Esercitazione n o 7 per il corso di Ricerca Operativa

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1 Esercitazione n o 7 per il corso di Ricerca Operativa Modello di miscelazione Il problema è stato tratto dal libro W. L. Winston. Operations Research, Application and Algorithms, 4th Edition, Thomson Learning, 2004, ISBN: , page 86. Un problema di miscelazione Una azienza produce tre tipi di gasolio (gas 1, gas 2, gas 3). Ciascuno dei tre tipi di gasolio è ottenuto per miscelazione di tre tipi di oli grezzi (crude 1, crude 2, crude 3). I prezzi di vendita/acquisto al barile di ciascun gasolio/olio grezzo sono i seguenti: prezzi di vendita al barile prezzi di acquisto al barile Gas 1 $70 Crude 1 $45 Gas 2 $60 Crude 2 $35 Gas 3 $50 Crude 3 $25 L azienda può acquistare fino a 5000 barili di ogni tipi di olio grezzo. I tre tipi di gasolio differiscono nel numero di ottani e nel contenuto di zolfo. Gli olii grezzi miscelati per realizzare il gas 1 devono avere un numero di ottani medio di almeno 10 e contenere al più l 1% di zolfo. Gli olii grezzi miscelati per realizzare il gas 2 devono avere un numero di ottani medio di almeno 8 e contenere al più il 2% di zolfo. Gli olii grezzi miscelati per realizzare il gas 3 devono avere un numero di ottani medio di almeno 6 e contenere al più il 1% di zolfo. Il numero di ottani e il contenuto di zolfo dei tre tipi di olii grezzi sono: numero di ottano contenuto zolfo Crude % Crude % Crude % La produzione di un barile di gasolio costa $4 e l azienda è in grado di produrre fino a 14,000 barili di gasolio giornalieri. I clienti richiedono le seguenti quantità di ogni tipo di gasolio: gas barili/giorno, gas barili/giorno, and gas barili/giorno. L azienda considera un obbligo il soddisfacimento della domanda. 1. Formulare un modello di PL che consenta di massimizzare il profitto (=ricavo-costi). 2. Supponiamo che l azienda abbia la possibilità di fare pubblictà per stimolare l acquisto di suoi prodotti. Per ogni dollaro speso giornalmente per la pubblicità di un certo tipo di gasolio, la domanda giornaliera di quel tipo di gasolio aumenta di 10 barili. Ade sempio, se l azienda decide di spendere $20 gionealieri per la pubblicità di gas 2, la domanda giornaliera di gas 2 aumenta di 20(10) = 200 barili. Formulare un nuovo modello di PL che consenta di massimizzare il profitto. 3. Supponiamo inoltre che l azienda voglia fare pubblictà per uno solo dei prodotti. Ad esempio, se l azienda decide di investire in pubblicità per il gas 2, non può investire in pubblicità per il gas 1 e 3. Modellare questa condizione. 1

2 Analisi sintetica del problema. zolfo Ottani prezzo vendita costo prod. domanda tipo variabili di decisione al più almeno $/barile /barile Barile/giorno GAS 1% 10 r 1 = 70 p 1 = 4 q 1 = x 11 x 12 x 13 A 1 2% 8 r 2 = 60 p 2 = 4 q 2 = x 21 x 22 x 23 A 2 1% 6 r 3 = 50 p 3 = 4 q 3 = x 31 x 32 x 33 A 3 tipo OLIO GREZZO prezzo acquisto $/barile olio disponibile, max barile/giorno numero di ottani contenuto di zolfo 0.5% 2.0% 3.0% * per ogni tipo di gasolio: 1 $ al giorno aumenta la domanda di 10 barili/giorno * Max quantità di gasolio da produrre barili/giorno. Indichiamo con r i il prezzo di vendita del gasolio di tipo i p i il costo di produzione del gasolio di tipo i q i la richiesta minima di gasolio di tipo i c j il costo di acquisto dell olio j esimo d j la disponibilitá dell olio j esimo Formulazione 1. Variabili di decisione. Associamo le variabili di decisione alle quantità barili di olio grezzo di tipo j utilizzati per la produzione del gasolio di tipo i (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3). Sulla base di tale definizione è possibile ricavare l espressione analitica delle quantità di diversi gas realizzati e di olii utilizzati. Olio j per j = 1, 2, 3 utilizzato = Gas i per i = 1, 2, 3 prodotto = Funzione obiettivo. Si vuole max il profitto Z = profitto = #gas (ricavo - costi di produzione) gas i * (quantità di gas) gasi - #olii ( costi di acquisto) olio j * (quantità di olio usato ) olioj. (r i p i ) c j 2

