Appunti delle Esercitazione di Ricerca Operativa AMPL Plus v1.6

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1 Appunti delle Esercitazione di Ricerca Operativa AMPL Plus v1.6 acuradig.liuzzi a.a Uso di variabili e parametri a 3 o più dimensioni: un modello di pianificazione Negli esempi precedenti abbiamo esaminato l uso di variabili e parametri monodimensionali o a due dimensioni. In AMPL è possibile utilizzare variabili e parametri a piùdidue dimensioni e questo può risultare molto utile in alcuni casi. Consideriamo il seguente problema di pianificazionedellaproduzioneetrasporto. Un impresa gestisce la produzione ed il trasporto di 2 tipi di profilati in alluminio (tipo A e tipo B) da 3 fabbriche (F 1,F 2,F 3 ) verso 2 magazzini (M 1, M 2 ). I costi di trasporto (in Euro) ct A ij di un profilato A, dalla fabbrica F i al magazzino M j,eicostiditrasporto(ineuro)ct B ij di un profilato B, dalla fabbrica F i al magazzino M j sono riportati nelle tabelle seguenti: profilato A M 1 M 2 F F F profilato B M 1 M 2 F F F Inoltre in ciascuna fabbrica F i, i =1, 2, 3, per la produzione di ciascun profilato A viene sostenuto un costo (in Euro) cp A i e viene impiegato un tempo in minuti t A i ; analogamente per la produzione di ciascun profilato B viene sostenuto un costo (in Euro) cp B i e viene impiegato un tempo in minuti t B i. La seguente tabella riassume questi dati: F 1 F 2 F 3 costo tempo costo tempo costo tempo profilato A profilato B Il tempo massimo a disposizione T max i in ciascuna delle fabbriche F i, i =1, 2, 3,, perlaproduzionedientrambiiprofilati, è limitato rispettivamente a 12000, e minuti. Infine la richiesta di profilati di ciascun tipo (A e B) per ciascun magazzino M j, j =1, 2, ric A j, ric B j è riassunta nella seguente tabella: M 1 M 2 profilato A profilato B Si formuli un modello di Programmazione Lineare che verifichi le specifiche del problema descritto, al fine di minimizzare il costo totale della produzione e del trasporto dei 2 profilati dalle 3 fabbriche di produzione ai 2 magazzini. Si assuma che tutti i profilati prodotti vengano inviati ai magazzini in quanto nelle fabbriche non c è la possibilità di immagazziare profilati. liuzzi@dis.uniroma1.it, liuzzi 1

2 Per risolvere il precedente problema in AMPL possiamo procedere in due modi leggermente diversi. Come accade molto spesso, anche in questo caso è possibile fare diverse scelte riguardanti le variabili di decisione. In particolare, noi considereremo due possibili modi di formulare il problema. Prima formulazione Scegliamo le variabili di decisione nel seguente modo: x k i = numero di profilati di tipo k (k = A, B) prodotti nella fabbrica F i, i =1, 2, 3 y k ij = numero di profilati del tipo k (k = A, B) prodotti nella fabbrica F i e consegnati al magazzino M j, i =1, 2, 3 j =1, 2 Con questa scelta, otteniamo il seguente modello lineare: min x A x B x A x B x A x B y11 A +2.0y12 A +1.8y21 A +1.9y22 A +2.0y31 A +2.0y32 A + 2.1y11 B +2.2y12 B +1.8y21 B +1.9y22 B +2.0y31 B +2.0y32 B x A 1 = y11 A + y12 A x A 2 = y21 A + y22 A x A 3 = y31 A + y32 A x B 1 = y11 B + y12 B x B 2 = y21 B + y22 B x B 3 = y31 B + y32 B y11 A + y21 A + y31 A 2000 y12 A + y22 A + y32 A 3000 y11 B + y21 B + y31 B 2500 y12 B + y22 B + y32 B 1500 x A x B x A x B x A x B x k i 0,y k ij 0, intere, k = A, B, i =1, 2, 3, j =1, 2. Si vuole ora scrivere questo modello in AMPL sempre tenendo separati i dati dalla struttura del modello e quindi scrivendo separatamente i due file.mod e.dat. A tale scopo èmolto utile riscrivere il modello considerato in una forma parametrica che generalizza il problema esaminato ovvero nella forma: 2

