Modelli di Ottimizzazione: definizione formale
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- Aloisio Davide Grasso
- 9 anni fa
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1 Modelli di Ottimizzazione: definizione formale Insieme delle possibili alternative Un criterio di ottimizzazione Soluzione ammissibile (Feasible) x appartiene ad un insieme F f: F funzione obiettivo finito infinito min xf f ( x) o max xf f ( x)
2 Un esempio banale Definizione del problema Quale è il più breve cammino per andare dal posto A al posto B? Soluzioni ammissibili F={x=tutti i possibili percorsi da A a B} Funzione obiettivo Minimizzare la lunghezza f del percorso
3 Un esempio meno banale: Pianificazione di una produzione Una fabbrica produce due tipi di attrezzi: Chiavi inglesi e pinze. Le chiavi costano alla produzione.5 ciascuna Le pinze costano alla produzione ciascuna Costi di produzione Le chiavi sono vendute a 6 ciascuna Le pinze sono vendute a 5 ciascuna Prezzo di vendita Valutare il profitto Funzione obiettivo
4 Uno scenario possibile 5 chiavi Supponiamo di costruire 5 pinze Definiamo i dati del problema profitto unitario = prezzo di vendita costo di produzione 4,5 = (6,5) profitto per chiave 4 = (5 ) profitto per pinza Funzione obiettivo= profitto totale P TOT P TOT = numero di chiavi * profitto per chiave + numero di pinze * profitto per pinze
5 Uno scenario possibile (2) Formalmente: CH = numero di chiavi da produrre PI = numero di pinze da produrre variabili output del nostro modello Espressione del profitto 5 P TOT = 4,5 CH + 4 PI = 4,5 * * 5 = 275 profitto per chiavi Profitto per pinze 5 Risulta il miglior valore?
6 Uso di Excel per caricare i dati Usiamo un foglio Excel per rappresentare dati e obiettivo CH= C8 = numero di chiavi PI = D8 = numero di pinze 4,5 = profitto u. chiavi = C4 C5 4 = profitto u. pinze = D4 D5 P TOT = 4,5 CH + 4 PI equazione del profitto C9 = C6 * C8 + D6 * D8 formula di Excel
7 Vincoli Ciascun punto del I quadrante è una soluzione ammissibile (feasible) (un possibile piano di produzione) Chiavi (migliaia) (25) (68) (275) { x : x Pinze (migliaia) In teoria: più produco più guadagno! In pratica: esistono dei vincoli che limitano la produzione F } Profitto Totale
8 Un vincolo standard: il budget Vincolo di budget: il costo totale non può superare i 8 CH = C8 = numero di chiavi PI = D8 = numero di pinze C TOT = costo totale C TOT =,5 CH + PI Costo per chiave Costo per pinza C = C5 * C8 + D5 * D8 C TOT =,5 CH + PI budget =8 Equazione del costo Vincolo di budget
9 Rappresentazione geometrica del vincolo Rappresentiamo l insieme F delle soluzioni ammissibili Nel piano (PI, CH), disegnamo l equazione del Regione ammissibile CH C TOT = 2 C TOT = 2 vincolo di budget I punti del I quadrante sotto la linea C TOT = PI,5 CH + PI = 8 > 8: non ammissibile 8 8: ammissibile
10 Rappresentazione geometrica del vincolo Noi dobbiamo trovare la soluzione giusta tra quelle ammissibili CH giusta Deve soddisfare il vincolo di budget Deve massimizzare il profitto PI 8 I punti nella zona rossa soddisfano il vincolo di budget. Quale è il migliore?
11 Vediamo diversi scenari Scenari con Excel 7 chiavi pinze 8 produzione profitto 25 Costo 7 Budget 8 differenza Ammissibile 7 chiavi pinze 8 produzione 5 9 profitto 69 costo 8 budget 8 differenza 7 chiavi pinze 8 produzione profitto 275 costo 375 budget 8 2 differenza -95 Non ammissibile 7 chiavi pinze 8 produzione 2 9 profitto 53 costo 7 budget 8 differenza Ammissibile Ammissibile E una possibilità? Il migliore tra i tre. E l ottimo?
