1-Forme Differenziali

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1 1-Forme Differenziali 30 novembre Definizioni di base Siano n N e A R n un insieme aperto. Con (R n ) denotiamo il duale topologico di R n, cioè l insieme (R n ) = {p : R n R : R-lineari e continue}. (1.1) Osservazione 1 Dato che lo spazio vettoriale R n (su R) ha dimensione finita, ogni funzione lineare p : R n R è continua. Sia {x 1,..., x n } una base di R n e sia {dx 1,..., dx n } la base duale di (R n ). Ricordiamo che le dx i sono funzioni lineari e continue da R n a R tali che { 1 se j = i, dx i (x j ) = δ ij = (1.2) 0 se j i. Osservazione 2 Se si considera la base canonica {e 1,..., e n } di R n, la corrispondente base duale {dx 1,..., dx n } soddisfa dx i (a 1,..., a n ) = a i. Definizione 1.1 Una 1-forma differenziale ω su A è una funzione ω : A (R n ). Dalla precedente definizione segue che se x A allora ω(x) (R n ), ma allora si può scrivere ω(x) come combinazione lineare di elementi della base duale, cioè ω(x) = ω j (x)dx j. (1.3) j=1 1

2 Sia ora f : A R una funzione di classe C 1. Il differenziale (di Frechet) di f in un punto x A è una funzione lineare e continua da R n a R, cioè f (x) (R n ) e pertanto f è una 1-forma differenziale. Definizione 1.2 Una 1-forma differenziale continua ω si dice esatta se esiste una funzione f C 1 (A; R) tale che ω = f. In tal caso f si dice una primitiva di ω. Una 1-forma differenziale continua ω si dice localmente esatta se per ogni x A esiste un r > 0 con B(x, r) A e una funzione f C 1 (B(x, r); R) tale che ω = f in B(x, r). Lemma 1.3 Sia A un aperto connesso e w C(A; (R n ) ) una 1-forma esatta. Se f 1 e f 2 sono due primitive, allora f 1 f 2 è costante in A. Dimostrazione. Si ha che ω = f 1 = f 2. Quindi (f 1 f 2 ) = 0. La conclusione segue dal fatto che A è connesso. Definizione 1.4 Sia A un aperto di R n. Un cammino in A è una curva in A, cioè una funzione : I A con I un intervallo di R. Definizione 1.5 Sia A un aperto di R n e siano a, b R con a < b. Un cammino : [a, b] A si dice regolare a tratti se esistono a = t 0 < t 1 < t 2 < < t m 1 < t m = b tali che 1. è continua; 2. è derivabile con continuità in (t i, t i+1 ) per ogni i {0,..., m 1}; 3. si può estendere per continuità in [t i, t i+1 ] per ogni i {0,..., m 1}. Definizione 1.6 Sia A un aperto di R n e siano a, b R con a < b. Un cammino : [a, b] A si dice un circuito se (a) = (b). Definizione 1.7 Sia A un aperto di R n e sia {dx 1,..., dx n } la base duale della base canonica di R n. Una 1-forma differenziale ω C 0 (A; (R n ) ) si dice chiusa se, per ogni i, j {1,..., n}, le derivate parziali x j ω i (x) esistono e dove ω(x) = n i=1 ω i(x)dx i. x j ω i (x) = 2 x i ω j (x), (1.4)

3 Vale il seguente risultato. Proposizione 1.8 Sia A un aperto di R n e ω C 1 (A; (R n ) ) una 1-forma differenziale esatta. Allora ω è chiusa. Dimostrazione. Sia f una primitiva di ω. Si ha ω(x) = = ω i (x)dx i i=1 i=1 f x i (x)dx i, dove {dx 1,..., dx n } denota la base duale della base canonica di R n. conclude pertanto per il teorema di Schwarz. Si 2 Integrale di una 1-forma differenziale Sia : [a, b] A un cammino regolare a tratti e ω C 0 (A; (R n ) ) una 1-forma differenziale. Definiamo b ω := ω((t)) (t)dt. (2.1) Osservazione 3 Si noti che ω((t)) (R n ) e (t) R n. Quindi a ω(( )) ( ) : [a, b] R è una funzione reale a valori reali e continua a tratti. Osservazione 4 Dalla definizione di integrale di una 1-forma differenziale, si deduce facilmente che b a ω((t)) (t)dt = dove (t) = n j=1 j(t)x j. = b j=1 a b j=1 3 a ω j ((t))dx j ( (t))dt (2.2) ω j ((t)) j(t)dt, (2.3)