3 3 min cp k i x k i i=1 k=a,b k=a,b i=1 j=1 2 x k i = yij k i =1, 2, 3, k = A, B j=1 ct k ijy k ij 3 yij k ric k j j =1, 2, k = A, B i=1 t k i x k i T max i i =1, 2, 3, k=a,b x k i 0,yk ij 0, intere, k = A, B, i =1, 2, 3, j =1, 2. Possiamo ora scrivere i file.mod e.dat. # definizione degli insiemi set FABBRICHE; set MAGAZZINI; set PROFILATI; profilati.mod # definizione dei parametri param costo_trasp{profilati,fabbriche,magazzini}>=0; param costo_prod{profilati,fabbriche}>=0; param tempi_produz{profilati,fabbriche}>=0; param richiesta{profilati,magazzini} >=0; param max_tempi{fabbriche} >=0; # introduzione delle variabili e dichiarazione di non negativita e interezza var x{k in PROFILATI, i in FABBRICHE} >=0, integer; var y{k in PROFILATI, i in FABBRICHE, j in MAGAZZINI} >=0, integer; # funzione obiettivo minimize costi_totali: sum{k in PROFILATI, i in FABBRICHE} costo_prod[k,i]*x[k,i] + sum{k in PROFILATI, i in FABBRICHE, j in MAGAZZINI} costo_trasp[k,i,j]*y[k,i,j]; # vincoli del problema s.t. congruenza{k in PROFILATI, i in FABBRICHE}: x[k,i] = sum{j in MAGAZZINI} y[k,i,j]; 3

4 s.t. sodd_richiesta{k in PROFILATI, j in MAGAZZINI}: sum{i in FABBRICHE} y[k,i,j] >= richiesta[k,j]; s.t. risp_tempi{i in FABBRICHE}: sum{k in PROFILATI} tempi_produz[k,i]*x[k,i] <= max_tempi[i]; profilati.dat set FABBRICHE:= F1 F2 F3; set MAGAZZINI:= M1 M2; set PROFILATI:= tipoa tipob; param costo_trasp:= [tipoa,*,*]: M1 M2 := F F F [tipob,*,*]: M1 M2 := F F F ; param costo_prod : F1 F2 F3 := tipoa tipob ; param tempi_produz : F1 F2 F3 := tipoa tipob ; param richiesta : M1 M2 := tipoa tipob ; param : max_tempi := F F F ; Osserviamo l istruzione di assegnazione del parametro a tre dimensioni: param costo_trasp:= [tipoa,*,*]: M1 M2 := F F F

5 [tipob,*,*]: M1 M2 := F F F ; È una notazione più concisa di quella standard che dovrebbe essere: param costo_trasp:= tipoa F1 M1 1.7 tipoa F1 M2 2.0 tipoa F2 M1 1.8 tipoa F2 M2 1.9 tipoa F3 M1 2.0 tipoa F3 M2 2.0 tipob F1 M1 2.1 tipob F1 M cherisultamoltomenocomoda. Riportiamo,diseguito,ancheilfile dei risultati ottenuti. Tale file ècompostodidueparti: nella prima parte è riportato il valore ottimo della funzione obiettivo e il valore delle variabili all ottimo. Nella seconda parte è riportato il valore all ottimo delle variabili duali. risultati profilati.txt OBJECTIVES: costi_totali = VARIABLES: x := tipoa F tipoa F2 0 tipoa F tipob F1 0 tipob F tipob F3 0 ; y := tipoa F1 M tipoa F1 M2 0 tipoa F2 M1 0 tipoa F2 M2 0 tipoa F3 M1 0 tipoa F3 M tipob F1 M1 0 tipob F1 M2 0 tipob F2 M tipob F2 M tipob F3 M1 0 tipob F3 M2 0 ; 5

6 CONSTRAINTS (Dual Values): congruenza := tipoa F1 1 tipoa F2 0.9 tipoa F3 0.7 tipob F tipob F tipob F ; risp_tempi [*] := F1 0 F2 0 F3 0 ; sodd_richiesta := tipoa M1 2.7 tipoa M2 2.7 tipob M tipob M ; 6

7 Seconda Formulazione modo: In questo caso, scegliamo le variabili di decisione nel seguente x k ij = numero di profilati del tipo k (k = A, B) prodotti nella fabbrica F i e consegnati al magazzino M j, i =1, 2, 3 j =1, 2 Con questa scelta, otteniamo il seguente modello lineare: min (x A 11 + x A 12)+1.1(x B 11 + x B 12)+0.9(x A 21 + x A 22)+ 0.85(x B 21 + x B 22)+0.7(x A 31 + x A 32)+0.75(x B 31 + x B 32)+ 1.7x A x A x A x A x A x A x B x B x B x B x B x B 32 x A 11 + x A 21 + x A x A 12 + x A 22 + x A x B 11 + x B 21 + x B x B 12 + x B 22 + x B (x A 11 + x A 12)+0.9(x B 11 + x B 12) (x A 21 + x A 22)+0.8(x B 21 + x B 22) (x A 31 + x A 32)+0.8(x B 31 + x B 32) x k ij 0, intere, k = A, B, i =1, 2, 3, j =1, 2. Si vuole ora scrivere questo modello in AMPL sempre tenendo separati i dati dalla struttura del modello e quindi scrivendo separatamente i due file.mod e.dat. A tale scopo èmolto utile riscrivere il modello considerato in una forma parametrica che generalizza il problema esaminato ovvero nella forma: min 3 i=1 k=a,b cp k i 2 x k ij j=1 k=a,b i=1 j=1 ct k ijx k ij 3 x k ij ric k j j =1, 2, k = A, B i=1 k=a,b t k i 2 x k ij T max i i =1, 2, 3, j=1 x k ij Possiamo ora scrivere i file.mod e.dat. 0, intere, k = A, B, i =1, 2, 3, j =1, 2. # definizione degli insiemi set FABBRICHE; profilati.mod 7

