SECONDO COMPITINO DI SEGNALI E SISTEMI 3 Dicembre 2003

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1 SECONDO COMPIINO DI SEGNALI E SISEMI 3 Dicembre 003 Esercizio. Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo discreto e causale descritto dalla seguente equazione alle differenze: vk) con a parametro reale. Per a =: a + a) vk ) + a vk ) = uk ), k Z +, i) si determini l espressione dell evoluzione libera del sistema a partire dalle condizioni iniziali v ) = v ) = ; ii) si determini la risposta impulsiva del sistema, hk). Per a =0: iii) iv) si determini, operando nel dominio del tempo, la risposta forzata) del sistema al segnale di ingresso uk) =δk ) δ k); si determini operando nel dominio delle trasformate, la risposta forzata) del sistema al segnale di ingresso uk) =δk ) 3 )k δ k ). Esercizio. Si consideri il segnale, periodico di periodo, che in, ) vale ut) = + t + τ, τ <t 0, τ t τ, 0 <t<τ, 0, altrove, con τ<. i) Si calcoli lo sviluppo in serie di Fourier esponenziale di ut). SUGGERIMENO: si disegni preliminarmente il segnale ut) inunperiodo e lo si esprima come somma di due segnali noti. Si ricorra, poi, alla trasformata di Fourier di tale segnale generatore]. ii) Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale ut).

2 iii) Si determini l uscita del filtro passa-basso ideale di risposta in frequenza ) f H LP F f) =Π, f L con <f L <, sollecitato dal segnale ut) dicui sopra. Esercizio 3. Determinare e disegnare la trasformata di Fourier del segnale ) ) t / t + / vt) =sinc + sinc, t R. eoria. Dato un sistema LI a tempo discreto, descritto da un modello ARMA, si derivi la descrizione di evoluzione libera ed evoluzione forzata del sistema nel dominio delle trasformate zeta. Si definisca il concetto di stabilità BIBO del sistema e la si caratterizzi con riferimento al dominio delle trasformate.

3 SOLUZIONI Esercizio. i) punti] Per a = l equazione caratteristica del sistema è 0 = z z + = z + j )] z j )] = z )z ejπ/ ) e jπ/. Essa ha due radici complesse coniugate di molteplicità λ, = e±jπ/. Pertanto il sistema ha i due modi complessi distinti ) k e jkπ/, ) k e jkπ/, k Z, o, equivalentemente, due modi reali ) k cos k π ), ) k sin k π ), k Z. L evoluzione libera del sistema ha, pertanto, la seguente espressione k v l k) =c cos k ) π ) k + c sin k ) π ), k. Imponendo il soddisfacimento delle condizioni iniziali = v l ) = c cos π = c c ) = v l ) = c cos = c, ) +c sin π ) π ) +c sin π ) si trova c =ec =, ovvero v l k) = k cos k ) π ) sin k π )], k. ii) 3 punti] Poiché n = > m =,l espressione della risposta impulsiva è del seguente tipo: k hk) = d cos k ) π ) k + d sin k ) π ) ] δ k). 3

4 Dal modello ARMA si ricavano i valori della risposta impulsiva per k =0eperk =, grazie ai quali èpossibile identificare il valore dei parametri d e d.sitrova infatti da cui segue h0) = 0, h) =, 0 = h0) = d, = h) = d ) π cos + d ) π sin = d + d, hk) = k sin k π ) ] δ k). iii) punti] Per a = 0,l equazione caratteristica del sistema è Essa ha una radice reale di molteplicità 0=z. λ =. Pertanto il sistema ha il solo modo ) k.poiché n = m =,l espressione della risposta impulsiva è del seguente tipo: hk) =h0) + d ) k δ k ). Dal modello ARMA si ricavano i valori della risposta impulsiva per k =0eperk =, grazie ai quali èpossibile identificare il valore dei parametri h0) e d. Si trova facilmente ) k hk) = δ k ). Per valutare la risposta forzata al segnale d ingresso assegnato nel dominio del tempo, possiamo sfruttare la linearità del prodotto di convoluzione e calcolare separatamente h u ]k) eh u ]k), dove u k) =δk ) u k) =δ k). Notiamo, preliminarmente, che h u ]k) =hk ). Inoltre, poiché laconvoluzione discreta di ) k h k) = δ k)

5 e u k) fornisce 0 se k<0, h u ]k) = ki=0 k+, per k 0, = i ne consegue che h u ]k) =h u ]k ) = k δ k ). Pertanto k vk) =h u]k) = δ k ) ) k δ k ). iv) 3 punti] Il calcolo della trasformata zeta della successione d ingresso è immediato eporta a Uz) =z 3 z z z + = z zz +). Dall equazione alle differenze del sistema che, per a = 0, diventa vk) vk ) = uk ), è immediato ricavare la funzione di trasferimento del sistema: Si trova, allora, Hz) = z = z z. V z) =V f z) =Hz)Uz) = Lo sviluppo in fratti semplici di V z)/z porta a zz +). e quindi la cui antitrasformata zeta è V z) z = z + z + z + V z) = + z + z z +, vk) = δk)+δk ) + ) k δ k). ) Esercizio. i) 5 punti] Il grafico del segnale ut) nell intervallo, è quello riportato nella figura che segue. 5

6 ut) / τ +τ +/ t La funzione ut) è una funzione continua e derivabile con derivata continua e limitata) su tutto R all infuori dei punti del tipo ±τ + k, k Z, pertanto ammette sviluppo in serie di Fourier e tale sviluppo restituisce puntualmente ad eccezione dei punti del tipo ±τ + k, k Z) lafunzione ut). Lo sviluppo in serie esponenziale di ut) è ut) = + k= u k e j π kt. Al fine di calcolare i coefficienti dello sviluppo in serie si può utilizzare la formula u k = Fu gt)] f= k, dove u g t) denota un opportuno generatore. In particolare si può ricorrere alla restrizione al periodo ed osservare che Di conseguenza, u g t) =Π U g f) =Fu g t)] = τ ) ) t t +Λ. τ τ ] sincfτ)+sinc fτ). Quindi u k = τ sinc ) kτ )] kτ + sinc. ii) punti] La trasformata di Fourier del segnale ut) è data da Uf) = + k= u k δ f k ). iii) punti] È immediato verificare che la trasformata di Fourier del segnale vt) in uscita al filtro passa-basso ideale H LP F f) è data da V f) =H LP F f)uf) =u δ f + ) + u 0 δf)+u δ f ). 6

7 Quindi l espressione del segnale vt) nel dominio del tempo è π j vt) = u e t + u 0 + u e j π = 3τ + τ sinc τ t ) + sinc τ )] ) π cos t, t R. Esercizio 3. punti] Ricordando che )] t F sinc = Πf), ed utilizzando la proprietà del ritardo temporale della trasformata di Fourier, si ottiene immediatamente V f) = Πf) e jπf + e jπf) =Πf) cosπf). Il suo grafico è riportato, per =,nella figura che segue. Grafico di vt) per = vt) f eoria. 5 punti] Si veda il libro di testo, capitolo 7, pagine -7 e pagine