Esercitazione n o 7 per il corso di Ricerca Operativa

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1 Esercitazione n o 7 per il corso di Ricerca Operativa Modello di miscelazione Il problema è stato tratto dal libro W. L. Winston. Operations Research, Application and Algorithms, 4th Edition, Thomson Learning, 2004, ISBN: , page 86. Un problema di miscelazione Una azienza produce tre tipi di gasolio (gas 1, gas 2, gas 3). Ciascuno dei tre tipi di gasolio è ottenuto per miscelazione di tre tipi di oli grezzi (crude 1, crude 2, crude 3). I prezzi di vendita/acquisto al barile di ciascun gasolio/olio grezzo sono i seguenti: prezzi di vendita al barile prezzi di acquisto al barile Gas 1 $70 Crude 1 $45 Gas 2 $60 Crude 2 $35 Gas 3 $50 Crude 3 $25 L azienda può acquistare fino a 5000 barili di ogni tipi di olio grezzo. I tre tipi di gasolio differiscono nel numero di ottani e nel contenuto di zolfo. Gli olii grezzi miscelati per realizzare il gas 1 devono avere un numero di ottani medio di almeno 10 e contenere al più l 1% di zolfo. Gli olii grezzi miscelati per realizzare il gas 2 devono avere un numero di ottani medio di almeno 8 e contenere al più il 2% di zolfo. Gli olii grezzi miscelati per realizzare il gas 3 devono avere un numero di ottani medio di almeno 6 e contenere al più il 1% di zolfo. Il numero di ottani e il contenuto di zolfo dei tre tipi di olii grezzi sono: numero di ottano contenuto zolfo Crude % Crude % Crude % La produzione di un barile di gasolio costa $4 e l azienda è in grado di produrre fino a 14,000 barili di gasolio giornalieri. I clienti richiedono le seguenti quantità di ogni tipo di gasolio: gas barili/giorno, gas barili/giorno, and gas barili/giorno. L azienda considera un obbligo il soddisfacimento della domanda. Inoltre l azienda ha la possibilità di fare pubblictà per stimolare l acquisto di suoi prodotti. Per ogni dollaro speso giornalmente per la pubblicità di un certo tipo di gasolio, la domanda giornaliera di quel tipo di gasolio aumenta di 10 barili. Ade sempio, se l azienda decide di spendere $20 gionealieri per la pubblicità di gas 2, la domanda giornaliera di gas 2 aumenta di 20(10) = 200 barili. Formulare un modello di PL che consenta di massimizzare il profitto (=ricavo-costi). 1

2 Analisi sintetica del problema. prezzo prezzo domanda al più almeno vendita produzione barile zolfo Ottani $/barile $/barile giorno GAS variabili di decisione 1% X 11 X 12 X 13 A 1 2% X 21 X 22 X 23 A 2 1% X 31 X 32 X 33 A 3 OLIO GREZZO prezzo acquisto $/barile olio disponibile, max barile/giorno numero di ottani contenuto di zolfo 0.5% 2.0% 3.0% * per ogni tipo di gasolio: 1 $ al giorno aumenta la domanda di 10 barili/giorno * Max quantità di gasolio da produrre barili/giorno. Formulazione. Consideriamo inizialmente il caso in cui non si prevede di poter investire in pubblicitá. Variabili di decisione. Associamo le variabili di decisione X ij alle quantità barili di olio grezzo di tipo j utilizzati per la produzione del gasolio di tipo i (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3). Sulla base di tale definzione è possibile ricavare l espressione analitica delle quantità di diversi gasolii realizzati e di olii utilizzati. Olio j per j = 1, 2, 3 utilizzato = Gas i per i = 1, 2, 3 prodotto = Funzione obiettivo. Si vuole max il profitto Z = ricavo -costi #gas (ricavo) gas i * (quantità di gas) gasi - #gas costi di produzione) gas i * (quantità di gas) gasi - #olii ( costi di acquisto) olio j * (quantità di olio usato ) olioj. Dunque si ottiene: X ij X ij (ricavo - costi di produzione) i gas i = (70 4) X 1j +(60 4) X 2j +(50 4) X 3j (costi di acquisto) j olio j = 45 X i X i Il profitto derivante dall uso dell olio grezzo 1 per la produzione del Gas 1 z = ( ) X 11 = 21 X 11 X i3 2

3 Da cui si ottiene l espressione della funzione obiettivo: max Z = 21X X 12 +1X X X X X X X 33 Vincoli. Vincoli di domanda sui Gas 1, 2, 3 C1 : 1X X X 13 = 3000 C2 : 1X X X 23 = 2000 C3 : 1X X X 33 = 1000 Vincoli di disponibilità di Olio 1, 2, 3: C4 : 1X X X C5 : 1X X X C6 : 1X X X Vincoli di produzione della raffineria: C7 : 1X X X X X X X X X Vincoli di qualità sul numero medio minimo di ottani nei Gas 1, 2, 3: che da luogo al vincolo C8 (12X X X 13 ) (X 11 + X 12 + X 13 ) >= 10 C8 : 2X 11 4X 12 2X 13 0 C9 : 4X 21 2X 22 0 C10 : 6X X 33 0 Vincoli sul massimo contenuto % di zolfo nei Gas 1, 2, 3: (0.005X X X 13 )/(X 11 + X 12 + X 13 ) =< 0.01 che dá luogo al vincolo C11 C11 : 0.005X X X 13 0 C12 : 0.015X X 23 0 C13 : 0.005X X X 33 0 Infine si devono considerare i vincoli di non negatività X ij 0, i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3. 3

4 La formulazione completa del modello base è quindi max 21X X X X X X X X X 33 X 11 + X 12 + X 131 = 3000 X 21 + X 22 + X 23 = 2000 X 31 + X 32 + X 33 = 1000 X 11 + X 21 + X X 12 + X 22 + X X 13 + X 23 + X X 11 + X 12 + X 13 + X 21 + X 22 + X 23 + X 31 + X 32 + X X 11 4X 12 2X X 21 2X X X X X X X X X X X 33 0 X ij 0, i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 Supponiamo ora di inserire la possibilitá di investire in pubblicitá. Si tratta di individuare le nuove variabili di decisione e verificare come cambia la formulazione. Variabili di decisione. Si agiungono le variabili A i = euro spesi giornalmente per la pubblicità per il gasolio di tipo i (i = 1, 2, 3); Funzione obiettivo. nella funzione obiettivo si deve considerare anche un costo di pubblicità (da sottrarre al profitto) costi pubblicità = A 1 + A 2 + A 3 Vincoli. I vincoli che sono modificati sono quelli relativi alla domanda. L investimento in pubblicità consente di aumenatare la richiesta effettiva X 11 + X 12 + X 13 = A 1 X 21 + X 22 + X 23 = A 2 X 31 + X 32 + X 33 = A 3 Il resto dei vincoli generali é invariato. Infine si devono considerare i vincoli di non negatività: A j 0, j = 1, 2, 3. 4

5 La formulazione completa è quindi max 21X X X X X X X X X 33 A 1 A 2 A 3 X 11 + X 12 + X A 1 = 3000 X 21 + X 22 + X 23 10A 2 = 2000 X 31 + X 32 + X 33 10A 3 = 1000 X 11 + X 21 + X X 12 + X 22 + X X 13 + X 23 + X X 11 + X 12 + X 13 + X 21 + X 22 + X 23 + X 31 + X 32 + X X 11 4X 12 2X X 21 2X X X X X X X X X X X 33 0 X ij 0, i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 A j 0, j = 1, 2, 3 5