Strutture realizzative per sistemi tempo-discreto: soluzione dei problemi proposti

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1 4 Strutture realizzative per sistemi tempo-discreto: soluzione dei problemi proposti P-4.1: Dopo aver diviso per 0.5, cioè il coefficiente di, l equazione alle differenze finite data, si ottengono le strutture diretta e trasposta mostrate in Figura 4.1- e Figura 4.1 Struttura diretta e trasposta del sistema proposto nel problema P-4.1. Il costo computazionale di entrambe le strutture è uguale a moltiplicazioni e 4 addizioni per campione di uscita (nel caso della struttura trasposta, il sommatore centrale equivale a due sommatori in quanto coinvolge la somma di tre grandezze). P-4.2: Le strutture canoniche dirette e trasposte dei sistemi proposti nel problema ai punti a)-d) sono riportate, nell ordine, nelle Figure P-4.: Per ciascun sistema riportato nel problema P-4.2, vengono proposte una possibile rappresentazione serie, derivata dalla fattorizzazione della funzione di trasferimento in celle elementari a fattori reali, oppure una rappresentazione parallelo, derivata dalla scomposizione in fratti semplici (gli schemi realizzativi non vengono riportati per brevità). a) Serie: H(z) = 1+z 1 1+z 1+0.2z z 1 Parallelo: H(z) = z z 1 b) Serie: H(z) = 1+z 1 1+z 1+0.2z 1 1+z z z 1

2 2 Capitolo Figura 4.2 Struttura canonica diretta e trasposta relativa all equazione alle differenze finite riportata nel problema P Figura 4. Struttura canonica diretta e trasposta relativa all equazione alle differenze finite riportata nel problema P Parallelo: H(z) = z z z 1 c) Serie: H(z) = z 1 1 z z 1 Parallelo: H(z) = z z 1 d) Serie: H(z) = (1+2z 1 +z 2 ) z 1 Parallelo: H(z) = z z 1 P-4.4: Il sistema proposto nel problema ha come funzione di trasferimento H(z) = 1 5 ( 1+z 1 +z 2 +z +z 4) = z 5 1 z 1. Dall ultima espressione si ricava una possibile implementazione mediante l equazione alle differenze finite = y[n 1]+ 1 5 ( x[n 5]), tipica di un sistema IIR e realizzabile con una moltiplicazione e due addizioni. F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2011

3 Soluzioni dei problemi proposti Figura 4.4 Struttura canonica diretta e trasposta relativa all equazione alle differenze finite riportata nel problema P-4.2-(c) Figura 4.5 Struttura canonica diretta e trasposta relativa all equazione alle differenze finite riportata nel problema P-4.2-(d). P-4.5: I coefficienti delle risposte impulsiveh i [n] sono i coefficienti del polinomio(1+ x) i, ovvero le relative funzioni di trasferimento possono essere espresse come H i (z) = (1 + z 1 ) i. Il sistema caratterizzato dalla funzione di trasferimento H i (z) può essere implementato mediante la cascata di i celle elementari (1 + z 1 ), ognuna delle quali è priva di moltiplicatori. Come esempio, in Figura 4.6 riportiamo le strutture realizzative relative alle risposte impulsive h 2 [n] eh [n]. P-4.6: Una struttura in cascata caratterizzata da coefficienti reali si ricava moltiplicando tra loro gli ultimi due fattori del denominatore, ottenendo così H(z) = H 1 (z)h 2 (z) = 1+z 1 1 z z z 2. La struttura in cascata è mostrata in Figura Scomponendo in fratti semplici H(z) otteniamo H(z) = z z 1 1 z z 2. La struttura in parallelo è mostrata in Figura Si noti che tutte le realizzazioni del sistema (incluse quelle mostrate nelle figure) sono instabili a causa della presenza di un polo sul cerchio unitario. P-4.7: L equazione alle differenze finite che implementa il sistema è data da = ay[n 1] by[n 2]+a+b,

4 4 Capitolo 4 Figura 4.6 Strutture realizzative prive di moltiplicatori per le risposte impulsive h 2 [n] e h [n] esaminate nel problema P Figura 4.7 Strutture realizzative relative al problema P da cui si ricava = a( y[n 1])+b( y[n 2]). Tale sistema è realizzato mediante lo schema in Figura 4.8. Il sistema è in forma canonica poiché usa un numero di celle di ritardo (due) uguale all ordine del filtro. P-4.8: Analizzando i collegamenti della struttura in Figura e associando ai due blocchi con retroazione le funzioni di trasferimento 1/(1 az 1 ) e 1/(1 bz 1 ), si ottiene ( ) 1 1 ( ) Y(z) = 1 bz 1 Y(z)+ X(z)+Y(z) 1 az 1, da cui si ricava Y(z)( 1 bz 1 +abz 2 ) = X(z), dalla quale è possibile ricavare la risposta impulsiva del sistema. Si noti che il sistema in Figura non è realizzabile, in quanto l uscita è funzione ancora della stessa. La struttura in Figura è invece governata dall equazione Y(z) = X(z)+(1+bz 1 ) ( X(z)+(1+az 1 )X(z) ) = X(z) ( +(a+2b)z 1 +abz 2), dalla quale si ricava la risposta impulsivah[n] = {,a+2b,ab}. F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2011