8 set MAGAZZINI; set PROFILATI; # definizione dei parametri param costo_trasp{profilati,fabbriche,magazzini}>=0; param costo_prod{profilati,fabbriche}>=0; param tempi_produz{profilati,fabbriche}>=0; param richiesta{profilati,magazzini} >=0; param max_tempi{fabbriche} >=0; # introduzione delle variabili e dichiarazione di non negativita e interezza var x{k in PROFILATI, i in FABBRICHE, j in MAGAZZINI} >=0, integer; # funzione obiettivo minimize costi_totali: sum{k in PROFILATI, i in FABBRICHE, j in MAGAZZINI} (costo_prod[k,i] + costo_trasp[k,i,j])*x[k,i,j]; # vincoli del problema s.t. sodd_richiesta{k in PROFILATI, j in MAGAZZINI}: sum{i in FABBRICHE} x[k,i,j] >= richiesta[k,j]; s.t. risp_tempi{i in FABBRICHE}: sum{k in PROFILATI, j in MAGAZZINI} tempi_produz[k,i]*x[k,i,j] <= max_tempi[i]; Domanda Il file dei dati relativo al nuovo modello è uguale o diverso da quello relativo al primo modello? 2 Esercizio Una industria metalmeccanica produce tre tipi di acciaio (normale, inox, temperato) utilizzando quattro macchine (M1, M2, M3, M4). Per evitare i lunghi tempi di avvio delle macchine, l industria le fa lavorare 24 ore su 24 dividendo la giornata (di 24 ore) in tre turni lavorativi: 8-16, 16-24, La tabella seguente riporta, per ogni turno di lavoro e per ogni macchina il tempo necessario (in ore) per lavorare una tonnellata di acciaio M1 M2 M3 M4 M1 M2 M3 M4 M1 M2 M3 M4 normale inox temperato Tuttavia, per questioni sindacali, ciascuna macchina può lavorare per un tempo limitato e dipendente dal turno di lavoro, come riportato nella tabella che segue M M M M Supponiamo, inoltre, che per ragioni di mercato, siano assegnate delle quantità minime e massime per ciascun prodotto secondo la seguente tabella. 8

9 min max normale inox 10 temperato infine, supponiamo che tutto l acciaio prodotto viene assorbito dal mercato fruttando all azienda i seguenti profitti (in migliaia di euro per tonnellata) normale inox temperato profitto (mln $/ton.) Si scriva in AMPL un problema di PL che massimizzi i profitti giornalieri dell industria. (Aiuto: la costante numerica si indica, in AMPL, con la parola chiave Infinity ) Riportiamo direttamente i due file (di modello e dei dati) che, in AMPL, risolvono il problema proposto. acciaio1.mod set TURNI; set PROD; set MACCHINE; param tprod{macchine,turni,prod}; param tlim{macchine,turni}; param prezzo{prod}; param ulim{prod}; param llim{prod}; var x{macchine,turni,prod} >= 0; maximize profit: sum{p in PROD}prezzo[p]* sum{m in MACCHINE,t in TURNI}x[m,t,p]; s.t. tempo{m in MACCHINE,t in TURNI}: sum{p in PROD}tprod[m,t,p]*x[m,t,p] <= tlim[m,t]; s.t. u_lim{p in PROD}: sum{t in TURNI, m in MACCHINE}x[m,t,p] <= ulim[p]; s.t. l_lim{p in PROD}: sum{t in TURNI, m in MACCHINE}x[m,t,p] >= llim[p]; acciaio1.dat set TURNI := ; set PROD := normale inox temperato; set MACCHINE := M1 M2 M3 M4; param prezzo := normale 6 inox 25 temperato 20 ; param tlim: := M M M M ; 9

10 param tprod := [*, 8-16,*]: normale inox temperato := M M M M [*, 16-24,*]: normale inox temperato := M M M M [*, 24-8,*]: normale inox temperato := M M M M ; param: llim := normale 200 inox -Infinity temperato -Infinity ; param: ulim := normale 300 inox 10 temperato +Infinity ; Riferimenti bibliografici [1] R. Fourer, D.M. Gay, and B.W. Kernighan, AMPL a modeling language for mathematical programming, boyd & fraser publishing company, Massachusetts,