FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

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1 FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Si definisce la funzione tangente, tanθ, (talvolta indicata tgθ), nel modo seguente tanθ =sinθ/cosθ La funzione tangente non è definita dove si annulla il coseno, quindi è definita per θ π/2 +kπ per ogni k Z tanθ è periodica di periodo π tan(θ +kπ) = tanθ La funzione tangente è una funzione dispari tan( θ) = tanθ

2 FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI TRIGONOMETRICHE tanθ è strettamente crescente in ciascun intervallo (kπ - π/2, kπ + π/2), per ogni k Z tanθ è positiva in ciascun intervallo (kπ, kπ + π/2), per ogni k Z Il grafico di tanθ ha un asintoto verticale nei punti di singolarità lim θ (π/2+k π) + tanθ = lim θ (π/2+k π) - tanθ =+ L insieme immagine è tutto R

3 Grafico della funzione tanx

4 Alcuni limiti: lim x 0 sinx/x = 1

5 Alcuni limiti: lim x 0 sinx/x = 1 Consideriamo il caso α 0 +, analogo è il caso α 0 -. Con riferimento alla figura precedente, si osserva che l area del triangolo di vertici ABC, è minore dell area del settore circolare ABE, che a sua volta è minore dell area del triangolo ADE (essendo questi insiemi contenuti uno dentro l altro). Poiché l area di un settore circolare è proporzionale alla lunghezza dell arco, essendo l area del cerchio unitario, sotteso ad un arco di lunghezza 2π, uguale a π, la costante di proporzionalità è 1/2 e quindi l area del settore circolare ABE è α/2

6 Alcuni limiti: lim x 0 sinx/x = 1 1/2 sinα cosα < α/2 < 1/2 tan α Dividiamo per sinα (che per α>0 è positivo) e moltiplichiamo per 2 cosα < α/sinα < 1/cosα Passiamo ai reciproci cosα < sinα/α < 1/cosα Da cui, per il teorema del confronto, otteniamo lim x 0 +sin α/α = 1 Analogo risultato si ha per il limite sinistro

7 Alcuni limiti Dal precedente limite ricaviamo anche lim x 0 (1-cosx)/x 2 = 1/2

8 Funzioni inverse: arcsinx La funzione sinx non è iniettiva e quindi non può essere globalmente invertibile, ma se la restringiamo a opportuni intervalli, è possibile determinare una funzione inversa. Nell intervallo [-π/2, π/2 ] la funzione seno è strettamente crescente e quindi iniettiva, se consideriamo come codominio l intervallo [-1, 1] possiamo definire la funzione inversa arcoseno, arcsin: [-1, 1] [-π/2, π/2 ] arcsinx è l unica soluzione nell intervallo [-π/2, π/2 ] dell equazione sinθ =x

9 Grafico della funzione arcsinx

10 Funzioni inverse: arccosx Analogamente, considerando la funzione coseno ristretta all intervallo [0, π], dove è strettamente decrescente, e con codominio l intervallo [-1, 1], otteniamo una funzione invertibile. Definiamo la funzione inversa arcocoseno arccos: [-1, 1] [0, π], arcocosx è l unica soluzione nell intervallo [0, π] dell equazione cosθ =x Attenzione! L equazione cosθ =x ha infinite soluzioni, ma per θ [0, π] la soluzione è unica.

11 Grafico della funzione arccosx

12 Funzioni inverse: arctanx Infine, considerando la funzione tanx ristretta all intervallo (-π/2, π/2), dove è strettamente crescente, e con codominio R, otteniamo una funzione invertibile. Definiamo la funzione inversa arcotangente arctan: R (-π/2, π/2), arctanx è l unica soluzione nell intervallo (-π/2, π/2), dell equazione tanθ =x Attenzione! L equazione tanθ =x ha infinite soluzioni, ma per θ (-π/2, π/2), la soluzione è unica.

13 Grafico della funzione arctanx

14 FUNZIONI SINUSOIDALI Diremo curva sinusoidale una curva ottenuta dal grafico della funzione seno tramite traslazioni o moltiplicazioni di ascisse e /o ordinate, la funzione di cui la curva è grafico si dirà funzione sinusoidale.

15 FUNZIONI SINUSOIDALI Una funzione sinusoidale è determinata da: - il periodo (per seno e coseno 2π) - l ampiezza, data da (M-m)/2, dove M è il valore massimo, ed m è il valore minimo, è, quindi, metà dell intervallo di variazione (per seno e coseno è 1) - il valor medio, dato da (M+m)/2, punto centrale dell intervallo di variazione, (per seno e coseno è 0) - la fase, primo punto non negativo in cui la funzione assume valore massimo M (per il coseno la fase è 0, per il seno la fase è π/2)

16 FUNZIONI SINUSOIDALI: UN ESEMPIO Una popolazione di uccelli varia stagionalmente da un minimo di circa 1000 (inizio aprile) individui ad un massimo di circa 1500 (inizio ottobre). Cerchiamo una funzione sinusoidale che rappresenti questo andamento in funzione dei giorni dell anno. La funzione sinusoidale che cerchiamo deve avere: Periodo 365 giorni Ampiezza ( )/2 = 250 e valor medio ( )/2 =1250 Fase : il primo massimo si ha all inizio di ottobre, quindi il giorno 274

17 FUNZIONI SINUSOIDALI: UN ESEMPIO Partiamo dalla funzione cosx e modifichiamo il periodo per passare dall intervallo [0, 2π] all intervallo [0, 365] cos[(2π/365)x] Sistemiamo la fase, perché la precedente funzione ha il primo massimo in 0, mentre la funzione che cerchiamo deve averlo in 274 cos[(2π/365)(x - 274)] Sistemiamo l ampiezza, la funzione precedente ha ampiezza 1, quella che cerchiamo deve avere ampiezza cos[(2π/365)(x - 274)]

18 FUNZIONI SINUSOIDALI: UN ESEMPIO Il valore massimo deve essere 1500, la funzione precedente ha valore massimo 250, quindi la funzione che cerchiamo è 250cos[(2π/365)(x - 274)] è il valor medio A questa funzione corrisponde valore minimo giusto 1000, assunto per x*= 91.5, quindi inizi aprile come deve essere. Per avere 0 x* 365 basta porre (2π/365)(x - 274) = (2k +1)π

19 FUNZIONI SINUSOIDALI In generale, se cerchiamo una funzione sinusoidale di periodo P, ampiezza A, valor medio y*, fase F, avremo, analogamente a quanto visto nell esempio precedente, una funzione f(x) = Acos[(2π/P)(x-F)] + y* Il numero f= 1/P è chiamato frequenza della funzione La quantità ω=2π/p viene detta frequenza angolare della funzione, e, talvolta la funzione sinusoidale è espressa come f(x) = Acos[ω(x-F)] + y*