Fondamenti di Business Analytics classi M2/M3 Michele Impedovo anno accademico

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1 Fondamenti di Business Analytics classi M2/M3 Michele Impedovo anno accademico Parte II. Decisioni in condizioni di certezza Lezione 7 Programmazione Lineare (PL): il problema Il punto di vista algebrico Il punto di vista numerico Il punto di vista geometrico

2 OakProducts Inc. OakProducts Inc. produce due tipi sedie in legno: "Captain" e "King". Le sedie si ottengono assemblando cinque componenti intercambiabili: tasselli corti, tasselli lunghi, gambe, seduta leggera, seduta massiccia. La tabella seguente riporta, per ogni componente e per ogni tipo di sedia, il numero di pezzi necessari e il numero totale di pezzi disponibili per la lavorazione della prossima settimana.

3 OakProducts Inc. Tipo Captain ($ 56) King ($ 40) Tot. disponibile Tasselli lunghi Tasselli corti Gambe Seduta strong Seduta light I prezzi unitari di vendita delle sedie sono - Captain: 56 $ - King: 40 $ Qual è il piano di produzione ottimo, cioè quello che fornisce il massimo fatturato?

4 Le prime domande Qual è l'obiettivo? Massimizzare il fatturato. Quali sono le risorse disponibili? 1200 tasselli lunghi, 1500 tasselli corti, 740 gambe, 150 sedute strong, 120 sedute light.

5 Le variabili decisionali Che cosa dovrei conoscere per considerare risolto questo problema? Due numeri: il numero di sedie "Captain" da produrre il numero di sedie "King" da produrre Questi due numeri (incogniti, per ora) sono le variabili decisionali del problema.

6 Il passo fondamentale Non conosco questi due numeri. A questi due numeri do un nome. (Descartes, 1637) Per esempio x = numero di sedie "Captain" da produrre y = numero di sedie "King" da produrre x e y sono le variabili decisionali: sono l'obiettivo del problema

7 1. Il punto di vista algebrico Se indichiamo con x = n di sedie "Captain" y = n di sedie "King" allora Come possiamo esprimere il fatturato? f(x,y) = 56x+40y È una funzione lineare in 2 variabili. Quali sono i valori di x e y che rendono massima questa funzione? Non esistono. f(x,y) può assumere valori arbitrariamente grandi. Ma le risorse sono limitate. Captain: 56 $ King: 40 $ 1. L'obiettivo

8 1. Il punto di vista algebrico x = n di sedie "Captain" y = n di sedie "King" Per esempio, ci sono solo 1200 tasselli lunghi: come si può tradurre algebricamente? Per una "Captain" servono 8 tasselli lunghi, per una "King" ne servono 4. Quanti tasselli servono per x sedie Captain e y sedie King? tasselli lunghi per x Captain e y King: 8x+4y Qual è il vincolo su questa risorsa? 8x+4y Le risorse (vincoli)

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10 La forma "standard" del problema max 56x+ 40y sub subject to, s. t. 8x+ 4y x+ 12y x+ 4y 740 x 150 y 120 xy, 0 ( ) È un problema di ottimo vincolato in cui tutte le funzioni sono lineari (cioè di I grado) "standard": var. decisionali ordinate a I membro, termini noti a II membro Parentesi graffa: significa qualcosa?

11 Un po' di nomenclatura max 56x+ 40y sub subject to, s. t. 8x+ 4y x+ 12y x+ 4y 740 x 150 y 120 xy, 0 ( ) funzione obiettivo funzione di vincolo vincoli variabili decisionali costante di vincolo (livello delle risorse) tipo di vincolo (segno della disuguaglianza) non negatività delle variabili decisionali

12 2. Il punto di vista numerico 07OakProduct.xlsx =MATR.SOMMA.PRODOTTO($B$2:$C$2;B23:C3) =SUMPRODUCT( ) =SOMMA($B$2:$C$2*B23:C3) Ctrl+Shift+INVIO =SUM( )

13 2. Il punto di vista numerico Modificando le celle gialle si può procedere per tentativi. Per esempio: x=100 e y=100 non rispetta tutti i vincoli.

14 2. Il punto di vista numerico Per esempio: x=100 e y=80 rispetta tutti i vincoli. Fatturato = 7760: si può far di meglio?

15 3. Il punto di vista geometrico: caro, vecchio piano cartesiano Scegliere due numeri x e y significa scegliere un punto sul piano cartesiano. A ogni punto (x,y) corrisponde un certo fatturato: 56x+40y

16 Rappresentazione geometrica della funzione obiettivo Ci sono altri punti in cui il fatturato è 9600? Quanti? Infiniti, tutti i punti della retta di livello 9600: 56x+40y=9600 y 7 = x

17 Rappresentazione geometrica dei vincoli Esempio: il vincolo 8x+4y x+ 4y 1200 Semplifico: 4y 8x y 2x+ 300

18 La regione ammissibile 07OakProduct.ggb

19 La regione ammissibile (feasible region) La soluzione P(x,y) deve stare in questo poligono per soddisfare tutti i vincoli.

20 Qual è il massimo fatturato? Che cosa succede se si cambia k, cioè il livello del fatturato? La retta 56x+40y=k si sposta parallelamente a se stessa

21 Qual è il miglior fatturato? Il massimo fatturato si ottiene nel punto D

22 La soluzione del problema Il punto di ottimo (x,y) è il punto D di intersezione tra le equazioni dei vincoli 8x+4y = 1200 (tasselli lunghi) 4x+4y = 740 (gambe) Risolvendo il sistema si ottiene x = 115 y = 70 Il massimo fatturato possibile con le risorse a disposizione è = 9240

23 La soluzione del problema 1. Il punto di ottimo (x,y), se esiste, è un vertice del poligono che costituisce la regione ammissibile. 2. Il punto di ottimo (con le debite eccezioni che vedremo) se esiste è unico. 3. Il punto di ottimo è la soluzione del problema, nel senso che in nessun altro punto della regione ammissibile la funzione obiettivo assume un valore maggiore.