12 Limite dell approccio Cosa accade se... Gli scenari sono troppi: infinite soluzioni! Non è possibile esplorarle tutte! Noi potremmo chiederci se le cose potrebbero andare meglio quando il numero delle soluzioni è finito Questo non è sempre vero, vediamolo con un esempio
13 Un primo esempio: capital budgeting Definizione del problema Dati Una azienda sta analizzando 3 possibili progetti finanziari da attivare per il prossimo anno Investimenti (I) richiesti per ciascun progetto Guadagni (G) previsti per ciascun progetto I progetto 8 progetto 2 6 progetto 3 5 G progetto 2 progetto 2 8 progetto 3 7 Budget 5 milioni
14 Capital budgeting: uno scenario possibile Selezionato (SI = ) Per ciascun progetto Non selezionato (NO = ) Progetto Progetto 2 Progetto 3 Si = No = Si Investimento richiesto = = 3 Guadagno previsto = = 9 E il migliore?
15 Capital budgeting I progetto 8 progetto 2 6 progetto 3 5 totale I Budget 5 milioni,,,,, ' ' Possibili scelte Non accettabile Sono tutte compatibili con il budget?
16 Un cattivo modello: capital budgeting G progetto 2 progetto 2 8 progetto 3 7 totale G ,,,, ' ' Possibili scelte F= Valore ottimo Qual è la migliore rispetto al guadagno?
17 Un cattivo modello: capital budgeting Soluzioni ammissibili Rappresentazione esaustiva 2 n = numero enorme per n grande Diventa impossibile rappresentarli Dipendenza dai dati Se i dati cambiano, tutto il modello deve essere cambiato
18 Un buon modello: capital budgeting Rappresentazione implicita delle soluzioni ammissibili Indipendenza dai dati se il progetto i è selezionato Variabili di decisione x i = se il progetto i non è selezionato Vincolo di budget 8 x +6 x 2 +5 x 3 5 budget Investimento per il progetto Investimento per il progetto 2 Investimento per il progetto 3
19 Un buon modello: capital budgeting se il progetto i è selezionato x i = se il progetto i non è selezionato Guadagni 2 x +8 x 2 +7 x 3 Guadagni per il progetto Guadagni per il progetto 2 Guadagni per il progetto 3 Se i dati cambiano, solo i coefficienti devono essere cambiati, mentre il modello rimane invariato
20 Costruzione di un buon modello: regole generali Definizione delle variabili di decisione definizione degli obiettivi x i = se il progetto è i è selezionato se il progetto è i non è selezionato i=,2,3 max 2 x +8 x 2 +7 x 3 Guadagni Definizione dei vincoli 8 x +6 x 2 +5 x 3 5 budget
21 Capital Budget con Excel B C D E 2 Capital Budgeting 3 progetto progetto 2 progetto 3 4 investimento guadagno dati 6 7 Valori di tentativo 8 investimento totale 6 5 budget 9 guadagno totale 8 Variabili di dcisione intere c7,d7,e7 Obiettivo C5*C7+D5*D7+E5*E7 Vincoli C4*C7+D4*D7+E4*E7
22 Rappresentazione del problema di produzione Gli scenari sono troppi Dobbiamo trovare un altro metodo CH Descriviamo la regione ammissibilef (area rossa) Tracciamo la retta del profitto P TOT 4,5 CH + 4 PI = 69 PI Valore ottimale attuale
23 Rappresentazione del problema CH Direzione di crescita Tracciamo la retta del profitto P TOT P TOT =4 CH + 4,5 PI per valori crescenti di P TOT = 8 PI 8 56 Val.ottimo precedente Ottimo!!
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