5 Soluzioni dei problemi proposti 5 a + - b + - Figura 4.8 Struttura realizzativa relativa al problema P-4.7. P-4.9: Detta V(z) l uscita del primo sistema con retroazione nella struttura in Figura 4.0 del testo e postoθ = 2πF 0, abbiamo L uscita del sistema complessivo è data da V(z) = X(z) rsinθz 1 Y(z) 1 rcosθz 1. Y(z) = V(z)rsinθ +rcosθz 1 Y(z), dalla quale, sostituendo l espressione precedente, si ricava H(z) = Y(z) X(z) = rsinθ r 2 sin 2 θz 1 +(1 rcosθz 1 ) 2. Tale sistema non è caratterizzato da due poli complessi coniugati in re ±jθ. Il sistema caratterizzato da tale proprietà è mostrato in Figura 4.9. Svolgendo calcoli analoghi ai precedenti, si ottiene infatti la funzione di trasferimento del sistema H(z) = rsinθz 1 r 2 sin 2 θz 2 +(1 rcosθz 1 ) = rsinθz rcosθz 1 +r 2 z 2, la quale soddisfa la proprietà citata. r sin 2 F r cos 2 F 0 r cos 2 F 0 -r sin 2 F 0 Figura 4.9 Problema P

6 6 Capitolo 4 P-4.10: La successione di Fibonacci corrisponde all uscita di un sistema numerico, governato dall equazione alle differenze finite = y[n 1]+y[n 2]+x[n 1], quando z l ingresso è = δ[n]. La funzione di trasferimento è quindi H(z) = 1 1 z 1 z. La 2 struttura diretta che implementa H(z) è mostrata in Figura La funzione di trasferimento del sistema è caratterizzata da un polo esterno al cerchio unitario, a conferma del fatto che la risposta impulsiva relativa ad una realizzazione causale è divergente. Figura 4.10 Struttura relativa al problema P P-4.11: Utilizzando l equazione ricorsiva (4.8) riportata nella sezione del testo, abbiamoh(z) = A () (z) = z z z. La struttura diretta che implementah(z) è mostrata in Figura Figura 4.11 Struttura relativa al problema P P-4.12: La struttura diretta che implementa H(z) è riportata in Figura Per costruire la struttura a traliccio occorre calcolare i coefficienti di riflessione utilizzando la formula ricorsiva (4.9) riportata in sezione del testo. Applicando tale formula si F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2011

7 Soluzioni dei problemi proposti 7 ottengono, ai vari passi, i seguenti risultati: A (4) (z) = H(z) k 4 = 0.2 A () (z) = 1 1 k4 2 (A (4) (z) k 4 z 4 A (4) (z 1 )) = z z z k = A (2) (z) = 1 1 k 2 (A () (z) k z A () (z 1 )) = z z 2 k 2 = A (1) (z) = 1 1 k2 2 (A (2) (z) k 2 z 2 A (2) (z 1 )) = z 1 k 1 = La struttura a traliccio è riportata in Figura Poiché k i < 1, per i = 1,2,,4, il sistema risulta essere a fase minima Figura 4.12 Struttura diretta e a traliccio relative al problema P P-4.1: Utilizzando l equazione ricorsiva (4.8) riportata in sezione del testo,

8 8 Capitolo 4 abbiamo A (0) (z) = 1 A (1) (z) = A (0) (z)+k 1 z 1 A (0) (z 1 ) = 1+z 1 A (2) (z) = A (1) (z)+k 2 z 2 A (1) (z 1 ) = 1+2.2z z 2 A () (z) = A (2) (z)+k z A (2) (z 1 ) = z z 2 1.4z A (4) (z) = A () (z)+k 4 z 4 A () (z 1 ) = 1 0.2z 1.008z z +0.6z 4 La funzione di trasferimento cercata èh(z) = A (4) (z). P-4.14: Per implementare la funzione passa-tutto si può utilizzare una struttura a traliccio di tipo IIR. Il calcolo dei coefficienti di riflessione k i si basa sul denominatore di H(z). Utilizzando l equazione ricorsiva (4.8) riportata in sezione del testo, abbiamo k 1 = 1/ e k 2 = 1/5. L uscita della funzione passa-tutto è quella della prima cella elementare della cascata. La struttura finale è riportata in Figura / -1/ 1/5 1/5 Figura 4.1 Struttura relativa al problema P-4.15: La funzione di trasferimento è caratterizzata da poli e zeri. Il calcolo dei coefficienti di riflessione k i coinvolge il denominatore di H(z). Utilizzando l equazione ricorsiva (4.8) riportata in sezione del testo, abbiamo k 1 = , k 2 = e k = 0.5. Il calcolo dei coefficienti c i della parte non ricorsiva coinvolge il numeratore di H(z) ed è effettuato utilizzando l equazione (4.12) della sezione 4.6. del testo. Svolgendo i calcoli si trova c 0 = 0.782, c 1 = 0.4, c 2 = 1.2 e c = 2. La struttura traliccio-scala finale è riportata in Figura Figura 4.14 Struttura relativa al problema F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2011