4 Lemma 2.1 Sia A un aperto di R n, ω C(A; (R n ) ) e : [a, b] A un cammino regolare a tratti. Se p : [c, d] [a, b] è un diffeomorfismo strettamente monotono e suriettivo, allora p ω = Dimostrazione. Per esercizio. ω, se p è crescente, ω, se p è decrescente. (2.4) Definizione 2.2 Siano : [a, b] A e β : [c, d] A due cammini tali che (b) = β(c). Si chiama giustapposizione di e β il cammino β così definito: β : [a, b + d c] { A (t), se t [a, b], t β(c + t b), se t [b, b + d c]. (2.5) Lemma 2.3 Sia A un aperto di R n e ω C(A; (R n ) ) una 1-forma differenziale continua. Siano inoltre : [a, b] A e β : [c, d] A due cammini regolari a tratti con (b) = β(c). Allora Dimostrazione. Per esercizio. ω = ω + ω. β β Teorema 2.4 Sia A un aperto di R n, ω C(A; (R n ) ) una 1-forma esatta e : [a, b] A e β : [c, d] A due cammini regolari a tratti tali che (a) = β(c) e (b) = β(d). Allora ω = ω. (2.6) Dimostrazione. Dato che ω = f, si ha b ω = ω((t)) (t)dt = a b a b β f ((t)) (t)dt d = a dt f((t))dt = f((b)) f((a)). 4

5 Analogamente si prova che ω = f(β(d)) f(β(c)) = f((b)) f((a)) e si conclude. Osservazione 5 Si noti che, nelle ipotesi del teorema precedente, l integrale di ω lungo un cammino dipende solo dal punto iniziale e dal punto finale del cammino. Teorema 2.5 Sia A un aperto di R n e sia ω C(A; (R n ) ) una 1-forma differenziale. Sono equivalenti: 1. ω è esatta; 2. ω = ω per ogni coppia di cammini regolari a tratti e β con lo stesso β punto iniziale e finale; 3. ω = 0 per ogni circuito regolare a tratti in A. Dimostrazione. (Cenni). Chiaramente per il Teorema 2.4, se vale 1, allora si deduce 2. Supponiamo che valga 2 e sia : [a, b] A un circuito regolare a tratti. Sia β : [0, 1] A il circuito definito da β(t) = (a). Allora, per ipotesi, ω = β ω = 1 0 0dt = 0. Non dimostriamo invece che 3 implica 1. Osservazione 6 Per il Teorema 2.5, per mostrare che una 1-forma differenziale e continua ω su A aperto di R n non è esatta, basta esibire un circuito regolare a tratti tale che ω 0. 3 Differenziale di una 1-forma Sia ω C 1 (A; (R n ) ) una 1-forma differenziale. Allora il differenziale di ω nel punto x A è una funzione ω (x) : R n (R n ) (3.1) 5

6 lineare e continua. Di conseguenza si può pensare ω (x) come una forma bilineare e continua su R n R n. L insieme delle forme bilineari (e continue) su R n R n costituisce uno spazio vettoriale di dimensione n 2. Una base dello spazio delle applicazioni bilineari da R n R n a R è data da {dx i dx j : i, j {1,..., n}}, (3.2) dove le funzioni dx i dx j agiscono nel modo seguente dx i dx j (x h, x k ) = dx i (x h )dx j (x k ) = δ ih δ jk. (3.3) Si può facilmente provare che ω (x) si scrive nella forma ω (x) = i,j=1 Definiamo il prodotto esterno di dx i con dx j come Il differenziale esterno di ω è dω(x) = x j ω i (x)dx i dx j. (3.4) dx i dx j := dx i dx j dx j dx i. (3.5) = j ω i (x)dx i dx j i,j=1 1 i<j n ( j ω i (x) i ω j (x)) dx i dx j da cui si vede che una 1 forma differenziale ω è chiusa se e solo se dω = 0. Proposizione 3.1 Sia A un aperto di R n e sia ω C 1 (A; (R n ) ) una 1-forma differenziale chiusa. Allora ω è localmente esatta. Dimostrazione. Facciamo la dimostrazione solo per il caso n = 2. La 1-forma differenziale ω si può scrivere ω(x, y) = ω 1 (x, y)dx + ω 2 (x, y)dy, dove {dx, dy} è la base duale della base canonica di R 2. Sia (x 0, y 0 ) A. Esiste ε > 0 tale che U :=]x 0 ε, x 0 + ε[ ]y 0 ε, y 0 + ε[ A. Per ogni (x, y) U, definiamo i cammini 1, 2 : [0, 1] A 1 (t) = (x 0 + t(x x 0 ), y 0 ), 2 (t) = (x, y 0 + t(y y 0 )). 6

