VERIFICA DI MATEMATICA SIMULAZIONE SOLUZIONI. y cost

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1 VERIFICA DI MATEMATICA SIMULAZIONE SOLUZIONI Problema 1: a) sint cost x sint cost x = sin sin x = x = t t = 1 sin t cost, con cost 0 y 0 y cost y cost y cost = = = cost = y x sin t + cos t = 1 + y = 1 ellisse con centro nell'origine, fuochi sull'asse x, semiasse trasverso, non trasverso 1 4 b) 1 P ( 1; y > 0) + y = 1 y = y = P 1; x retta tangente in P (formule di sdoppiamento): + y = 1 x + y = 4 y = x Sapendo che m = tan α, dove α è l'angolo che la retta forma con la direzione positiva dell'asse delle ascisse, si ha: tanα = α = arctan = ( calcolato con la calcolatrice) 16,101 = 16, = 16, Quindi ci sono ,8979 0, '=5,874'. Quindi ci sono 5' + 0,874' 0,874' 60''=5,44''=5''. In definitiva α = 16 5' 5'' c) Dal punto precedente sappiamo che tan α =, quindiù 6 α α α tan 1+ tan 1 1+ tan sinα = ± cos ecα = ± e cosα = ± secα = ± tan 1+ tan α α 1+ tan α α sec sec 1 tan tan α tan α co α = + α = + = + = = 4 1

2 d) Dal punto a) sappiamo che f ( t ) y π π = f + + = sin + + t t : = sin t. Quindi: 1 y = f t = sint = sint :

3 1 1 y = = f t 4sin t x f t t f t y 1 1 x 1 = sin = arcsin = = 1 f ( t) arcsin

4 e) γ ellisse di centro l'origine, fuochi sull'asse x, semiasse trasverso e non trasverso 1 γ ' simmetrica di γ rispetto al punto C(;1) è l'ellisse di centro C'(4;),fuochi sull'asse x, x 4 y semiasse trasverso e non trasverso 1 + = x 4 = cost In maniera analoga al punto a), le sue equazioni parametriche saranno:, con t 0;π = sin y t

5 Problema : a) arctan y = f x = x ( x ) x x D = + ) Dominio: arctan 0 0 ; y 0 y 0 y 0 π π π π Codominio: y = arctan( x ) < y < < y < y = arctan( x ) tan( y ) = x tan( y ) + = x y 0 π π π y < y < C = 0; tan( y ) + = x

6 b) f è strettamente crescente, quindi biettiva, quindi invertibile su tutto il dominio. Per quanto già fatto nel punto a): π y = g x = f x = x + g + 1 tan, con : 0; ; ) c) + 6 sin{ } cos { ( ) } sec sin{ arctan1 } cos arctan ( f f + f = ) + sec arctan = π π π = sin cos + sec = + = d) 4 4 π π g ( x) = tan x = tan x = x = x =

7 e) tant + x + x t = f ( x ) = arctan( x ) y = y = y =, con x ; + tant x 4 x )

8 x h( x) = 10x + k = 10x + k 4 x r : P ;1 1 = 0 + k k = 19 y = 10x 19 x y = x t t x k x x k x kx x ( k ) x k 4 x y = 10x + k 1 : 4 x = 10 + = = 0 = k 78k k = 0 k + 8k = 0 k = 41± 4 10 k > 19 0 soluzioni < k 19 soluzioni k = soluzioni coincidenti < k < soluzioni k = soluzioni coincidenti k < soluzioni

9 Quesito 1: b = π a a = 1 V ( π; π ) O( 0;0) π = aπ + bπ b = π y = x π x c = 0 c = 0 Essendo le parti in grigio uguali, per la simmetria della funzione seno, basta calcolare l'area del segmento parabolico: 4 A = π π = π Quesito : ( 1 cos x )( 1+ cos x) ( 1 cos x )( 1+ cos x) cos x ( 1+ cos x) co tan x = 1+ cos x ( 1+ cos x) = 1+ cos x tan x sin x sin x cos x cos x cos x 1+ cos x sin x = 1+ cos x 1+ cos x + cos x cos x = 1+ cos x 1+ cos x = 1+ cos x sin x sin x

10 Quesito : k 1 k 1+ k k 1 + k sinα = 1+ k k 1 k 1+ k 1+ k k 0 k 0 k 1+ k k 0 k 0 k k k 1+ k k k 0 k 0 k 1+ k k 0 k 0 k k k 1+ k k k 1+ k k 1 cosα = ± 1 sin α = ± 1 = ± = ± k + k 1+ k tanα sinα k = ± 1+ k = ± k cosα 1+ k = Quesito 4: y = arcsin ( x) x 1 x 1 Domin io : x 1 x 1 D = 1;0 ) ( 0;1 arcsin( x) 0 x 0 y 0 y 0 y 0 π π Codomin io : y = y arcsin( x) = y arcsin( x) arcsin( x) = y π π y x = sin x = sin y y C = ;0 0; π π 1 1 y = f ( x) = sin, con f : ;0 0; 1;0 ) ( 0;1 x π π

11 Quesito 5: 1 f ( x ) = sin 4x + cos 5x + x tanx π π π π T1 = = =90 T = = 7 T = = T = mcm 90,7,60 = 60 = π f π π f sin 4π cos 5π π tanπ sin π cos π π = tanπ = 1 1 = =

12 Quesito 6: cos x cotan x 1 sin x sin 1 1 cos sec tan ( sec cos cot x x x x x ec x an x) = = cotan x cos x cos x cos x cos x sin x sin x sin x 4 1 sin x 1 1 cos x 1 sin x 1+ cos x 1 1+ cos x = = ( 1) = = 1 cos x cos x cos x sin x cos x cos x sin x cos x cos x cos x Quesito 7: π f ( x ) = a sin x + 4π π 1 P π; = a sin + = a a = f x 1 π = sin x + Quesito 8: sinα = x x = sinα y y ( x) + = 1 y = cosα cosα = 9 Ellisse traslata di centro C(;0), fuochi sull'asse verticale, semiasse trasverso, non trasverso 1

13 Quesito 9: x = y 4 A : A( 0;) B ( ;0) mab = = x = 0 π π π β = arctan( mab ) = arctan ms tan arctan 5 4 = 4 4 = passa per B 6 5 s : y = 5x + 15 C ; m = Quesito 10: f x cos x sin x sin x cot anx sin sin x cos x sin x = = x = = 4sin x + 4cos x 4 4 8