Le funzioni periodiche e il ritmo della vita Molti fenomeni naturali hanno un andamento ciclico ( o periodico), cioè ad intervalli di tempo fissati,

Transcript

1 Le funzioni periodiche e il ritmo della vita Molti fenomeni naturali hanno un andamento ciclico ( o periodico), cioè ad intervalli di tempo fissati, detti periodi, si ripetono con le stesse modalità: il giorno e la notte si alternano con una periodicità di 24 ore a causa del moto di rotazione terrestre; le stagioni si susseguono con un periodo di un anno a causa della rivoluzione terrestre intorno al Sole; le attività del metabolismo, regolate dal ritmo vegliasonno, sono scandite dal ritmo naturale sole-buio;

2 il battito del cuore, prodotto da una sequenza di contrazioni e rilassamenti del muscolo cardiaco che si ripetono con modalità simili dopo un intervallo di tempo dell'ordine del secondo. I prototipi matematici delle funzioni periodiche sono le funzioni trigonometriche seno e coseno.

3 Le funzioni trigonometriche Per definire le funzioni trigonometriche e determinarne le caratteristiche, introduciamo prima le nozioni di circonferenza goniometrica e radiante

4 In un sistema di assi cartesiani ortogonali, consideriamo una circonferenza di centro l origine e raggio unitario (pari, cioè, all unità di misura fissata). Tale circonferenza viene detta circonferenza goniometrica y B 1 u C A -1 O 1 x D

5 y B 1 P' P C -1 O A 1 D x u Per convenzione, tale circonferenza viene percorsa positivamente in senso antiorario a partire dal punto A origine degli archi. In questo modo la congiungente l origine O con il generico punto P che si muove sulla circonferenza goniometrica forma con l asse x un angolo

6 In generale, siamo in grado di misurare gli angoli in gradi. Angolo retto misura 90 Angolo piatto misura 180 Angolo giro misura 360 Per studiare le funzioni trigonometriche è opportuno adottare una diversa unità di misura per gli angoli: il radiante

7 y B 1 P C A -1 O 1 x u D Angolo giro misura in radianti (lunghezza dell intera circonferenza unitaria: r = 1) Angolo piatto misura (lunghezza di metà circonferenza unitaria: r = 1) Angolo retto misura in radianti (lunghezza di un quarto di circonferenza unitaria: r = 1)

8 GRADI RADIANTI

9 u K O P H A 1 Def. Si definisce senx l ordinata del punto P (cioè il segmento PH) Def. Si definisce cosx l ascissa del punto P (cioè il segmento PK)

10 u Quando il punto P si muove sulla circonferenza goniometrica variano: P' H' K K' O P H A 1 l ampiezza dell angolo x sotteso dal punto P l ascissa e l ordinata del punto P e sono funzioni dell arco x

11 u 1 P Funzione seno O H A -1 Il dominio è tutto R poiché un punto P che si muove sulla circonferenza goniometrica può percorrerla infinite volte compiendo infiniti giri; (ad ogni giro, l angolo individuato aumenta di un ampiezza pari a 2π). Il codominio è l intervallo [-1,1] poiché il minimo valore che può assumere l ordinata del punto P è -1, mentre il massimo valore è 1

12 Per ogni valore fissato dell arco x, la funzione seno assume un corrispondente valore numerico u 1 P O -1 H A -1

13 N.B. Ogni giro (pari ad un arco che misura 2π) la funzione assume gli stessi valori: la funzione seno è periodica di periodo 2π

14

15 La funzione seno è invertibile solo nell'intervallo sua inversa è detta funzione arcoseno: e la è l' arco il cui seno è, cioè

16 u K -1 O P A 1 Funzione coseno Il dominio è tutto R poiché un punto P che si muove sulla circonferenza goniometrica può percorrerla infinite volte compiendo infiniti giri; (ad ogni giro, l angolo individuato aumenta di un ampiezza pari a 2π). Il codominio è l intervallo [-1,1] poiché il minimo valore che può assumere l ordinata del punto P è -1, mentre il massimo valore è 1

17 Per ogni valore fissato dell arco x, la funzione coseno assume un corrispondente valore numerico u 1 K P O A -1 0

18 N.B. Ogni giro (pari ad un arco che misura 2π) la funzione assume gli stessi valori: la funzione coseno è periodica di periodo 2π

19

20 La funzione coseno è invertibile solo nell'intervallo sua inversa è detta funzione arcocoseno: e la è l' arco il cui coseno è, cioè -1 1

21 Funzione tangente Affinché abbia senso il rapporto si deve avere Il dominio della funzione tangente è tutto R privato dei valori x che annullano il coseno al denominatore

22 se se

23

24 Per ogni valore fissato dell angolo x, la funzione tangente assume un corrispondente valore numerico: 0 0 / /

25 OSSERVAZIONE Ogni mezzo giro (pari a metà arco che misura π) la funzione assume gli stessi valori: la funzione tangente è periodica di periodo.

26

27 OSSERVAZIONE Abbiamo detto che la FUNZIONE TANGENTE è strettamente crescente in ciascuno degli intervalli Così, se invece di considerare come dominio tutto consideriamo solo una parte di esso e cioè l intervallo allora in tale intervallo la funzione tangente risulta strettamente crescente e quindi invertibile.

28 Funzione arcotangente è l' arco la cui tangente è, cioè