7 e F (x, y) = ω + ω. 1 2 Pertanto abbiamo definito una funzione F : U R. Si noti che F (x, y) = e quindi x y ω 1 (s, y 0 )ds + ω 2 (x, s)ds x 0 y 0 y x F (x, y) = ω 1 (x, y 0 ) + x ω 2 (x, s)ds y 0 y = ω 1 (x, y 0 ) + y ω 1 (x, s)ds y 0 = ω 1 (x, y 0 ) + ω 1 (x, y) ω 1 (x, y 0 ) = ω 1 (x, y). Inoltre da cui segue la tesi. y F (x, y) = ω 2 (x, y), Corollario 3.2 Sia A un aperto di R n e sia ω C 1 (A; (R n ) ) una 1-forma differenziale. Allora ω è chiusa se e solo se è localmente esatta. 4 Omotopia di circuiti Definizione 4.1 Sia A un aperto di R n e siano : [a, b] A e β : [a, b] A due circuiti continui. I circuiti e β si dicono omotopi se esiste una funzione continua h : [a, b] [0, 1] A tale che 1. h(t, 0) = (t) per ogni t [a, b]; 2. h(t, 1) = β(t) per ogni t [a, b]; 3. h(a, λ) = h(b, λ) per ogni λ [0, 1]. Definizione 4.2 Un aperto A di R n si dice semplicemente connesso se A è connesso per archi e se ogni circuito in A è omotopo ad un circuito costante. 7

8 Esempio 4.3 L insieme R n è semplicemente connesso. L insieme R 2 \ {0} non è semplicemente connesso. L insieme R 3 \{0} è semplicemente connesso, mentre R 3 privato di una retta non è semplicemente connesso. Vale il seguente teorema. Teorema 4.4 Sia A un aperto di R n, ω C 0 (A; (R n ) ) una 1-forma differenziale localmente esatta e e β due circuiti regolari a tratti e omotopi in A. Allora ω = ω. (4.1) Corollario 4.5 Sia A un aperto di R n semplicemente connesso e sia ω C 0 (A; (R n ) ) una 1-forma differenziale localmente esatta. Allora ω = 0 per ogni circuito regolare a tratti in A. Dimostrazione. Dato che A è semplicemente connesso, il circuito è omotopo ad un circuito costante β. Per il Teorema 4.4, ω = ω = 0, β β e quindi la dimostrazione è finita. Corollario 4.6 Sia A un aperto di R n semplicemente connesso e sia ω C 1 (A; (R n ) ) una 1-forma differenziale chiusa. Allora ω è esatta. Dimostrazione. Si conclude facilmente per il Corollario 4.5 e per il Teorema

9 5 Esercizi sulle 1-forme differenziali Esercizio 1 Si consideri la 1-forma differenziale su R 2 ( ) ( ) 2x ω = 1 + (x 2 + y) ex y + x y dx (x 2 + y) 2 ex y + y 2 dy e i cammini γ 1 : [0, 2π] R 2 t (cos t, sin t) γ 2 : [0, 2π] R 2 t (2 cos t, sin t) Si calcoli { } max ω, ω. γ 1 γ 2 Esercizio 2 Sia ω : {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 0} (R 3 ) la 1-forma differenziale x ω(x, y, z) = x2 + y dx + y 2 x2 + y dy + 2 3z2 dz. 1. ω è chiusa? 2. ω è esatta? 3. Calcolare γ ω dove γ : [0, 2π] R 3 t (cos t, sin t, 0). Esercizio 3 Si discuta l esattezza della 1-forma differenziale [ 2(x 1) ω(x, y) = (x 1) 2 + (y 1) + 2x ] dx 2 x 2 + y [ 2 2(y 1) + (x 1) 2 + (y 1) + 2y ] dy, 2 x 2 + y 2 definita su R 2 \ {(0, 0), (1, 1)}. 9

10 Esercizio 4 Si consideri la 1-forma differenziale definita su R 3 ω = ( z 2 2xyz ) dx x 2 zdy + x (2z xy) dz e il cammino γ : [0, 1] R 3 t (t 2 t, 2 cos(2πt), e t ) 1. Dire se ω è esatta o meno. 2. Calcolare γ ω. 10

11 Regolarità C 0 C 0 C 0 C 0 C 1 C 1 C 1 Proprietà ω esatta se e solo se γ ω = 0 per ogni circuito regolare a tratti γ ω esatta se e solo se ω = β ω per ogni coppia e β di cammini regolari a tratti con lo stesso punto iniziale e finale. ω esatta = ω localmente esatta. ω localmente esatta = ω = β ω per ogni e β circuiti regolari a tratti e omotopi. ω esatta = ω chiusa. ω localmente esatta se e solo se ω chiusa. ω chiusa, A semplicemente connesso = ω esatta. 11