3 Dunque otteniamo: (70 4) x 1j + (60 4) x 2j + (50 4) x 3j 45 x i1 35 x i2 25 Il profitto derivante dall uso dell olio grezzo 1 per la produzione del Gas 1 z = ( ) x 11 = 21 x 11 Da cui si ottiene l espressione della funzione obiettivo: x i3 max Z = 21x x x x x x x x x 33 Vincoli. Vincoli di domanda sui Gas 1, 2, 3 = q i i = 1, 2, 3 C1 : 1x x x C2 : 1x x x C3 : 1x x x Vincoli di disponibilità di Olio Grezzo 1, 2, 3: C4 : 1x x x C5 : 1x x x C6 : 1x x x Vincoli di produzione della raffineria: C7 : 1x x x x x x x x x Vincoli di qualità sul numero medio di ottani: Pe il Gas 1 (12x x x 31 ) >= 10 (x 11 + x 21 + x 31 ) che da luogo al vincolo lineare C8 : (12x x x 31 ) 10 (x 11 + x 21 + x 31 ) = 2x 11 4x 21 2x 31 0 Analogamente per i Gas 2 e 3 si ottiene C9 : 4x 12 2x 22 0 C10 : 6x x 33 0 Vincoli sul massimo contenuto % di zolfo nei Gas 1, 2, 3: (0.005x x x 31 )/(x 11 + x 21 + x 31 ) =<

4 che da luogo ai vincoli C11 : 0.005x x x 31 0 C12 : 0.015x x 32 0 C13 : 0.005x x x 33 0 Infine si devono considerare i vincoli di non negatività 0, i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 La formulazione completa per la prima formulazione è quindi max 21x x x x x x x x x 33 x 11 + x 21 + x x 12 + x 22 + x x 13 + x 23 + x x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 31 + x 32 + x x 11 + x 12 + x 13 + x 21 + x 22 + x 23 + x 31 + x 32 + x x 11 4x 21 2x x 12 2x x x x x x x x x x x , i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 Formulazione 2. Variabili di decisione. Dobbiamo agiungere le variabili A i = dollari spesi giornalmente per la pubblicità del gas i (i = 1, 2, 3); Funzione obiettivo. Il profitto deve ora tenere conto anche dei costi di pubblicità Z = profitto = #gas (ricavo - costi di produzione) gas i * (quantità di gas) gasi. #olii ( costi di acquisto) olio j * (quantità di olio usato ) olioj - costi pubblicità. (r i p i ) c j (A 1 + A 2 + A 3 ) Da cui si ottiene l espressione della funzione obiettivo: max Z = 21x x 12 +1x x x x x x x 33 A 1 A 2 A 3 Vincoli. Vincoli di domanda sui Gas 1, 2, 3 La pubblicità incrementa la domanda D i D i + 10A i, dunque i vincoli di ogni gasoli secondo la legge C1 : 1x x x 31 10A C2 : 1x x x 32 10A 2 ge2000 4

5 C3 : 1x x x 33 10A Vincoli di disponibilità di Olio 1, 2, 3: rimangono invariati Vincoli di produzione della raffineria: invariato Vincoli di qualità sul numero medio di ottani e contenuto di zolfo nei Gas 1, 2, 3: invariati Infine si devono considerare i vincoli di non negatività A j 0, j = 1, 2, 3. La formulazione completa è quindi max 21x x x x x x x x x 33 A 1 A 2 A 3 x 11 + x 21 + x 31 10A x 12 + x 22 + x 32 10A x 13 + x 23 + x 33 10A x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 31 + x 32 + x x 11 + x 12 + x 13 + x 21 + x 22 + x 23 + x 31 + x 32 + x x 11 4x 21 2x x 12 2x x x x x x x x x x x , i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 A j 0, j = 1, 2, 3 5