni, corrispondente a non aver fissato alcuna variabile. Nodo radice L MST, con z =, è mostrato in (a). Poichènon è un ciclo Hamiltoniano, non si è determinata alcuna soluzione ammissibile; pertanto z = < z = + ed occorre procedere col branching. Ciò corrisponde a selezionare il nodo, che ha tre lati incidenti e creare i ( )/ = figli, inseriti in Q in quest ordine, in cui si fissano a zero rispettivamente i lati {,}, {,} e {,}. x = L MST, con z = 6, è mostrato in (b). Poichè z = 6 < z = +, occorre procedere col branching. Ciò corrisponde a selezionare il nodo, che ha tre lati incidenti, e creare i tre figli, inseriti in Q in quest ordine, in cui si fissano a zero rispettivamente i lati {,}, {,} e {,}. x = L MST, con z = 8, è mostrato in (c). Poiché si tratta di un ciclo Hamiltoniano, e 8 < z = +, si pone z = 8; inoltre il nodo viene chiuso per ottimalità. In altri termini, poiché z = 8 z = 8, il nodo viene chiuso dalla valutazione inferiore. x = L MST, con z =, è mostrato in (d). Poichè z = < z = 8, occorrerebbe procedere col branching. Poichè però z = 8 = z ε, il nodo può comunque essere chiuso dalla valutazione inferiore garantendo un errore assoluto massimo ε = a terminazione. x = x = L MST, con z =, è mostrato in (e). Poichè z = > z = 8, il nodo viene chiuso dalla valutazione inferiore. x = x = L MST, con z =, è mostrato in (f). Ancora, poichè z = < z = 8 occorrerebbe procedere col branching, ma siccome z = 8 = z ε, il nodo può comunque essere chiuso dalla valutazione inferiore garantendo un errore assoluto massimo ε = a terminazione. x = x = L MST, con z =, è mostrato in (g). Poichè z = > z = 8, il nodo viene chiuso dalla valutazione inferiore. Poiché Q è vuota, l algoritmo termina. L analisi dell algoritmo B&B assicura che la valutazione inferiore globale è pari a min{ z ε, min { z(p ) : P Q } }, dove Q è l insieme dei predecessori immediati dei nodi in Q; poiché Q = allora anche Q =, e di conseguenza z ε = 8 = è una valutazione inferiore globale valida sull ottimo del problema. Quindi il valore z = 8 della miglior soluzione determinata è garantito essere distante al più ε = dal valore ottimo del problema. a) b) c) d) e) f ) g)